
Choques frontales elásticos en un carril
En esta página, vamos a estudiar de nuevo las colisiones elásticas de dos objetos que se mueven a lo largo de un carril sin rozamiento pero con un cambio que hace que el problema sea más interesante. Las partículas están obligadas a moverse en un carril de longitud L cuyos sus extremos reflejan perfectamente las partículas. Es decir, cuando una partícula llega al uno de los extremos del carril rebota y cambia el signo de su velocidad, pero no cambia su módulo.
En un carril finito, con extremos perfectamente reflectantes, las partículas experimentan sucesivos choques.
El interés del problema radica en investigar la posición de las partículas en el momento en el que ocurre cada uno de los choques. ¿Se observan regularidades?. ¿Cómo cambian si se modifica la relación entre las masas de las partículas o la posición inicial del primer choque?.
Descripción
En el instante t=0, las posiciones de las partículas de masas mx y my son x0 e y0, (0≤x0 < y0<L) sus velocidades iniciales son ux=u0 y uy=0, tal como se muestra en la figura.
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Primer choque
En el instante t=(y0-x0)/ux tiene lugar el choque elástico
Las velocidades de las partículas después del choque son:
Después del choque puede ocurrir
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Que las dos partículas se desplacen hacia la derecha vx>0, vy>0,
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Que la partícula incidente se desplace hacia la izquierda vx<0 y la segunda partícula se desplace hacia la derecha vy>0
Ponemos el contador parcial de tiempos a cero para calcular la posición del segundo choque.
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Segundo choque
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Si las dos partículas se desplazan hacia la derecha después del choque vx>0, vy>0, la segunda se refleja en el extremo x=L, y choca con la primera.
En el instante t de encuentro
donde (L-y0)/vy es el tiempo que tarda la segunda partícula en reflejarse en el extremo x=L y cambiar el signo de la velocidad. El punto de encuentro se obtiene igualando x=y.
Las velocidades iniciales antes del próximo choque son
ux=vx, uy=-vy
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Si después del primer choque, la partícula incidente se desplaza hacia la izquierda vx<0 y la segunda partícula se desplaza hacia la derecha vy>0, pueden ocurrir tres casos:
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Que se reflejen las dos partículas en los extremos x=0 y x=L, respectivamente y a continuación, choquen.
La posición del próximo choque es
Las velocidades de las partículas antes del próximo choque son
ux=-vx, uy=-vy
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Que la segunda partícula se refleje en x=L y choque con la primera antes de alcanzar el extremo x=0.
La posición del próximo choque es
Las velocidades de las partículas antes del choque son
ux=vx, uy=-vy
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Que la primera partícula se refleje en x=0 y choque con la segunda antes de alcanzar el extremo x=L.
La posición del próximo choque es
Las velocidades de las partículas antes del choque son
ux=-vx, uy=vy
Conocidas las velocidades iniciales ux y uy antes del segundo choque, en la posición x1=y1 se calcula las velocidades de las dos partículas vx y vy después del choque. Un razonamiento similar al empleado a lo largo de este apartado, nos conduce a predecir la posición del tercer choque y así, sucesivamente
Ejemplo:
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Masa de las partículas mx=1.0, my=1.25
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Longitud del carril, L=1.0
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En el instante t=0, las partículas parten de la posiciones x0=1.0, y0=0.5
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Velocidad de las partículas: ux=1.0, uy=0.0
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Primer choque
En el instante t=(y0-x0)/ux=0.4 s tiene lugar el primer choque en la posición y0=0.5
Las velocidades de las partículas después del choque son:
La partícula incidente se desplaza hacia la izquierda y la segunda partícula se desplaza hacia la derecha. Como la velocidad de la primera partícula es pequeña y la de la segunda es grande, la segunda rebotará en el extremo derecho del carril x=1.0 y alcanzará a la primera antes de que rebote en el extremo izquierdo x=0.
La ecuación del movimiento de las partículas son:
x=0.5-0.111·t
y=1.0-0.889·(t-0.5/0.889)
Igualando x=y, se obtiene el instante y la posición del segundo choque
x1=y1=0.357
Las velocidades de las partículas antes del segundo choque son:
ux=-0.111, uy=-0.889
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Segundo choque
Las velocidades de las partículas después del choque son:
vx=-0.975, vy=-0.198
Las dos partículas se mueven hacia la izquierda. La primera partícula se refleja en el extremo izquierdo del carril, x=0, y choca con la segunda partícula.
La ecuación del movimiento de las partículas son
x=0.975·(t-0.357/0.975)
y=0.357-0.198 ·t
Igualando x=y, se obtiene el instante y la posición del tercer choque
x2=y2=0.237
Las velocidades de las partículas antes del segundo choque son:
ux=0.975, uy=-0.198
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Tercer choque
Las velocidades de las partículas después del choque son:
vx=-0.328, vy=0.845
La primera partícula se dirige hacia el extremo izquierdo, la segunda hacia el extremo derecho. Las dos partículas se reflejan en los extremos del carril antes del cuarto choque
La ecuación del movimiento de las partículas son
x=0.328·(t-0.237 /0.328)
y=1.0-0.845(t-0.763/0.845)
Igualando x=y, se obtiene el instante y la posición del cuarto choque
x3=y3=0.322
Las velocidades de las partículas antes del segundo choque son:
ux=0.328, uy==-0.845
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Cuarto choque
Las velocidades de las partículas después del choque son:
vx=-0.975, vy=0.197
La primera partícula se dirige hacia el extremo izquierdo, se refleja y choca con la segunda partícula....
Actividades
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La longitud del carril se ha fijado en L=1.0 m
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La masa de la primera partícula se ha fijado en mx=1.0
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La velocidad inicial de la primera partícula se ha fijado en ux=1.0
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La segunda partícula está inicialmente en reposo, uy=0.0
Se introduce
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La masa de la segunda partícula my, actuando en la barra de desplazamiento titulada Masa.
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La posición inicial y0 de la segunda partícula, o del primer choque entre las partículas, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición.
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa los sucesivos choques y reflexiones de las partículas en los extremos del carril.
En la parte superior del applet se representa
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En el eje vertical la posición del choque
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En el eje horizontal, el número de choque
Probar los siguientes casos:
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Posición del choque y0=0.5
Masa de la segunda partícula my=1.25, 1.5, 1.75, 2.0
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Posición del choque y0=0.2
Masa de la segunda partícula my=1.25, 1.5, 1.75, 2.0, 2.25, 2.5
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Posición del choque y0=0.707
Masa de la segunda partícula my=1.25, 1.5, 1.75, 2.0
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Posición del choque y0=0.5
Masa de la segunda partícula my=0.05, 0.2, 0.35, 0.5
Referencias
De Luca R. Elastic collisions of classical point particles on a finite frictionless linear track with perfectly reflecting endpoints. Eur. J. Phys. 27 (2006) pp. 437-449
