

Choques verticales elásticos
En esta sección, vamos a estudiar los choques elásticos verticales entre dos y tres pequeñas pelotas y generalizaremos el resultado para el caso de n pelotas.
Dos pelotas
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Las dos pelotas de masas m1 (la inferior) y m2 (superior) caen juntas desde una altura h0, cuando llegan al suelo alcanzan la velocidad -v0.
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La pelota inferior de masa m1 rebota elásticamente en el suelo invirtiendo el sentido de su velocidad.
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La pelota inferior de masa m1 y velocidad v0 choca con la pelota superior de masa m2 y velocidad –v0. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son v1 y v2.
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Principio de conservación del momento lineal
m1·v0+m2(-v0)=m1·v1+m2·v2
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Definición de coeficiente de restitución
v1-v2=-e(v0-(-v0))
Si el choque es elástico, e=1
v1-v2=-2v0
Despejamos v1 y v2 del sistema de dos ecuaciones
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Si m1=m2, v2=v0
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Si m1=3m2, v2=2v0
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Si m1>>m2 v2=3v0
La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=9·h0
Tres pelotas
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Las tres pelotas de masas m1 (la inferior) y m2 (intermedia) y m3 (superior) caen juntas desde una altura h0, cuando llegan al suelo alcanzan la velocidad -v0.
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La pelota inferior de masa m1 rebota elásticamente en el suelo, invirtiendo el sentido de su velocidad.
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La pelota inferior de masa m1 y velocidad v0 choca con la pelota intermedia de masa m2 y velocidad –v0. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son v1 y v2.
Aplicando el conservación del momento lineal, y suponiendo que el choque es elástico
m1·v0+m2(-v0)=m1·v1+m2·v2
v1-v2=-2v0Despejamos como antes, las velocidades v1 y v2 del sistema de dos ecuaciones
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La pelota intermedia de masa m2 y velocidad v2 choca con la pelota superior de masa m3 y velocidad –v0. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son V2 y v3.
Aplicando el conservación del momento lineal, y suponiendo que el choque es elástico
m2·v2+m3(-v0)=m2·V2+m3·v3
V2-v3=-(v2-(-v0))Despejamos como antes, las velocidades v3 y V2 del sistema de dos ecuaciones
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Si m1=m2=m3 entonces v3=v0
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Si m1>>m2>>m3 entonces v3=7v0
La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=49·h0
Cuatro pelotas
Si m1>>m2>>m3>>m4 entonces v4=15v0
La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=225·h0
n pelotas
Si m1>>m2…. >>mn entonces vn=(2n-1)v0
Por ejemplo, si dejamos caer ocho pelotas desde un edificio muy alto de 100 m de altura, la velocidad al llegar al suelo es de
Si las masas de las pelotas cumplen la condición de que
m1>>m2>>… >>m8
la velocidad de rebote de la octava pelota es v8=(28-1)v0=11289.3 m/s
que es mayor que la velocidad de escape ve de un objeto de la superficie de la Tierra
R=6370 km es el radio de la Tierra, M=5.98·1024 kg es la masa de la Tierra y G=6.67·10-11 N·m2/kg2.
Referencias
Anderson A. The cocktail (highball) problem. Phys. Educ 34 (2) March 1999, pp. 76-79

