Secuencia de colisiones elásticas

En la página anterior, hemos estudiado el papel jugado por la partícula medidora de masa m₂ en la secuencia de dos colisiones elásticas entre una partícula de masa m₁ y otra de masa m₃.
Fijados m₁ y m₃, la masa de la partícula mediadora m₂ que hace que la velocidad v₃ de la tercera partícula sea máxima es

$m_{2} = \sqrt{m_{1} m_{3}}$

Podemos escribir la media geométrica de la forma alternativa

$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{3}} = α$

Secuencia de n colisiones elásticas

Estudiamos ahora una secuencia de n colisiones elásticas entre una partícula de masa M, un conjunto de n-1 partículas mediadoras y una partícula de masa m. Vamos a estudiar la transferencia de energía de la primera partícula de masa M a la última de masa m.

Las partículas mediadoras en vez de tener una masa arbitraria, tienen una masa que forma una progresión geométrica en la que el primer término es m y el último término es M=mαⁿ

Las masas del conjunto de n+1 partículas son
m, mα, mα², mα³… mα^n-1,mαⁿ=M

Todas las partículas están inicialmente en reposo excepto la incidente de masa M.

Consideremos el caso particular de una secuencia de n=4 colisiones entre 5 partículas para generalizar posteriormente para cualquier otro caso.

Para obtener la velocidad de las dos partículas después del choque, aplicamos el principio de conservación del momento lineal y la condición de choque elástico, es decir, la suma de la energía cinética de las dos partículas se mantiene constante.

Choque de la primera partícula de masa M=mα⁴ y la partícula mediadora de masa mα³

$\begin{array}{l} v_{4} = \frac{m α^{4} - m α^{3}}{m α^{4} + m α^{3}} u_{4} u_{3} = \frac{2 m α^{4}}{m α^{4} + m α^{3}} u_{4} \\ v_{4} = \frac{α - 1}{α + 1} V u_{3} = \frac{2 α}{α + 1} V \end{array}$

Choque de la primera partícula mediadora de masa mα³ y la partícula mediadora de masa mα²

$\begin{array}{l} v_{3} = \frac{m α^{3} - m α^{2}}{m α^{3} + m α^{2}} u_{3} u_{2} = \frac{2 m α^{3}}{m α^{3} + m α^{2}} u_{3} \\ v_{3} = \frac{α - 1}{α + 1} \frac{2 α}{α + 1} V u_{2} = {(\frac{2 α}{α + 1})}^{2} V \end{array}$

Choque de la segunda partícula mediadora de masa mα² y la partícula mediadora de masa mα

$\begin{array}{l} v_{2} = \frac{m α^{2} - m α}{m α^{2} + m α} u_{2} u_{1} = \frac{2 m α^{2}}{m α^{2} + m α} u_{2} \\ v_{2} = \frac{α - 1}{α + 1} {(\frac{2 α}{α + 1})}^{2} V u_{1} = {(\frac{2 α}{α + 1})}^{3} V \end{array}$

Choque de la tercera partícula mediadora de masa mα y la partícula final de masa m

$\begin{array}{l} v_{1} = \frac{m α - m}{m α + m} u_{1} u = \frac{2 m α}{m α + m} u_{1} \\ v_{1} = \frac{α - 1}{α + 1} {(\frac{2 α}{α + 1})}^{3} V u = {(\frac{2 α}{α + 1})}^{4} V \end{array}$

La velocidad de la última partícula de masa m después de la secuencia de cuatro choques es

$u = {(\frac{2}{α + 1})}^{4} \frac{M}{m} V$

Téngase en cuenta que M=mα⁴. En general, para una secuencia de n choques entre n+1 partículas la velocidad final es

$u = {(\frac{2}{α + 1})}^{n} \frac{M}{m} V M = α^{n} m$

Ejemplo

Masa de la partícula incidente M=25 kg
Velocidad inicial V=1.0 m/s
Masa de la última partícula m= 1 kg
Número de partículas mediadoras entre la primera y última, 3.

Momento lineal inicial: MV=25·1=25 kg·m/s

Energía cinética inicial: $\frac{1}{2} M V^{2} = \frac{1}{2} 25 \cdot 1^{2} = 12.5 J$

Velocidades de las partículas después de la secuencia de 5 colisiones

Partícula	Índice i	Masa mαⁱ	Velocidad después del choque	Momento lineal	Energía cinética
Incidente	4	25	0.382	9.549	1.824
Mediadora	3	11.18	0.528	5.902	1.558
Mediadora	2	5	0.729	3.647	1.330
Mediadora	1	2.24	1.008	2.254	1.136
Última	0	1	3.647	3.647	6.652
Total				25.0	12.5

El momento lineal total de todas estas partículas es

$\begin{array}{l} P = \sum_{i = 1}^{n} m α^{i} v_{i} + m u = \sum_{i = 1}^{n} m α^{i} \frac{α - 1}{α + 1} {(\frac{2 α}{α + 1})}^{n - i} V + M V {(\frac{2}{α + 1})}^{n} \\ = m V \frac{α - 1}{α + 1} α^{n} {\sum_{1}^{n} (\frac{2}{α + 1})}^{n - i} + M V {(\frac{2}{α + 1})}^{n} = M V \frac{α - 1}{α + 1} {\sum_{1}^{n} (\frac{2}{α + 1})}^{n - i} + M V {(\frac{2}{α + 1})}^{n} \end{array}$

Tenemos la suma de una progresión geométrica cuyo primer término es 1, la razón es 2/(α+1) y n es el número de términos

$P = M V \frac{α - 1}{α + 1} \frac{1 - {(\frac{2}{α + 1})}^{n}}{1 - \frac{2}{α + 1}} + M V {(\frac{2}{α + 1})}^{n} = M V (1 - {(\frac{2}{α + 1})}^{n}) + M V {(\frac{2}{α + 1})}^{n} = M V$

Energía cinética

$\begin{array}{l} E_{k} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} m α^{i} v_{i}^{2} + \frac{1}{2} m u^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} m α^{i} {(\frac{α - 1}{α + 1} {(\frac{2 α}{α + 1})}^{n - i} V)}^{2} + \frac{1}{2} m {(\frac{M}{m} V {(\frac{2}{α + 1})}^{n})}^{2} \\ = \frac{1}{2} {(\frac{α - 1}{α + 1})}^{2} V^{2} \sum_{i = 1}^{n} m α^{n} α^{n - i} {(\frac{2}{α + 1})}^{2 n - 2 i} + \frac{1}{2} \frac{M^{2}}{m} V^{2} {(\frac{2}{α + 1})}^{2 n} = \\ \frac{1}{2} M {(\frac{α - 1}{α + 1})}^{2} V^{2} \sum_{i = 1}^{n} α^{n - i} {(\frac{2}{α + 1})}^{2 n - 2 i} + \frac{1}{2} \frac{M^{2}}{m} V^{2} {(\frac{2}{α + 1})}^{2 n} \end{array}$

Tenemos la suma de una progresión geométrica cuyo primer término es 1, la razón es $α {(\frac{2}{α + 1})}^{2}$ y n es el número de términos

$\begin{array}{l} E_{k} = \frac{1}{2} M {(\frac{α - 1}{α + 1})}^{2} V^{2} \frac{1 - α^{n} {(\frac{2}{α + 1})}^{2 n}}{1 - α {(\frac{2}{α + 1})}^{2}} + \frac{1}{2} \frac{M^{2}}{m} V^{2} {(\frac{2}{α + 1})}^{2 n} = \\ \frac{1}{2} M V^{2} (1 - α^{n} {(\frac{2}{α + 1})}^{2 n}) + \frac{1}{2} \frac{M m α^{n}}{m} V^{2} {(\frac{2}{α + 1})}^{2 n} = \frac{1}{2} M V^{2} \end{array}$

Secuencia de infinitos choques

Cuando n es muy grande, es decir, n→∞, calculamos el límite

$\underset{n \to \infty}{C = \lim} {(\frac{2}{1 + {(M / m)}^{1 / n}})}^{n}$

Hacemos el cambio x=1/n

$\begin{array}{l} C = \lim_{x \to 0} {(\frac{2}{1 + {(M / m)}^{x}})}^{1 / x} \\ \ln C = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (\frac{2}{1 + {(M / m)}^{x}}) \end{array}$

Aplicamos la regla de l’Hopital

$\begin{array}{l} \ln C = - \lim_{x \to 0} \frac{{(M / m)}^{x} \ln (M / m)}{1 + {(M / m)}^{x}} = - \frac{\ln (M / m)}{2} = \ln \frac{1}{\sqrt{M / m}} \\ C = \sqrt{\frac{m}{M}} \end{array}$

La velocidad final de la última partícula de masa m después de la secuencia de infinitos choques es

$u_{\infty} = \sqrt{\frac{m}{M}} \frac{M}{m} V = \sqrt{\frac{M}{m}} V$

Paradoja
El cambio de momento lineal es la diferencia entre le momento lineal inicial y el momento lineal de la última partícula

$M V - m u_{\infty} = M V - \sqrt{m M} V$

De mismo modo, el cambio de energía es

$\frac{1}{2} M V^{2} - \frac{1}{2} m u_{\infty}^{2} = \frac{1}{2} M V^{2} - \frac{1}{2} m \frac{M}{m} V^{2} = 0$

Toda la energía cinética de la partícula incidente de masa M y velocidad V ha sido trasferida a la última partícula de masa m, a través de una secuencia infinita de choques elásticos.

Actividades

La velocidad inicial de la primera partícula se ha fijado en V=1 m/s
La masa de la última partícula se ha fijado en m= 1 kg

Se introduce

La masa M de la primera partícula, en el control de edición titulado Masa primera.
El número de partículas mediadoras actuando en la barra de desplazamiento titulada Número mediadoras

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa la secuencia de choques, los cambios en el momento lineal y la energía cinética de cada una de las partículas del sistema. Anotar la velocidad u de la última partícula

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Bashkansky E. Netzer N. The role of mediation in collisions and related analogs.Am. J. Phys. 74 (12) December 2006, pp. 1083-1087