Zinematika

Higidura kurboa

Magnitude zinematikoak

Tiro parabolikoa

Higidura konposatuak

Kanioi bat apuntatzea
itu finko bati jotzeko

Hegazkin batetik itu
mugikorra bonbardatzea

Saskibaloiko
jaurtiketak

Irismen maximoa
plano horizontalean

Irismen maximoa
plano inklinatuan

Bestelako maximo
batzuk

Jaurtigai batekin
itu mugikor bat jotzea

Gurpil batetik askatzen
den buztin-zatia

Tiro parabolikoa eta
higidura zirkularra

Torpedo bat itsasontzi
baten atzetik

Saiakuntza

Irismen horizontala eta altuera maximoa

Erreferentziak

Programa honetan higidura kurboaren kasu berezi bat aztertuko da: tiro parabolikoa, izan ere, higidura mota hori higidura sinple ezberdin biren gainezarketa da:

• X ardatz horizontalean higidura uniformea.
• Y ardatz bertikalean higidura uniformeki azeleratua.

 Tiro parabolikoak aztertzeko honako urratsak jarraitu behar dira:

1.-Erreferentzia sistema ezarri: X ardatz horizontala eta Y ardatz bertikala, eta euren jatorria.

2.- Azelerazio bertikalaren balioa eta zeinua.

3.-Hasierako abiaduraren bi osagaien balioak eta zeinuak.

4.-Hasierako posizioa

5.-Higiduraren ekuazioak idatzi.

6.-Datuetatik abiatuta ezezagunak kalkulatu.

 Deskribapena

Irudiak proiektil baten jaurtiketa erakusten du: vo hasierako abiaduraz eta horizontalarekiko q  angelua osatuz. Hasierako abiaduraren osagaiak honakoak dira: Izan ere, tiro parabolikoa bi higidura motaren gainezarketa da: Zuzen eta uniformea X ardatzean Zuzen eta uniformeki azeleratua Y ardatzean

Hona hemen proiektilaren higiduraren ekuazio osoak, grabitatearen azelerazio konstantearen eraginpean:

Posizioaren ekuazio bietan, alegia x eta y, denbora eliminatuz, ibilbidearen ekuazioa lortzen da eta honelako itxurazko ekuazio bat ateratzen da:  y=ax² +bx +c, beraz, parabola bat.

Gainontzeko informazioa ere ekuazio multzo horretatik atera daiteke: esaterako, altuera maximoa atzematen da abiaduraren osagai bertikala anulatzen denean, v_y=0, x ardatzeko irismen maximoa proiektila berriz ere lurrera erortzen den aldiunean, y=0, eta abar.

Saiakuntza

Ebatz bitez eskuz ondorengo adibideak eta gero programa interaktiboan emaitzak egiaztatu.

1.- Hegazkin bat horizontalki hegan ari da 300 m-ko altueran, eta 60 m/s-ko abiaduraz doala bonba bat erortzen uzten du. Kalkula bedi bonbak lurra jo arte tardatuko duen denbora eta bonbaren desplazamendu horizontala.

2.- Koordenatuen jatorritik gorputz bat jaurtitzen da eta bere abiaduraren osagaiak honakoak dira: horizontalki 40 m/s eta bertikalki 60 m/s. Kalkula bedi gorputzaren altuera maximoa eta irismen horizontala.

3.- Errepika bedi aurreko adibidea, baina jaurtiketa 50 metroko altueratik gauzatuta.

4.- Proiektil bat 300 metroko altueratik jaurtitzen da, 50 m/s-ko abiadura horizontalaz eta -10 m/s-ko abiadura bertikalaz (beherantz). Kalkula bedi irismen horizontala eta zein abiaduraz iritsiko den lurrera.

5.- Kanioi batek tiro egiten du itsaslabar baten gainetik itsasora. Labarraren altuera 200 metrokoa da, balaren hasierako abiadura 46 m/s baina 30º-ko angelua osatzen du horizontalaren gainetik. Kalkula bedi irismen horizontala, tiroaren iraupena, balaren abiaduraren osagaiak itsas mailan eta balaren altuera maximoa. (oharra: lehenengo, kalkula bitez hasierako abiaduraren osagai horizontal eta bertikala).

Kontroletan honako datuak idatzi behar dira:

• Hasierako altuera: y₀.
• Hasierako abiaduraren osagai horizontala: v_x.
• Hasierako abiaduraren osagai bertikala: v_y.

Hasi botoia sakatu. Programak jaurtigaiaren mugimendu osoa erakusten du eta bere ibilbidearen arrastoa parabola dela egiazta daiteke. Applet-aren goiko aldean informazio osoa ematen da: posizioa: x eta y , abiadura: v_x eta v_y , eta t aldiunea edo iragandako denbora.

Edozein momentutan mugimendua geldi daiteke Gelditu botoia sakatuz edo, nahi bada, mugimendua pausoka azter daiteke pausoka botoia behin eta berriz sakatuz. Mugimendua jarraitzeko Jarraitu botoia sakatzen da (gelditzeko botoi bera da, baina izena aldatzen zaio).

Esate baterako, jaurtigaia altuera maximora iristera doan unean Gelditu botoia sakatu, eta gero Pausoka botoia zenbait alditan altuera hori atzematen den arte (abiaduraren v_y osagai bertikala zero izan arte). Gero Jarraitu botoia sakatu mugitzen segitzeko. Berriz ere jaurtigaia lurra jotzera doan unean Gelditu botoia sakatu, eta ondoren Pausoka botoiaz y altuera zero izan arte. Ondoren Jarraitu botoia sakatzen bada jaurtigaiak mugitzen segitzen du leihatilatik desagertzen den arte.

Irismen horizontala eta altuera maximoa

Applet-ak proiektilen ibilbide osoak irudikatzen ditu. Jaurti bitez zenbait proiektil hasierako v₀ abiadura berberaz baina q  angelu ezberdinekin: 10º, 20º, 30º, 40º, 45º, 50º, 60º, 70º, 80º, 90º.

 Proiektilen higiduraren ekuazioak honakoak dira:

x=v₀·cosq ·t
y=v₀·sinq ·t-g·t²/2

Segurtasunezko parabola

Jaurtitako proiektilen irismen horizontala lortzeko y=0 baldintza ordezkatu behar da:

Irismen horren balio maximoa da, sinuak 1 balio duenean, alegia q =45º. Baina gainera balio berbera ematen du q =45+a  zein q =45-a . Esate baterako proiektila jaurtitzen bada 40º edo 60º-rekin irismen bera lortzen da, zeren: sin(2·40)=sin(2·60).

Proiektilak atzematen duen altuera maximoa lortzeko v_y=0 baldintza ordezkatzen da.

Altuera maximoaren adierazpena maximoa da, sinuak 1 balio duenean, alegia q =90º denean.

Edozein angeluko ibilbide posible guztien inguratzailea beste parabola bat da eta segurtasunezko parabola deitzen zaio.

Izen horren zergatia da, parabola horren kanpoaldean kokatzen den edozer, v_o abiaduraz jaurtitako proiektil guztietatik libre dagoela.

Segurtasunezko parabola Y ardatzarekiko simetrikoa da ( y= -ax²+b) eta, irudiak erakusten duenez, honako puntuetatik pasatzen da: (x=v₀²/g, y=0) eta (x=0, y=v₀²/(2g))

Parabola horren ekuazioa hau da:

Segurtasunezko parabolaren bestelako dedukzioa

Proiektilaren ibilbidearen ekuazio parametrikoak hauek dira:

x=v₀·cosθ·t
y=v₀·sinθ·t-gt²/2

Denbora eliminatuz, ibilbidearen ekuazio esplizitua lortzen da:

Ekuazio hori beste modu honetan ere berridatz daiteke:

Har dezagun XY planoko puntu arbitrario bat: P (x, y). Bere koordenatuak ibilbidearen azken ekuazio horretan ordezkatzean, hiru gauza ezberdin gerta daitezke:

1. Tangentearen bigarren graduko ekuazio horrek soluzio errealik ez ematea. Hortaz P₁ puntu horretatik ezin da inolaz ere pasatu v_o abiaduraz jaurtitako proiektil bat. Beraz P₁ toki seguruan dago.

2. Bigarren graduko ekuazio horrek soluzio erreal bi ematea. Hortaz, P₂ puntua agerian dago, eta badaude bi jaurtiketa-angelu posible, θ₁ eta θ₂, puntu horretan bertan jotzen dutenak. Irudian bertan ikusten da inguratzailearen azpian dagoen edozein puntu, bi ibilbide ezberdinetik atzeman daitekeela.

3. Bigarren graduko ekuazio horrek soluzio bikoitza ematea: θ₁=θ₂. Orduan, P₃ puntua justu segurtasunezko parabolan bertan dago eta bakarrik dago jaurtiketa-angelu posible bat puntu horretan jotzen duena.

Soluzio bikoitza lortzeko, ax²+bx+c=0 bigarren graduko ekuazioaren diskriminatzailea, alegia b²-4ac,  nulua izan behar da:

Eta hauxe da, hain zuzen, lehenago lortu dugun ekuazio bera, alegia, segurtasunezko parabolarena.

Altuera maximoko puntuak lotzen dituen elipsea

Proiektilaren altuera maximoa lortzeko, baldintza hau ordezkatzen da: v_y=0. Baldintza horri dagokion aldiunea hau da t=v₀·sinθ/g. Eta proiektilaren posizioa une horretan hau da: (x_h, y_h)

Honako erlazio trigonometrikoa ordezkatuta: 1-cos(2θ)=2sin²θ

Lehenengo ekuaziotik sin(2θ) bakanduz eta bigarren ekuaziotik cos(2θ), eta gero karratura berretuz eta gehituz, unitatea eman behar du. Horrela 2θ angelua eliminatzen da.

Ekuazio hori elipse bat da, (0, b) puntuan zentratua eta bere ardatzerdiak 2b eta b dira.

Izan ere, elipse horren fokuaren c distantzia-erdia  eta e eszentrikotasuna hauek dira:

Harrigarria da, eszentrikotasuna konstante bat dela, eta ez dela mugimenduaren inolako parametroren menpekoa.

Saiakuntza

Proiektilaren hasierako abiadura idatzi eta Hasi botoia sakatu.

Appletak angelu ezberdinekin jaurtitako hamar ibilbide irudikatzen ditu aldi berean: q : 10º, 20º, 30º, 40º, 45º, 50º, 60º, 70º, 80º, 90º.

Applet-aren goiko eta eskumako aldean proiektil bakoitzaren irismen horizontala idazten da.

Interesgarria da proiektilen irismena, altuera maximoa, jaurtiketaren iraupena eta abar, eskuz kalkulatzea zenbait jaurtitze-angelu ezberdinentzat, bereziki 45º-koa, eta gero programa interaktiboak ematen dituenekin konparatzea.