Oszilazioak

Osziladoreak (I)

Oszilazio askeak

Oszilazio indargetuak

Oszilazio behartuak:
egoera iraunkorra

Oszilazio behartuak:
egoera iragankorra

Pohl-en pendulua

Partikula bat malguki
baten gainera erori

Kutxa bat garraio-
zinta baten gainean

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (I)

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (II)

Osziladore behartuaren energia. Erresonantzia

Saiakuntza

Aurreko orrian ikusi dugun bezala, oszilazio indargetuetan anplitudea gutxituz doa denborarekin, eta tarte baten ondoren (teorikoki infinitu) osziladorea gelditu egiten da oreka-posizioan bertan. Osziladorea martxan mantentzeko, indar bat aplikatu behar zaio eta indarra bera ere oszilatzailea izan behar da.

Deskripzioa

Partikula oszilatzaileak hiru indar jasaten ditu:

• Malgukiak egiten dion indar elastikoa: -k·x
• Inguruko aireak (edo edozein fluidok) egiten dion marruskadura indar biskosoa: -λv abiadurarekiko proportzionala eta aurkakoa.
• Indar behartzaile eta oszilatzailea: F₀·cos(w_f t) . Dei diezaiogun indar horren maiztasun angeluarrari w_f

Hona hemen partikularen higidura-ekuazioa:

ma = -kx -λv+F₀·cos(w_f t)

Ekuazio hori ekuazio diferentzial gisa adieraz daiteke:

Horrelako ekuazio diferentzial baten soluzioa ezaguna da eta bi atal ditu:

• Egoera iragankorra: hasierako baldintzen araberakoa da baina denbora-tarte bat iragan ondoren (teorikoki infinitu) desagertu egiten da, alegia zerora jotzen du.
• Egoera iraunkorra: ez da hasierako baldintzen menpekoa, eta egoera iragankorra desagertu ondoren, irauten duen bakarra da.

Egoera iraunkorreko soluzioa ekuazio diferentzial osoaren soluzio partikularra da eta honelako adierazpena dauka:

Ekuazio horretan agertzen diren A eta d  kalkula daitezke, soluzio hori ekuazio diferentzialean bertan ordezkatuta. Hona emaitzak:

Ondoko irudiak erakusten du A anplitudearen menpekotasuna w_f-rekin, alegia, indar behartzailearen maiztasunarekin. Bertan ikus daitekeenez, oszilazio behartuen A anplitudea gutxitu egiten da indar behartzailearen maiztasuna oso handia bada osziladorearen berezko w₀  maiztasunarekin konparatuta.

Anplitude horrek maximo bat dauka. Deriba dezagun A-ren adierazpena ω_f-rekiko eta inposa dezagun nulua izan behar dela. Horrek ematen du zein ω_f-rekin lortzen den oszilazioek A anplitude maximoa izatea.

• Marruskadurarik ez badago, γ=0, oszilazio behartuaren A anplitudeak infiniturantz jotzen du, indar behartzailearen w_f  maiztasuna eta osziladorearen berezko w₀ maiztasun naturala antzekoak direnean.
• Marruskadurarik baldin badago, (γ>0), A anplitudea maximoa egiten da indar behartzaileak maiztasun jakin batekin behartzen duenean (irudian marra zuzen gorriak adierazten duena). Maiztasun hori ez dago w₀-tik oso urruti.

Bestalde, partikula oszilatzailearen v abiadura kalkulatzen badugu:

Ikusten da, egoera iraunkor horretan, indar behartzailearen w_f  maiztasuna eta osziladorearen berezko w₀ maiztasuna berdinak badira, orduan, partikularen abiadura eta indar behartzailea fasean egongo direla: d=0.

Osziladore behartuaren energia. Erresonantzia

f(t) funtzio periodiko baten batezbesteko balioa, P periodo batean, honela definitzen da:

Kalkula dezagun definizio horrekin, indar behartzaileak emandako batezbesteko potentzia (energia denbora unitateko):

Kalkula dezagun bestalde, lv marruskadura-indarrak osziladoreari kentzen dion potentzia, batez beste. Energia hori inguruko fluidoan zehar barreiatzen da:

Egoera iraunkorrean:

x=A·sin(ω_f·t+δ)
v=A·ω_f·cos(ω_f·t+δ)

Kalkuluak burutu ondoren, adierazpen bera lortzen da P₁-entzat eta P₂-rentzat.

Egoera iraunkorrean, indar behartzaileak ematen duen batezbesteko energia osoa eta osziladoreak, marruskaduraren eraginez, ingurura barreiatzen duen batezbesteko energia berdinak dira, beraz, osziladorearen batezbesteko energia totala konstante mantentzen da.

Aurreko adierazpena modu sinpleagoan berridatz daiteke:

Indar behartzailearen w_f  maiztasuna eta osziladorearen berezko w₀  maiztasun naturala berdinak direnean, orduan  indar behartzailea bera (F₀·cos(w_f t)) eta osziladorearen v abiadura fase berean daude, δ=0, eta horregatik indarrak emandako batezbesteko P potentzia maximoa da. Egoera horri erresonantzia deritzo.

P potentzia grafikoki adierazten bada X aldagaiaren menpe, irudiko kanpai-itxura ateratzen da. Potentziaren maximoa lortzen da X=0-rekin, edo bestela esanda, wf  maiztasun behartzailea eta w0 berezko maiztasuna berdinak direnean: wf = w0. Gainera ikusten da, funtzio simetrikoa dela, alegia, balio berdinak dituela X positiboetan eta X negatiboetan, eta P potentziak laster jotzen duela zerorantz X zerotik urruntzen denean, alegia, wf  eta w0 gero eta ezberdinagoak bilakatzen direnean.

Kurba horren beste ezaugarri inportantea zabalera da; Zabalera definitzen da, maximoaren potentziaren erdia baino gehiago ematen duten wf  maiztasunek osatzen duten tartea. Tarte hori w0-ren inguruan kokatzen da, X=−1-tik X=+1-raino, eta 2g  balio du, gutxi gora behera. Irudiak erakusten ditu erresonantzia-maiztasun bereko eta zabalera ezberdineko bi kanpai.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Indargetze-konstantea, γ, dagokion kontrolean idatziz.
• Indar behartzailearen maiztasun angeluarra,w_f , dagokion kontrolean idatziz.
• Programak finkotzat hartzen ditu osziladorearen berezko maiztasun naturala, w₀ =100 rad/s, eta indar behartzailearen F₀ anplitudea.

Hasi botoia sakatu:

Leihatilaren ezkerraldean malgukia oszilatzen ikusten da, indar behartzailearen eraginez, w_f  maiztasunaz eta egoera iraunkorrean. bi bektorek erakusten dute indar behartzailearen norabidea (gorria) eta osziladorearen v abiadura (urdinez).

Grafiko batek erakusten du x posizioa t denboraren menpe. Leihatilaren eskumako aldean, berriz, bi grafiko erakusten dira: A anplitudea eta δ fase-diferentzia, biak w_f -ren menpe adierazita, eta aukeratutako γ konstantearekin lortutakoak. Bietan markatzen da aukeratutako w_f .