Oszilazioak

Osziladoreak (I)

Oszilazio askeak

Oszilazio indargetuak

Oszilazio behartuak:
egoera iraunkorra

Oszilazio behartuak:
egoera iragankorra

Pohl-en pendulua

Partikula bat malguki
baten gainera erori

Kutxa bat garraio-
zinta baten gainean

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (I)

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (II)

Marruskadurarik ez dago

Marruskadura badago

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan oszilazio behartuen arazoa osorik aztertzen da, horretarako matematikaren zenbait atal menperatzea komeni da:

• Funtzio trigonometrikoen arteko buruketak.
• Funtzio matematikoen deribatuak kalkulatzea.
• Limiteak,
• Adierazpenak sinplifikatzea.
• Adierazpen orokor eta konplexutik abiatuta, soluzio sinpleagoak lortzea kasu berezietan.

Ekuazio diferentzialaren soluzioa

Hona hemen oszilazio behartuen ekuazio diferentzial osoa:

• hemen, ω₀ osziladorearen berezko maiztasun naturala da.
• ω_f , indar behartzailearen maiztasun angeluarra, bera ere oszilatzailea da eta F anplitudea du.
• γ  indargetzearen konstantea; demagun  γ<ω₀

Ekuazio diferentzialaren zati homogeneoaren soluzioak honelako forma dauka:

Soluzio horretan, C eta D hasierako baldintzetatik determinatzen dira.

Bestalde, ekuazio diferentzial osoaren soluzio partikular bat honelakoa da:

x₂=Acos(ω_f t)+Bsin(ω_f t)

A eta B koefizienteak lortzen dira soluzio hori ekuazio diferentzialean bertan ordezkatuz:

Ekuazio diferentzial osoaren soluzio orokorra bi soluzioen batura da, alegia, zati homogeneoaren soluzioa gehi soluzio partikularra: x=x₁+x₂.

Lehen terminoa, esponentzial beherakorra bidertzen duena, termino iragankorra da eta denborarekin desagertuz doa, zerora jotzen duelako. Bigarren terminoa, berriz, termino iraunkorra da.

Abiadura idatz daiteke:

Har ditzagun hasierako baldintzak: t=0, x=x₀, v=v₀.

Hasierako baldintzarik sinpleena hau da: t=0 aldiunean, x=0, eta dx/dt=0. Partikula oszilatzailea jatorritik abiatzen da eta abiadura nuluaz.

Hona hemen partikula oszilatzaile eta behartuak duen x posizioa t denboraren menpe:

Soluzio luze hori sinplifika daiteke zenbait kasu berezitan.

Marruskadurarik ez dago: γ=0

Kasu bi aztertuko ditugu: bata erresonantzia-maiztasunetik gertu, eta bestea erresonantzian bertan.

Erresonantzia-maiztasunetik gertu: ω_f=ω_o+ε  baina ε<<ω_o

Marruskadurarik ez badago, oszilazioen maiztasuna ω₀ da, oszilazio askeen maiztasun bera. Bestalde, indar behartzailearen ω_f maiztasuna erresonantzia maiztasunetik gertu badago, honelako hurbilketa egin daiteke:

Eta honako erlazio trigonometrikoa erabiliz:

honako emaitza lortzen da:

Emaitza horrek pultsazioak adierazten ditu. Pultsazioen anplitudea (lehen bi terminoen biderketa) eta pultsazioen maiztasuna, biak, e parametroaren menpekoak dira, alegia, maiztasun behartzailearen eta erresonantzia maiztasunaren arteko diferentzia, edota zenbateraino dauden hurbil bi maiztasunok. Ikusi ondorengo irudiak:

Maiztasun behartzailea (ω_f) zenbat eta hurbilago egon erresonantzia maiztasunetik (ω_o), orduan eta anplitude handiagoa lortzen da, eta orduan eta maiztasun txikiagoa dute pultsazioek.

Justu erresonantzian bertan: ω_f=ω₀

Desplazamenduaren adierazpenean, x(t) , har dezagun honako hurbilketa:

Anplitudea hazi egiten da, denborarekiko linealki eta etengabe, ondoko irudiak erakusten duen bezala:

Marruskadurarik badago

Azter ditzagun kasu bi, lehen bezala: erresonantzia-maiztasunetik gertu eta erresonantzia maitasunean bertan. Ikusiko dugu, oszilazioak egoera egonkorrera iristen direla t denbora-tarte bat iragan ondoren eta denbora-tarte hori 1/γ-ren ordenakoa dela.

Erresonantzia maiztasunetik gertu: ω_f=ω₀+ε baina ε<<ω₀

Indargetze-konstantea (γ) txikia bada, orduan ω erresonantzia-maiztasuna oszilazio askeen ω₀ erresonantzia-maiztasunetik gertu egongo da: ω≈ω₀. Bestalde, indar behartzailearen ω_f  maiztasuna erresonantzia maiztasunetik gertu dagoenez, lehengo hurbilketa bera egin daiteke:

Ekuazio diferentzial osoaren soluzio orokorra honela berridatz daiteke:

Baina terminoak bildu eta berrantolatuz:

Parentesi barruko lehen terminoaren "kosinua gehi sinua" (ω_o maiztasunekoa) beste honela berridatz daitezke:

eta modu berean, parentesi barruko bigarren terminoaren "sinua gehi kosinua" (ω_f  maiztasunekoa). Guztira, honela berridazten da soluzio osoa:

Soluzio horrek erakusten du bi HHS-ren gainezartzea, antzeko bi maiztasunekin, ω₀ eta ω_f , batak anplitude aldakorra dauka exp(-γt) eta besteak anplitude konstantea: 1.

Bektoreen baturaren diagramekin HHS erresultantea lor daiteke. HHS erresultantearen maiztasuna, gutxi gora behera, ω₀ da eta anplitudea goiko eta eskumako paralelogramoaren diagonala:

Oszilazio erresultantearen fasea, φ(t) denboran zehar aldatzen da, baina astiro. Anplitudea berriz, sinu funtzioa biderkatzen ari den erro karratu luzea, denborarekin fluktuatuz doa, baina bi maiztasunen diferentziaz: ε= ω_f-ω₀, batez besteko balioaren inguruan.

Oszilazioaren anplitudea, denborarekin, batez besteko balio horretara hurbiltzen doa, esponentzial beherakorren eraginez. Egoera iragankorrak irauten duen bitartean, anplitudeak oso balio handiak har ditzake, ia oszilazio iraunkorrena bi bider, irudiak erakusten duen bezala:

Eskumako irudian osziladorearen E energia totala adierazten da (energia zinetikoaren eta potentzialaren batura). Grafiko horrek iradokitzen du, energiak asko fluktuatzen duenez, komenigarria dela batezbesteko balioak hartzea periodo batean. Batezbesteko energiak balio konstante baterantz jotzen du denbora iragan ahala eta egoera iraunkorrean sartzen den heinean.

Justu erresonantzian bertan: ω_f=ω₀

Desplazamenduaren adierazpena, x(t) , asko sinplifikatzen da:

Anplitudea hazi egiten da, asintotikoki, honako baliorantz: . Balio hori indargetze-koefizientearen araberakoa da, alderantziz proportzionala.

Eskumako irudiak faseen espazioa erakusten du, x-v (posizioa-abiadura): Ikusten denez, partikula oszilatzaile eta behartua koordenatuen jatorritik abiatzen da eta espiral bat jarraitzen du (gorria), azkenean, elipse bat jarraitzen du behin eta berriz, egoera iraunkorrean.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Hasierako posizioa, x₀, dagokion kontrolean idatziz.
• Hasierako abiadura, v₀, dagokion kontrolean idatziz.
• Indargetze-konstantea, γ, dagokion kontrolean idatziz.
• Indar behartzaile eta oszilatzailearen maiztasuna, w_f , dagokion kontrolean idatziz.
• Indar behartzaile eta oszilatzailearen anplitudea, F , dagokion kontrolean idatziz.
• Programa interaktiboak osziladorearen berezko maiztasuna finkotzat hartu du: w₀ =100 rad/s.

Hasi botoia sakatu.

• Leihatilaren ezkerreko aldean malgukia ikusten da, oszilatzen. Ondoan,  x-t.  grafikoa.
• Eskumako aldean eta goian, osziladorearen ibilbidea faseen espazioan, v-x.
• Eskumako aldean eta behean, energia totala denboraren menpe, E-t.

Oszilazio behartuen adibideak

Grafikoren bat eskalatik kanpo irteten bada, orduan indar behartzailearen anplitudea, F, gutxiagotzea komeni da, dagokion kontrolean idatziz.

Osziladorearen berezko maiztasuna finkoa da, w₀ =100 rad/s, baina indar behartzailearena alda daiteke, w_f , maiztasun horren inguruetan. Ondoren adibide batzuk aipatuko dira eta, beha bitez emaitzak:

1. Partikularen higidura espazio arruntean (x-t).
2. Partikularen ibilbidea faseen espazioan (v-x).
3. Partikularen energia denboraren menpe (E-t).

Oszilazio behartuak aztertzeko adibiderik aipagarrienak bi dira:

1. Hasierako baldintza sinpleenak (x=0, v=0): partikula hasieran jatorrian dago eta geldi.

2. Erabiltzaileak aukeratutako hasierako baldintzak: horrela ikusten da, hasierako baldintzen arabera, egoera iragankorra aldatzen dela, baina egoera iraunkorra, ordea, ez (denbora-tarte bat iragan ondoren partikularen higidura periodikoa bilakatzen da, alegia behin eta berriz errepikatzen da; horri deritzo egoera iraunkor). Zenbat eta handiagoa izan indargetze konstantea orduan eta lehenago atzematen da egoera egonkorra.

Hasierako baldintza sinpleenak (x=0, v=0),

1. Erresonantziatik gertu: w_f =110 edo 90
2. Justu erresonantzian bertan: w_f =100
3. Pultsazioak behatzen dira: w_f =80 eta g =1.

Erabiltzaileak aukeratutako hasierako baldintzak

• Marruskadurarekin (g =10)

Hasierako baldintzen adibideak, justu erresonantzian bertan (w_f =100)

• x=-5, v=0

• x=+5, v=0

• x=0, v=+500

• x=0, v=-500

Hasierako baldintzen adibideak, erresonantziatik gertu (w_f =90)

• x=-5, v=0
• x=+5, v=0
• x=0, v=+500
• x=0, v=-500

• Marruskadurarik gabe (g =0)

Hasierako baldintzen adibideak, justu erresonantzian bertan  (w_f =100)

• x=1.5, v=0
• x=0, v=-50
• x=0, v=150

Hasierako baldintzen adibideak, erresonantziatik gertu (w_f =90)

• x=5, v=0
• x=0, v=-100