Oszilazioak

Osziladoreak (I)

Oszilazio askeak

Oszilazio indargetuak

Oszilazio behartuak:
egoera iraunkorra

Oszilazio behartuak:
egoera iragankorra

Pohl-en pendulua

Partikula bat malguki
baten gainera erori

Kutxa bat garraio-
zinta baten gainean

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (I)

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (II)

Energiaren ikuspegia

Saiakuntza

Erreferentzia

Demagun honako sistema oszilatzailea: partikula bat erortzen uzten da altuera jakin batetik behera, eta behealdean plataforma bat dago malguki bati lotuta (partikularen masa m, altuera h, plataformaren masa M eta malgukiaren konstante elastikoa k; ikus ezazu irudia). Hasteko, har dezagun arbuiagarritzat plataformaren masa. Baldintza horrekin, partikula malgukiaren gainera erortzen da, zapaldu egiten du eta berriz ere errebotatu egiten du. hasierako altueraraino. Sistema hori kontserbakorra da. Aldiz, plataformaren masa ez bada nulua (M≠0 ), partikulak plataformarekin talka inelastikoa gauzatzen du, eta biak itsatsita geratzen dira, honako orri honetan bezalaxe:  “Malguki  bertikal batek plataforma bat du gainean, eta goitik bloke bat erortzen zaio”.

Higiduraren ekuazioak

Azter dezagun osziladore horren higidura, zatika. Lehen lehenik, har dezagun altueren jatorria plataformaren oreka-posizioan. Denbora zenbatzeko, bi kronometro erabiliko ditugu: batak t denbora neurtuko du, alegia, higiduraren atal bakoitzaren iraupena, eta besteak, ordea, denbora totala, tt, partikula h altueratik askatu den unetik hasita.

1.- Erorketa askea  x≥0

Partikula askatu egiten da h altueratik eta honako aldiuneetan: t=0, tt=0. Hona hemen partikularen posizioa eta abiadura: x=h -gt2/2 v= -gt Partikula plataformaraino iristen da, alegia, x=0 posizioraino: erorketaren iraupena: t1 (tt=t1 aldiunea)  eta bere abiadura kalkulatzen da:

2.-Partikulak malgukia zapaltzen du,   x≤0

Partikulak jasaten dituen indarrak bi dira: pisua eta malgukiak egiten dion indarra. Newton-en bigarren legearen arabera: ma= -kx-mg (hemen x≤0, denez –kx≥0 positiboa da, gorantz, irudiak erakusten duen bezala) Ekuazio diferentzial gisa berridatzita:

Ekuazio diferentzial horren soluzioak bi zati ditu: batetik ekuazio homogeneoaren soluzioa::

x₁=Asin(ωt)+Bcos(ωt) 

eta hemen A eta B konstanteak hasierako baldintzetatik determinatzen dira.

Eta bestetik ekuazio osoaren soluzio partikular bat:

x₂=C

Soluzio partikular hori ekuazio diferentzialean ordezkatuz, C konstantea determinatzen da:

ω²C= -g

Eta ekuazio diferentzial osoaren soluzioa hau da: x=x₁+x₂

Hasierako baldintzak ezagunak dira: partikulak malgukia lehen aldiz ukitzen duen unean: t=0 (baina denbora totala tt=t₁) posizioa x=0, eta abiadura: v₁. Hortaz bi ekuazioko eta bi ezezaguneko sistema horretatik A eta B ateratzen dira:

Partikulak desplazamendu maximoa atzematen duenean: v=0, dei diezaiogun aldiune horri t₂. Aldiune hori honela kalkulatzen da:

Eta beraz, desplazamendu maximoa:

Adierazpen horiek lortzeko honako erlazio trigonometrikoak erabili dira:

Baina ωt₂ bigarren koadranteko angelua izan behar denez, bere sinua positiboa izango da eta kosinua, berriz, negatiboa.

Ondoren, partikula desplazamendu maximotik berriz ere jatorrirantz abiatzen da; horretarako denbora berbera behar du, hortaz:

T_v=2t₂

Egiazta daiteke, ordezkapena eginez, t=2t₂ aldiune horretan partikularen posizioa x=0 dela eta bere abiadura

Horretarako, erlazio trigonometriko hauek erabili behar dira:

cos(2θ)=cos²θ-sin²θ
sin(2θ)=2cosθ·sinθ

bi erlazio horiez gain erabili behar dira, tangentea erlazionatzen dutenak sinuarekin eta kosinuarekin.

3.- Partíkula igotzen da

Partikula oreka-posiziotik irteten da t=0 aldiunean, (denbora totala tt=t₁+2t₂) eta  abiaduraz:

Aurrerantzean, partikularen posizioa eta abiadura honela adierazten dira:

Eta altuera maximoa atzematen duenean v=0, dei diezaiogun aldiune horri  t₃ .

Izan ere, partikularen posizioa hasierako bera da, x=h, baina honako denbora iragan da: tt=t₁+2t₂+t₃=2t₁+2t₁

Denbora total hori (oszilazio baten T periodoa), honela idatz daiteke:

Ondok irudiak partikularen x posizioa erakusten du tt denboraren menpe, periodo oso baten bitartean:

Energiaren ikuspegia

Partikularen energia potentzialak bi zati ditu:

Energia totala, E=mgh, zinetiko bilakatu da osorik, jatorritik pasatzen den unean, x=0. Malgukia zapalduta dagoenean, berriz, x<0 eta energia totalak hiru zati ditu:

Desplazamendu maximoa kalkulatzeko, partikularen abiadura baliogabetu behar da. Horrek bigarren graduko ekuazioa ematen du eta hortik x kalkulatzen da:

Ondoko irudiak partikularen energiaren atalak erakusten ditu x posizioaren menpe: Lerro zuzen horizontal eta beltzak energia totala adierazten du. x posiziotik pasatzen den marra bertikalak bi zati ditu: AB zati urdina energia potentziala da eta BC zati gorria energia zinetikoa. Horrenbesteko energia totalarekin, partikula honako tarte honetan mugi daiteke soilik, x_m≤x≤h , energia zinetikoa positiboa edo nulua delako. Izan ere, x_m eta h posizioei itzultze-posizio deritze, partikularen abiadura nulua delako eta ibilbidearen noranzkoa aldatu egiten duelako.

Partikulak jasaten duen indarra energia potentzialaren grafikoaren malda da (eta zeinua aldatuta). Jatorritik eskumara malda konstantea da, baina jatorritik ezkerrera ez:

Energia potentzialak minimo bat dauka, irudia zehazki begiratuz, x≤0 tartean. Oreka posizio egonkor bat da:

x_e= -mg/k

Posizio horretan partikularen pisua eta malgukiak egiten duen indarra berdinak dira. Puntu hori ez da jatorria.

Adibidea.

• Partikularen masa, m=5 kg

• Malgukiaren konstante elastikoa, k=1500 N/m

• Partikularen hasierako posizioa, h=1 m eta abiadura nulua, v=0.

Blokea erori egiten da, eta jatorrira iristen da, x=0, honako aldiunean: tt=t₁=0.452 s. Une horretan v₁=4.43 m/s-ko abiadura du.

Partikulak malguki elastikoa ukitzen du eta zapaldu. Desplazamendu maximoa gertatzen da v=0 betetzen den aldiunean: tt=t₁+t₂

Partikula berriz ere jatorritik pasatzen da honako aldiunean: tt=t₁+2t₂=0.648 s

Eta, azkenik, berriz ere hasierako posiziora iristen da eta periodo bat osatu: tt=2t₁+2t₂=1.100 s

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Partikularen masa, m, dagokion kontrolean idatziz.

• Malgukiaren konstante elastikoa, k, dagokion kontrolean idatziz.

• Partikularen hasierako altuera finkotzat hartzen da: h=1 m

Berria botoia sakatu:

Hasi aurretik, programak egiaztapen bat egiten du, ea deformazio maximoa 0.45m baino handiagoa ateratzen den, eta hala bada, eskatu egiten du blokearen masa gutxitzeko edota malgukiaren konstantea handitzeko.

Hasi botoia sakatu.

Leihatilaren ezkerraldean ikusten da, partikula nola erortzen den plataformaren gainera, malgukia nola zapaltzen den eta partikulak nola errebotatzen duen. Horretaz gain, grafiko bat irudikatzen da baina hiru grafiko mota aukera daitezke, dagokion botoia aktibatuz:

• Energía: partikularen energia potentziala irudikatzen da posizioaren menpe, E_p(x).

• x-t, partikularen posizioa adierazten da denboraren menpe.

• v-x, partikularen abiadura adierazteen da posizioaren menpe, faseen espazioa.