Oszilazioak

Osziladoreak (I)

Oszilazio askeak

Oszilazio indargetuak

Oszilazio behartuak:
egoera iraunkorra

Oszilazio behartuak:
egoera iragankorra

Pohl-en pendulua

Partikula bat malguki
baten gainera erori

Kutxa bat, garraio
zinta baten gainean

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (I).

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea(II).

Gelditze-posizioak

Energiaren ikuspegia

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan berriz ere aztertuko ditugu marruskadura-indar konstante batek indargetutako oszilazioak baina, oraingoan, blokeak plano horizontalean irristatu beharrean, plano inklinatu batean irristatzen du.

Demagun m masadun bloke bat, k konstantedun malguki baten muturrean lotuta eta θ inklinazioa duen plano batean irristatzen. Gainera, planoaren eta blokearen arteko marruskadura koefizientea μ da.

Higiduraren ekuazioak

Higidura deskribatzeko, X ardatza plano inklinatuaren gainean kokatuko dugu. Har dezagun posizioen O jatorria malgukiaren mutur askean, zapalduta ez dagoenean, eta noranzko positiboa maldan gora.

Blokeak lau indar jasaten ditu:

• Pisua, mg

• Plano inklinatuaren erreakzio normala: N=mgcosθ

• Malgukiak egiten dion indarra, kx

• Marruskadura-indarra,  f_r

Blokeak maldan behera irristatzen du, v<0

Blokea abiatzen da x₀>0  posiziotik, eta maldan behera irristatzen du pisuaren osagaiak (mg·sinθ) eta malgukiaren indarrak (kx₀) marruskadura-indar estatikoa (μ_s·mg·cosθ) gainditzen baldin badute:

mgsinθ+kx₀ ≥ μ_s·mg·cosθ

Hala ez bada, posizio horretan geldi geratuko da. Demagun abiatzeko baldintza minimoa betetzen dela:

Blokeak maldan behera irristatuko du (v<0), marruskadura-indarra goranzkoa da eta honako modulua du: f_r=μ_k·N. Higiduraren ekuazioa honela idatz daiteke:

ma= -kx -mgsinθ +μ_kmgcosθ

Ekuazio diferentzial gisa berridatziz:

hemen ω²=k/m  eta  a_-= g(sinθ-μ_kcosθ)

(a_- parametro konstanteak adierazten du blokearen azelerazioa malgukiaren luzera naturaletik beherantz pasatzean)

Ekuazio diferentzial hori HHS-aren ekuazio diferentzialaren antzekoa da, baina termino gehigarri bat du.

Ekuazio diferentzial horren soluzioak bi atal ditu: batetik, ekuazio homogeneoaren soluzioa (termino gehigarririk gabe, HHS-ren soluzio bera) eta, bestetik, konstante bat, x=C, termino gehigarria konstantea delako. Soluzio konstante hori ekuazio diferentzial osoan ordezkatuz:

ω²C= -a_-                  C= -a_- /ω²

Hona hemen ekuazio osoaren soluzioa:

Eta blokearen abiadura:

A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik determinatzen dira:  t=0, aldiunean, x=x₀ posizioan eta pausagunean: v=0.

x₀= B -a_- /ω²
0=Aω

A eta B aterata, hona hemen blokearen x posizioa eta v abiadura denboraren menpe (maldan behera doanean):

Maldan behera mugituko da gelditze-posizioa atzematen duen arte: v=0. Posizio hori x₁ da eta honako aldiunean gertatzen da: ωt=π. Beraz,

Gelditze-posizio horretatik abiatuko da malgukiaren indarrak pisua eta marruskadura gainditzen baditu:

k|x₁| -mgsinθ ≥ μ_smgcosθ

Bestela, x₁ posizio horretan geldi geratuko da. Demagun abiatzeko gai  dela:

Blokeak maldan gora irristatzen du, v>0

Blokeak maldan gora irristatzen duenean (v>0), marruskadura-indarra beheranzkoa da eta higidura-ekuazioa honela idazten da:

ma= -kx –mgsinθ -μ_kmgcosθ

Ekuazio diferentzial gisa berridatziz:

Lehen bezala, ω²=k/m  eta  a₊= g(sinθ +μ_kcosθ)

(a₊ parametro konstanteak adierazten du, blokearen dezelerazioa malgukiaren luzera naturaletik gorantz pasatzean).

Ekuazio diferentzialaren soluzio osoa honelakoa da:

Eta blokearen abiadura:

A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik determinatzen dira. Berriz ere denbora zenbatzen hasten bagara, t=0 aldiunean blokea x=x₁ posizioan eta pausagunean dago: v=0.

x₁=B-a₊ /ω²
0=Aω

A eta B kalkulatuta, hona hemen blokearen x posizioa eta v abiadura denboraren menpe (maldan gora doanean):

Blokeak maldan gora irristatzen du gelditu arte: v=0, honako aldiunean:  ωt=π, eta  x₂ gelditze-posizioan.

Bigarren gelditze-posizio horretatik abiatuko da, honako baldintza betetzen bada:

mgsinθ +kx₂ ≥ μ_s·mg·cosθ

Bestela x₂ posizio horretan geldi geratuko da. Demagun abiatzeko baldintza betetzen dela.

Gelditze-posizioak

Blokeak beherantz irristatuko du (v<0) eta honako aldiunean geldituko da: ωt=π, abiadura nulua delako (berriro hasi gara denbora zenbatzen). Une horretan x₃ posizioa:

Posizio horretatik gorantz abiatuko da honako baldintza betetzen bada:

k|x₃| -mgsinθ ≥ μ_smgcosθ,

Bestela, x₃ posizioan geldi geratuko da. Demagun abiatzeko gai dela.

Blokeak gorantz irristatuko du gelditu arte: ωt=π, abiadura nulu bilakatzen delako. x₄ gelditze-posizioa:

Orokorrean blokearen gelditze-posizio bakoitiak (behekoak) honako aldiuneetan gertatzen dira: t=(2n-1)π/ω eta n=1, 2, 3... eta gelditze-posizioak honela adieraz daitezke:

Gelditze-posizio horietatik (x_2n-1) blokea gorantz abiatuko da baldintza hau betetzen bada:

k|x_2n-1| - mgsinθ ≥ μ_smgcosθ,

Bestela x_2n-1 gelditze-posizio horretan (behean) geldi geratuko da.

Blokeak gorantz irristatzen duenean, v>0. Blokearen posizioa denboraren menpe honela adierazten da, t=(2n-1)π/ω aldiunetik aurrera.

Goiko gelditze-posizioak aldiune hauetan gertatzen dira: t=(2n)π/ω  eta  n=1, 2, 3... Gelditze-posizio bikoitiak (goikoak) honela adieraz daitezke:

Blokea beherantz abiatuko da x_2n gelditze-posiziotik, honako baldintza betetzen bada:

mgsinθ + kx_2n ≥ μ_s·mg·cosθ

Bestela blokea goiko x_2n gelditze-posizio horretan geldi geratuko da.

Blokeak beherantz irristatzen duenean, v<0. Blokearen posizioa denboraren menpe honela adierazten da, t=(2n)π/ω aldiunetik aurrera:

Hasierako eta amaierako posizioen arteko distantzia

Blokea oszilazioen goiko aldean gelditzen bada, oszilazio erdien kopuru bikoiti bat burutu du (2n). Hasierako posizioa, x₀, eta amaierako posizioa, x_2n:

Oszilazio erdi bat burutzeko tardatzen duen denbora beti berdina da: t=π/ω. Hortaz gelditu arteko denbora totala: t_2n=(2n)π/ω. Dei diezaiogun d hasierako eta amaierako posizioen arteko distantziari:

Adibidea:

• Plano inklinatuaren angelua, θ=30º.

• Blokearen masa, m=1.0 kg.

• Malgukiaren konstante elastikoa, k=50 N/m.

• Blokearen eta planoaren arteko marruskadura-koefizientea, μ_k=μ_s=0.3

• Hasierako posizioa, x₀=0.5 m=50 cm

Azelerazio parametroak

a_-= g(sinθ-μ_kcosθ)= 2.35 m/s
a₊= g(sinθ+μ_kcosθ)= 7.45 m/s

Blokearen gelditze-posizioak:

Ondoko irudiak erakusten du blokearen x posizioa denboraren menpe, eta zenbait gelditze-posizio markatu dira:

Oszilazio erdi bat burutzeko behar duen denbora hau da: π/ω=0.44 s, eta beraz, 6 oszilazio erdi osatzeko behar duen denbora totala: t₆= 2.67 s.

Hasierako eta amaierako posizioen arteko d distantzia: x₆-x₀= 61.11 cm.

Energiaren ikuspegia

Amaierako energiaren eta hasierako energiaren arteko kenketa marruskadura-indarrak egindako lana da. Sistemaren energia hiru energia motak osatzen dute:

• Energia zinetikoa

• Malguki elastikoaren energia potentziala

• Grabitatearen energia potentziala. Har ditzagun bi energia potentzialen jatorriak malgukiaren oreka-posizioan.

Blokea x₀ posiziotik eta pausagunetik abiatzen bada, orduan x posizioan dagoenean v abiadura du:

Abiadura nulu bilakatzen denean, lehen gelditze-posizioa da: x₁

Bigarren graduko ekuazioa da eta x₁ posizioa kalkula daiteke:

Blokea x₁ posiziotik eta pausagunetik abiatzen bada, orduan x posizioan dagoenean v abiadura du:

Abiadura nulu bilakatzen denean, bigarren gelditze-posizioa da: x₂

Bigarren graduko ekuazioa da eta x₂ posizioa kalkula daiteke:

eta horrela behin eta berriz.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke

• Blokearen eta planoaren arteko marruskadura koefizientea, μ_s=μ_k, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Plano inklinatuaren angelua, gradutan, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Blokearen masa, m , finkotzat hartzen da: m=1.0 kg.

• Blokearen hasierako posizioa, x₀ , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Malgukiaren konstante elastikoa, k , N/m-tan dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Blokea ikusten da maldan behera eta gora irristatzen.

Leihatilaren beheko aldean programak idatziz ematen ditu honako datuak uneoro: denbora totala, tt, denbora partziala, t, segundotan, x posizioa zentimetrotan, v abiadura m/s-tan, eta multzoaren E energia totala.

Blokeak jasaten dituen indarrak bektoreen bitartez adierazten dira:

• Blokearen pisuaren osagaia planoaren norabidean.

• Marruskadura-indarra.

• Malgukiak egiten duen indar elastikoa.

Leihatilaren eskumako eta goiko aldean barra-diagrama batek multzoaren energia adierazten du uneoro.

• Laukizuzen beltza hasierako energia da.
• Gorriz, malgukiaren energia potentzial elastikoa, beti positiboa.
• Urdinez, blokearen energia zinetikoa, hau ere beti positiboa.
• Arrosa kolorez, energia potentzial grabitatorioa, blokearen posizioaren arabera, positiboa edo negatiboa izan daiteke, jatorritik gora eta behera.

Energia totala gutxituz doa marruskadura-indarrak lana egiten duen heinean.

Grafikoa laukia aktibatzen bada, Hasi botoia sakatzerakoan, blokearen x posizioa grafikoki adierazten da denboraren menpe.