Oszilazioak

Osziladoreak (I)

Oszilazio askeak

Oszilazio indargetuak

Oszilazio behartuak:
egoera iraunkorra

Oszilazio behartuak:
egoera iragankorra

Pohl-en pendulua

Partikula bat malguki
baten gainera erori

Kutxa bat garraio-
zinta baten gainean

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (I)

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (II)

Kutxak irristatzen du

Kutxa zintarekin batera mugitzen da

Saiakuntza

Erreferentzia

Dinamikaren kapituluan ikusten da, marruskadura-indarraren atalean, oso adibide esanguratsua: “Habe horizontal bat, euskarri mugikor bitan etzanda”. Bertan ikusten da zein jokabide duten marruskadura-koefiziente estatiko eta zinetikoak gorputz batek irrist egiterakoan.

Oraingoan, kutxa bat aztertuko dugu, garraio-zinta baten gainean etzanda eta malguki batean lotuta, irudiak erakusten duen bezala (kutxaren masa m da, malgukiaren konstante elastikoa k eta garraio-zintaren abiadura v₀). Kutxaren eta garraio-zintaren arteko marruskadura koefiziente estatiko eta zinetikoa  μ_s eta μ_k dira hurrenez hurren, eta ohi den bezala μ_s≥ μ_k.

Kutxak lau indar jasaten ditu:

• Pisua, mg

• Zintaren erreakzio normala, N=mg

• Malgukiak egiten dion indar elastikoa, kx

• Marruskadura-indarra, f_r

Higidurak dituen atalak aztertuko ditugu.

Hasiera

Har dezagun posizioaren jatorria (x=0) malgukiaren oreka-posizioan, eta horrela, kutxa jatorrian dagoenean malgukiak ez du deformaziorik.

Kutxa oreka-posizioan kokatzen badugu, marruskadura-indarrak (f_r=μ_s·mg) eskumarantz bultzatuko du (irudian bektore urdina). Baina eskumarantz desplazatzen den heinean malgukiaren indarra handitzen joango da, harik eta bi indarrak berdintzen diren arte. Dei diezaiogun x_o desplazamendu maximoko posizio horri:

 kx₀= μ_s·mg

Kutxak irristatzen du

Has gaitezen berriro denbora kronometratzen: t=0.

Marruskadura-indarra aldatzen da: f_r= μ_k·mg . Gainera bere noranzkoa (v₀−v) abiadura erlatiboaren aurkakoa da, edo bestela esanda, kutxak zintarekiko duen abiadura erlatiboaren aurkakoa. Kutxaren abiadura zintarena baino txikiagoa den bitartean (v≤v₀) marruskadura-indarraren noranzkoa eskumarantz izango da (irudiak erakusten duena).

Hona hemen kutxaren higidura-ekuazioa:

ma= -kx+f_r

Eta ekuazio diferentzial gisa:

Higidura-ekuazio horrek HHS-ren ekuazio diferentzialaren antza dauka baina badu termino gehigarri bat: μ_k·g.

Ekuazio diferentzialaren soluzioa da, ekuazio homogeneoaren soluzioa (HHS-ren soluzioa) gehi konstante bat: C. Konstante hori ekuazio diferentzialean bertan ordezkatuz:

ω²C= μ_k·g               C= μ_k·g/ω²

Eta beraz, ekuazio diferentzial osoaren soluzioa:

Hortik kutxaren abiadura kalkula daiteke:

Soluzio horren A anplitudea eta hasierako fasea φ hasierako baldintzetatik determinatzen dira (t=0). Kutxa abiatzen da v₀ abiaduraz eta honako posiziotik: x₀= μ_s·g/ω²  :

Kutxaren x posizioa eta v abiadura honela adieraz daitezke denboraren menpe:

Kutxak eskumarantz mugitzen segitzen du, x₀ posizioa baino eskumarago. Malgukiak egiten dion indarra (kx) marruskadura-indarra baino handiagoa da (f_r= μ_k·mg) eta hortaz, kutxaren abiadura motelduz joango da, nulua izan arte. t aldiune horretan: ωt+φ=π/2.(kosinua nulu izateko). Eta kutxaren desplazamendu maximoko posizioa:

Une horretatik aurrera, kutxa ezkerrerantz mugitzen hasten da, gero eta bizkorrago, abiadura maximo batetik pasatu arte (balio absolutuan). t aldiune horretan: ωt+φ=π. Eta kutxaren abiadura maximoko posizioa:

eta bere abiadura:

Ondoren kutxak ezkerrerantz mugitzen segituko du baina gero eta motelago, abiadura nulua izan arte: v=0. Aldiune horretan, ωt+φ=3π/2. Eta kutxaren desplazamendu maximoko desplazamendua (ezkerrerantz):

Ondoren, kutxa eskumarantz mugitzen hasten da, gero eta bizkorrago. Noiz arte? kutxaren abiadura eta zintaren v₀ abiadura berdintzen diren arte. Une horretan:

Kosinuen argumentuak berdintzen baditugu: ωt=2π-2φ. Kutxak une horretan duen posizioari dei diezaiogun x_d.

Adierazpen hori lortzeko honako erlazio trigonometrikoak erabili dira:

Irristatzeak iraun duen denbora hemendik atera daiteke: ωt=2π-2φ

Beraz, irristatzea hasi da x₀=μ_s·g/ω² posizioan eta amaitzen da x_d=(2μ_k-μ_s)·g/ω²  posizioan.

Kutxa zintarekin batera mugitzen da

Kutxa zintarekin batera mugitzen bada, v₀ abiaduraz, ez du irristatzen. Horrela mugitzen da x_d posiziotik hasita eta x₀=μ_s·g/ω² posizioraino. Desplazamendu horretarako honenbeste denbora behar du:

Kutxa orekan dago zintaren gainean, jasaten dituen bi indarrak berdinak eta aurkakoak direlako: malgukiak egiten dion indarra (kx) eta marruskadura indarra (f_r<μ_s·mg), irudiak erakusten duen bezala:

x₀ posizioan, marruskadura indarrak bere balio maximoa atzematen du: f_r= μ_s·mg , kutxa irristatzen hasten da eta ziklo berri bat abiatzen da.

Laburpena

Irristatze atalean, kutxak HHS-a deskribatzen du ω maiztasun angeluarraz, baina honako posizioan zentratua: x_e= μ_k·g/ω². Oreka-posizio horretan malgukiaren indarra eta marruskadura berdinak dira.

HHS-aren anplitudea:

Irristatzerik gabeko atalean, kutxak v₀ abiadura konstantea du x_d eta x₀ artean, eta aldiune hauen bitartean: t_d eta P=t_d+t_p.

Irudiak erakusten du kutxaren ibilbidea faseen espazioan. Elipse bat da, xe= μk·g/ω2 posizioan zentratua dago eta A ardatzerdi nagusia du, baina zuzen batek moztuta: v=v0.

Ondorengo irudiak kutxaren v abiadura adierazten du t denboraren menpe. Ikusten denez, hasieran, kutxak HHS-a deskribatzen du: abiadura positiboa du baina motelduz doa, nulu izatera iristen da, ondoren negatibo bilakatzen da, minimo batera iristen da, handituz doa, berriz ere nulu bilakatzen da, ondoren positibo eta azkenik, t_d aldiunean, v₀ baliora iristen da, HHS amaitu eta konstante mantentzen da, P periodoa osatu arte. Kutxak ez du irristatzen t_p=P-t_d denbora-tartean, eta zintarekin batera mugitzen da.

Adibidea

• Zintaren abiadura, v₀ =1.0 m/s

• Malgukiaren konstante elastikoa, k=50 N/m

• Kutxaren masa, m=1.0 kg

• Marruskadura estatikoaren koefizientea, μ_s=0.75

• Marruskadura zinetikoaren koefizientea, μ_k=0.50

HHD-ren maiztasun angeluarra

Kutxa irristatzen hasten denean, t=0, kutxaren posizioa hau da, x₀= μ_s·g/ω²=14.7 cm

Hortik aurrera kutxaren higidura HHS da, baina puntu honen inguruan zentratua: x_e= μ_k·g/ω²=9.8 cm, eta anplitudea A=15.0 cm

Kutxak irristatu egiten du zintaren gainean atzera eta aurrera, honako aldiunea arte:

Ondoren, kutxa zintaren gainean doa irristatu barik, v₀ abiadura konstanteaz, honako denbora-tartean:

Kutxak ziklo osoa burutzeko behar duen denbora: P=t_d+t_p=0.892 s

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Zintaren abiadura, v_o, desplazamendu barrari saguaz eragiten.
• Marruskadura koefiziente zinetikoa, μ_k desplazamendu barrari saguaz eragiten.
• Marruskadura koefiziente estatikoa, μ_s desplazamendu barrari saguaz eragiten.
• Malgukiaren konstantea, k, dagokion kontrolean idatziz.
• Kutxaren masa finkotzat hartu da, m=1.0 kg

Hasi aurretik, programa interaktiboak egiaztatzen du ea μ_s≥ μ_k den. Hala ez bada ez da abiatzen.

Hasi botoia sakatu.

Kutxa ikusten da, zintaren gainean mugitzen, irristatzen duenean HHS-arekin eta, irristatzen ez duenean, v_o abiadura konstantearekin.

Grafiko batek kutxaren ibilbidea erakusten du faseen espazioan.

Kutxak jasaten dituen indarrak adierazten dira:

• Bektore gorri batek malgukiaren indarra.
• Bektore urdin batek marruskadura-indar estatikoa.
• Bektore beltz batek marruskadura-indar zinetikoa.

Leihatilaren goiko eta eskumako aldean idatziz erakusten dira honako datuok:

• Denbora.
• Kutxaren posizioa.
• Kutxaren abiadura.