Kutxa bat, garraio-zinta baten gainean

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Oszilazioak

Osziladoreak (I)
Oszilazio askeak
Hasiera

Kutxak irristatzen du

Kutxa zintarekin batera mugitzen da

Saiakuntza

Erreferentzia

 

Dinamikaren kapituluan ikusten da, marruskadura-indarraren atalean, oso adibide esanguratsua: Habe horizontal bat, euskarri mugikor bitan etzanda. Bertan ikusten da zein jokabide duten marruskadura-koefiziente estatiko eta zinetikoak gorputz batek irrist egiterakoan.

Oraingoan, kutxa bat aztertuko dugu, garraio-zinta baten gainean etzanda eta malguki batean lotuta, irudiak erakusten duen bezala (kutxaren masa m da, malgukiaren konstante elastikoa k eta garraio-zintaren abiadura v0). Kutxaren eta garraio-zintaren arteko marruskadura koefiziente estatiko eta zinetikoa  μs eta μk dira hurrenez hurren, eta ohi den bezala μs≥ μk.

Kutxak lau indar jasaten ditu:

  • Pisua, mg

  • Zintaren erreakzio normala, N=mg

  • Malgukiak egiten dion indar elastikoa, kx

  • Marruskadura-indarra, fr

Higidurak dituen atalak aztertuko ditugu.

Hasiera

Har dezagun posizioaren jatorria (x=0) malgukiaren oreka-posizioan, eta horrela, kutxa jatorrian dagoenean malgukiak ez du deformaziorik.

Kutxa oreka-posizioan kokatzen badugu, marruskadura-indarrak (fr=μsmg) eskumarantz bultzatuko du (irudian bektore urdina). Baina eskumarantz desplazatzen den heinean malgukiaren indarra handitzen joango da, harik eta bi indarrak berdintzen diren arte. Dei diezaiogun xo desplazamendu maximoko posizio horri:

 kx0= μsmg

 

Kutxak irristatzen du

Has gaitezen berriro denbora kronometratzen: t=0.

Marruskadura-indarra aldatzen da: fr= μkmg . Gainera bere noranzkoa (v0v) abiadura erlatiboaren aurkakoa da, edo bestela esanda, kutxak zintarekiko duen abiadura erlatiboaren aurkakoa. Kutxaren abiadura zintarena baino txikiagoa den bitartean (vv0) marruskadura-indarraren noranzkoa eskumarantz izango da (irudiak erakusten duena).

Hona hemen kutxaren higidura-ekuazioa:

ma= -kx+fr

Eta ekuazio diferentzial gisa:

Higidura-ekuazio horrek HHS-ren ekuazio diferentzialaren antza dauka baina badu termino gehigarri bat: μkg.

Ekuazio diferentzialaren soluzioa da, ekuazio homogeneoaren soluzioa (HHS-ren soluzioa) gehi konstante bat: C. Konstante hori ekuazio diferentzialean bertan ordezkatuz:

ω2C= μkg               C= μkg/ω2

Eta beraz, ekuazio diferentzial osoaren soluzioa:

Hortik kutxaren abiadura kalkula daiteke:

Soluzio horren A anplitudea eta hasierako fasea φ hasierako baldintzetatik determinatzen dira (t=0). Kutxa abiatzen da v0 abiaduraz eta honako posiziotik: x0= μsg/ω2  :

Kutxaren x posizioa eta v abiadura honela adieraz daitezke denboraren menpe:

Kutxak eskumarantz mugitzen segitzen du, x0 posizioa baino eskumarago. Malgukiak egiten dion indarra (kx) marruskadura-indarra baino handiagoa da (fr= μkmg) eta hortaz, kutxaren abiadura motelduz joango da, nulua izan arte. t aldiune horretan: ωt+φ=π/2.(kosinua nulu izateko). Eta kutxaren desplazamendu maximoko posizioa:

Une horretatik aurrera, kutxa ezkerrerantz mugitzen hasten da, gero eta bizkorrago, abiadura maximo batetik pasatu arte (balio absolutuan). t aldiune horretan: ωt+φ=π. Eta kutxaren abiadura maximoko posizioa:

eta bere abiadura:

Ondoren kutxak ezkerrerantz mugitzen segituko du baina gero eta motelago, abiadura nulua izan arte: v=0. Aldiune horretan, ωt+φ=3π/2. Eta kutxaren desplazamendu maximoko desplazamendua (ezkerrerantz):

Ondoren, kutxa eskumarantz mugitzen hasten da, gero eta bizkorrago. Noiz arte? kutxaren abiadura eta zintaren v0 abiadura berdintzen diren arte. Une horretan:

Kosinuen argumentuak berdintzen baditugu: ωt=2π-2φ. Kutxak une horretan duen posizioari dei diezaiogun xd.

Adierazpen hori lortzeko honako erlazio trigonometrikoak erabili dira:

Irristatzeak iraun duen denbora hemendik atera daiteke: ωt=2π-2φ

Beraz, irristatzea hasi da x0=μsg/ω2 posizioan eta amaitzen da xd=(2μk-μs)g/ω posizioan.

 

Kutxa zintarekin batera mugitzen da

Kutxa zintarekin batera mugitzen bada, v0 abiaduraz, ez du irristatzen. Horrela mugitzen da xd posiziotik hasita eta x0sg/ω2 posizioraino. Desplazamendu horretarako honenbeste denbora behar du:

Kutxa orekan dago zintaren gainean, jasaten dituen bi indarrak berdinak eta aurkakoak direlako: malgukiak egiten dion indarra (kx) eta marruskadura indarra (frsmg), irudiak erakusten duen bezala:

x0 posizioan, marruskadura indarrak bere balio maximoa atzematen du: fr= μsmg , kutxa irristatzen hasten da eta ziklo berri bat abiatzen da.

Laburpena

Irristatze atalean, kutxak HHS-a deskribatzen du ω maiztasun angeluarraz, baina honako posizioan zentratua: xe= μkg/ω2. Oreka-posizio horretan malgukiaren indarra eta marruskadura berdinak dira.

HHS-aren anplitudea:

Irristatzerik gabeko atalean, kutxak v0 abiadura konstantea du xd eta x0 artean, eta aldiune hauen bitartean: td eta P=td+tp.

Irudiak erakusten du kutxaren ibilbidea faseen espazioan. Elipse bat da, xe= μkg/ω2 posizioan zentratua dago eta A ardatzerdi nagusia du, baina zuzen batek moztuta: v=v0.

Ondorengo irudiak kutxaren v abiadura adierazten du t denboraren menpe. Ikusten denez, hasieran, kutxak HHS-a deskribatzen du: abiadura positiboa du baina motelduz doa, nulu izatera iristen da, ondoren negatibo bilakatzen da, minimo batera iristen da, handituz doa, berriz ere nulu bilakatzen da, ondoren positibo eta azkenik, td aldiunean, v0 baliora iristen da, HHS amaitu eta konstante mantentzen da, P periodoa osatu arte. Kutxak ez du irristatzen tp=P-td denbora-tartean, eta zintarekin batera mugitzen da.

 

Adibidea

  • Zintaren abiadura, v0 =1.0 m/s

  • Malgukiaren konstante elastikoa, k=50 N/m

  • Kutxaren masa, m=1.0 kg

  • Marruskadura estatikoaren koefizientea, μs=0.75

  • Marruskadura zinetikoaren koefizientea, μk=0.50

HHD-ren maiztasun angeluarra

Kutxa irristatzen hasten denean, t=0, kutxaren posizioa hau da, x0= μsg/ω2=14.7 cm

Hortik aurrera kutxaren higidura HHS da, baina puntu honen inguruan zentratua: xe= μkg/ω2=9.8 cm, eta anplitudea A=15.0 cm

Kutxak irristatu egiten du zintaren gainean atzera eta aurrera, honako aldiunea arte:

Ondoren, kutxa zintaren gainean doa irristatu barik, v0 abiadura konstanteaz, honako denbora-tartean:

Kutxak ziklo osoa burutzeko behar duen denbora: P=td+tp=0.892 s

 

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

  • Zintaren abiadura, vo, desplazamendu barrari saguaz eragiten.
  • Marruskadura koefiziente zinetikoa, μk desplazamendu barrari saguaz eragiten.
  • Marruskadura koefiziente estatikoa, μs desplazamendu barrari saguaz eragiten.
  • Malgukiaren konstantea, k, dagokion kontrolean idatziz.
  • Kutxaren masa finkotzat hartu da, m=1.0 kg

Hasi aurretik, programa interaktiboak egiaztatzen du ea μs≥ μk den. Hala ez bada ez da abiatzen.

Hasi botoia sakatu.

Kutxa ikusten da, zintaren gainean mugitzen, irristatzen duenean HHS-arekin eta, irristatzen ez duenean, vo abiadura konstantearekin.

Grafiko batek kutxaren ibilbidea erakusten du faseen espazioan.

Kutxak jasaten dituen indarrak adierazten dira:

  • Bektore gorri batek malgukiaren indarra.
  • Bektore urdin batek marruskadura-indar estatikoa.
  • Bektore beltz batek marruskadura-indar zinetikoa.

Leihatilaren goiko eta eskumako aldean idatziz erakusten dira honako datuok:

  • Denbora.
  • Kutxaren posizioa.
  • Kutxaren abiadura.
LibresApplet aparecer en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Erreferentzia

Denny M. Stick-slip motion: an important example of self-excited oscillation. Eur. J. Phys. 25, (2004), pp. 311-322.