Oszilazioak

Osziladoreak (I)

Oszilazio askeak

Oszilazio indargetuak

Oszilazio behartuak:
egoera iraunkorra

Oszilazio behartuak:
egoera iragankorra

Pohl-en pendulua

Partikula bat malguki
baten gainera erori

Kutxa bat garraio-
zinta baten gainean

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (I)

Indar konstante
batek indargetutako
osziladorea (II)

Oszilazio behartuak

Pohl-en pendulua kobrezko disko zirkular bat da eta, malguki helikoidal batez, ardatz horizontalaren inguruan biratzen du.

Diskoa balaztatu egiten da, bobina batek sortutako eremu magnetikoak induzitutako Foucault-en korronteen eraginez. “Foucault-en korronteak (I)” orrian aztertzen den bezala, Eremu magnetikoak korronte induzituei egindako indar-momentua diskoaren w abiadura angeluarraren proportzionala da, eta aurkakoa, marruskadura biskosoa bezala.

Eremu magnetikoa (B) bobinatik pasatzen den i korrontearekiko proportzionala da; bestalde, korronte induzituek jasaten duten indar magnetikoa ere eremu magnetiko berarekiko proportzionala da. Beraz, balazta-momentua bobinatik pasatzen den i intentsitatearen karratuarekiko proportzionala da.

Indar behartzailea aplikatzeko, motor bat erabiltzen da: abiadura aldakorrekoa, gurpil bultzatzaile bat eta biela eszentriko bat dituena (ikusi irudia). Biela hori beste hagatxo batean lotzen da: hagatxo horrek diskoaren ardatz berean bira dezake eta beste muturra malguki helikoidalean lotuta dauka. Hagatxoak eta diskoak ardatz berean biratzen dute baina ez daude elkarri lotuta, malguki helikoidalak soilik elkartzen ditu. Hagatxoak zirrikitu bat dauka oszilazio behartuaren anplitudea kontrolatzeko. Azkenik, diskoaren ertzean zotz bat kokatu da bere posizioa neurtu ahal izateko (irudian gorria). Oreka-posizioan θ=0.

Orri honetan esperimentu ezberdin bi simulatuko ditugu Pohl-en pendulu birakorrarekin:

• Oszilazio indargetuak: indargetze-konstantea neurtzea.

• Oszilazio behartuak: egoera iraunkorreko oszilazioen anplitudea neurtzea, indar behartzailearen maiztasunaren menpe.

Oszilazio indargetuak

Diskoa oreka-posiziotik atera behar da eta askatu:

Hona hemen diskoaren errotazioaren ekuazioa:

I·α = -k·θ -λ·ω

• θ : diskoaren posizio angeluarra. Oreka posizioan θ=0.

• α  : diskoaren azelerazio angeluarra. Aldakorra, izan ere, posizioaren menpekoa.

• I : diskoaren inertzia-momentua errotazio ardatzarekiko. Zentrotik pasatzen dena.

• k : malgukiaren elastikotasun-konstantea.

• λω : marruskadura indarraren momentua diskoaren zentroarekiko. Diskoaren ω abiadura angeluarraren proportzionala da eta aurkakoa. Bobinak sortutako eremu magnetikoak diskoan  Foucault-en korronteak induzitzen ditu eta, horrela, higiduraren aurkako indarra.

Adieraz dezagun errotazioaren ekuazioa ekuazio diferentzial gisa:

ω₀ osziladorearen berezko oszilazioen maiztasuna da eta γ  indargetzearen-konstantea.

Eibarko Ingeniaritza Teknikoko Eskolako Fisikako praktiketako laborategian Pohl-en pendulu bat daukagu, Leybold-Heraeus markakoa. Berezko oszilazioen periodoa, gutxi gora behera, P₀= 2 s; Beraz, berezko maiztasuna: f₀=1/P_o=0.5 Hz, eta berezko maiztasun angeluarra ω₀=2πf₀=π rad/s. Marruskadurarik ezean, hau da, bobina konektatzen ez denean.

Oszilazio indargetua. γ<ω₀

Hona hemen ekuazio diferentzialaren soluzioa:

ω oszilazio indargetuen maiztasun angeluarra da baina, indargetze-konstantea txikia bada, berezko ω₀  maiztasunetik gertu dago.

OHARRA: Ez da nahasi behar diskoaren oszilazioen ω maiztasun angeluarra eta diskoaren abiadura angeluarra.

Hona hemen diskoaren abiadura angeluarra (dθ/dt)

Hasierako baldintzek determinatzen dituzte A eta φ.

Gure esperimentu simulatuan diskoa desplazatzen da bere oreka-posiziotik kanpora, 150º, θ₀=5π/6  eta askatu egiten da denbora kronometratzen hasten den unean: t=0.

θ₀ = A·sinφ
0= -γA·sinφ+ ωA·cosφ

Ekuazio biko eta ezezagun biko sistema horretatik A eta φ ateratzen dira:

Diskoaren desplazamendu maximoko posizioei (posizio angeluarren segida) itzultze posizio deritze, eta abiadura angeluarra nulu bilakatzen dela inposatuz kalkula daitezke: dθ/dt=0

tan(ωt+φ)=ω/γ

Hasieran (t=0) diskoa pausagunetik  abiatzen bada eta θ₀ posiziotik: tanφ=ω/γ, eta ondorengo aldiuneak:

Indargetze-konstantea neurtzea

Aldiune jakin batean, t_m=mπ/ω, diskoa itzultze-posizio batean dago (desplazamendu maximo batean eta geldirik):

Eta horrelako bi posizioren arteko zatidura:

Adibidea. t=0, aldiunean, desplazamendu maximoko posizioa hau da: θ₀=150º, eta ondorengo aldiune batean t₉=9.0 desplazamendu maximo posizioa hau da (neurtuta): -48.4º.

Beraz, indargetzearen konstantea honela kalkula daiteke:

Egiaztatzea:

t₉=9·π/ω= 9.007 s

Oszilazio kritikoa: γ=ω₀

Kasu horretan, ekuazio diferentzialaren soluzioa:

Eta diskoaren errotazioaren abiadura angeluarra: dθ/dt

Hasierako baldintzek A eta B konstanteen balioak determinatzen dituzte.

Simulatutako esperimentuan, diskoa oreka-posiziotik kanpora desplazatzen da: 150º, θ₀=5π/6  eta askatu egiten da, denbora kronometratzen hasten den aldiunean: t=0.

θ₀ =B
0= A -γB

Ekuazio eta ezezagun biko sistema horrek A eta B ematen ditu:

Diskoa oreka-posiziorantz mugitzen da, eta denbora infinitua iragan ondoren, t→∞, iritsi egiten da, θ=0. Hortaz, ez da oszilatzera iristen.

Gehiegi indargetutako oszilazioa: γ>ω₀

Kasu horretan, ekuazio diferentzialaren soluzioa hau da:

Diskoaren errotaziozko abiadura angeluarra: dθ/dt

Hasierako baldintzek A eta B konstanteen balioak determinatzen dituzte.

Gure esperimentu simulatuan, diskoa desplazatu egiten da oreka-posiziotik kanpora, 150º, θ₀=5π/6 eta askatu egiten da, kronometratzen hasten den aldiunean: t=0.

θ₀ =A+B
0= β(B-A)-γ(A+B)

Ekuazio eta ezezagun biko sistema horrek A eta B ematen ditu:

Diskoa oreka-posiziorantz mugitzen da, eta denbora infinitua iragan ondoren, t→∞, iritsi egiten da, θ=0. Hortaz, ez da oszilatzera iristen.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Marruskadura izeneko desplazamendu-barran, bobinatik pasatzen den i intentsitate elektrikoa aukeratzen da. Berarekin kontrolatzen da penduluaren indargetze-konstantea: γ =1.396·i².

• Diskoaren berezko oszilazioen maiztasuna finkotzat hartzen da: ω₀ = π rad/s

Hasi botoia sakatu.

Leihatilan diskoa behatzen da oszilazioak egiten (Pohl-en pendulua).

Grafikoa botoia sakatuz, diskoaren posizio angeluarra irudikatzen da denboraren menpe, q(t), oszilazio indargetuaren 5 periodo irudikatu arte.

Grafiko horretan, puntu urdina saguarekin desplaza daiteke, eta horrela ikus daitezke, besteak beste, desplazamendu maximoko bi posizio: θ_n eta θ_m, bata bestetik ahalik eta urrutien. Bi itzultze posizio horiei dagozkien aldiuneak ere ikusten dira: t_n eta t_m. Indargetzearen konstantea kalkula daiteke, lehen, "indargetze-konstantea neurtzea" atalean emandako adierazpenaren bitartez:

Oszilazio behartuak

Aurreko atalean Pohl-en penduluaren oszilazio indargetuak deskribatu dira, eta ikusi denez, oszilazioak moteltzen doaz eta azkenean pendulua gelditu egiten da. Atal honetan, oszilazioak behartu egingo ditugu kanpoko motor baten eraginez.

Motorrak abiadura angeluar aldakorra dauka, ω_f. Motorraren ardatza (M) kokatuta dago, disko oszilatzailearen O zentrotik eskumara c distantzia horizontalera eta a distantzia bertikala beherago (ikusi irudia). Biela batek (AB) b luzera du eta motorra eta diskoa lotzen ditu: bielaren mutur bat (B) motorrean lotuta dago, eszentrikoki (zentrotik r distantziara) eta beste muturra (A) AP hagatxoan. AP hagatxoa O ardatzean artikulatuta dago, diskoa bezala, baina ez daude elkarri lotuta. Hagatxoaren luzera R=OA aldakorra da, zirrikitu bat duelako eta zirrikitu horretan AB bielaren A muturra torloju batekin koka daiteke gorago edo beherago. R aldatuz, indar behartzailearen anplitudea aldatzen da.

Motorrak abiadura angeluar konstanteaz biratzen du, hortaz, aldiune jakin batean B muturrak norabide horizontalarekin osatzen duen angelua hau da: θ=ω_f.·t. Kalkula dezagun zein angelu osatzen duen AP hagatxoak norabide bertikalarekin: f.

Dei diezaiogun a bielak norabide horizontalarekin osatzen duen angeluari:

R·cosf-b·sinα= a -r·sinθ
R·sinf+b·cosα= c+r·cosθ

Bi ekuazio eta bi ezezaguneko sistematik α angelua elimina daiteke:

(Rcosf-a+rsinθ)²+(c+rcosθ-Rsinf)²=b²

Eta kontutan hartzen bada f  angelua txikia dela uneoro, orduan sinf≈f eta cosf≈1

Ondorengo irudiak erakusten du zenbateraino den txikia f angelua θ angeluaren menpe. Datuak: r=1.0, b=22.0, a=10.0, c=22.0, Ardatz bertikalean f gradutan adierazten da eta ardatz horizontalean θ ere bai

• kurba gorrirako erabili da R=7.0

• kurba urdinerako erabili da R=12.0

Irudiak erakusten duenez, R aldatuz, alegia, bielaren A muturretik diskoaren O zentroraino dagoen distantzia aldatuz, indar behartzailearen anplitudea aldatzen da.

Goiko bi kurbak ez dira HHS-ren funtzioa bezain sinpleak, baina badute antzik. Parametroak ondo aukeratuta, nahiko hurbilketa ona egin liteke. Gure kalkuluetarako, indar behartzailearen funtzioa harmonikotzat hartuko dugu, hobe esanda, indarraren momentua diskoaren O zentroarekiko:

M_f=M_0f·cos(ω_f·t)

hemen M_0f· momentu behartzailearen anplitudea da eta ω_f  maiztasun angeluarra.

Hona hemen diskoaren errotazioaren ekuazioa:

I·α= -kθ- λω+M_f

• θ : diskoaren posizio angeluarra. Oreka posizioan θ=0.

• α  : diskoaren azelerazio angeluarra. Aldakorra, izan ere, posizioaren menpekoa.

• I : diskoaren inertzia-momentua errotazio ardatzarekiko. Zentrotik pasatzen dena.

• k : malguki helikoidalaren elastikotasun-konstantea.

• λω : marruskadura indarraren momentua diskoaren zentroarekiko. Diskoaren ω abiadura angeluarraren proportzionala da eta aurkakoa. Bobinak sortutako eremu magnetikoak diskoan  Foucault-en korronteak induzitzen ditu eta, horrela, higiduraren aurkako indarra.

• M_f : motorrak egindako indar behartzailearen momentua diskoaren zentroarekiko.

Errotazioaren ekuazioa ekuazio diferentzial gisa adieraz daiteke:

• hemen, ω₀ osziladorearen berezko maiztasun naturala da.
• ω_f , indar behartzailearen maiztasun angeluarra, bera ere oszilatzailea da eta M_0f anplitudea du.
• γ  indargetzearen konstantea; demagun  γ<ω₀

Aurreko orri batean, “Oszilazio behartuak: egoera iragankorra”, eman dugu ekuazio diferentzial horren soluzio osoa. Esate baterako, hasierako baldintzak honakoak direnean:  t=0 aldiunean, θ=0, eta dθ/dt=0 , alegia, hasieran diskoa oreka-posizioan badago eta geldirik, hau da bere posizioaren adierazpena denboraren menpe:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Marruskadura izeneko desplazamendu-barran, bobinatik pasatzen den i intentsitate elektrikoa aukeratzen da. Berarekin kontrolatzen da penduluaren indargetze-konstantea: γ =1.396·i².

• Indar behartzailearen momentuaren anplitudea,  M_0f /I , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Indarraren maiztasuna, ω_f , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Diskoaren berezko oszilazioen maiztasuna finkotzat hartzen da: ω₀ = π rad/s

Leihatilan ikusteko aukera bi daude:

• Diskoa oszilatzen ikustea, alde batera eta bestera, indar behartzailearen eraginpean.

• Grafikoa laukia aktibatuz, diskoaren posizio angeluarra (θ) denboraren menpe irudikatzen doa. Uneoro erakusten da idatziz (q,t) datu bikotea.

Hasi botoia sakatu.

Egin bitez zenbait esperimentu baina konstante mantenduta bobinaren i korrontea (eta beraz, γ  indargetze-konstantea) eta indar behartzailearen momentuaren anplitudea (M_0f ). Grafikoa laukia aktibatuz, egoera iraunkorreko anplitudea neur ezazu zenbait ω_f  maiztasun behartzaile ezberdinekin. Ondoren bete ezazu ondoko taula:

Taula ezberdinak egin itzazu marruskadura ezberdinekin edota anplitude ezberdinekin. Ondoren datuok grafikoki adieraz daitezke grafiko berean eta konparatu.