Solido zurruna

Errotazioaren
Dinamika

Errotazioaren
dinamikaren ekuazioa

Inertzia-momentuak

Errotazioaren dinamika
eta energiaren balantzea

Tortsio-pendulua

Pendulu konposatua

Zabua

Marruskadura,
errotazio-mugimenduan

Atwood-en osziladorea

Hagatxoa erortzen
mutur finko batekin

Hagatxoa erortzen,
marruskadurarik gabe

Hagatxoa erortzen,
marruskadura eta guzti

Eskailera irristatzen
abiadura konstanteaz

Eskailera: estatika
eta dinamika

Karratu minimoen prozedura

Pendulu konposatu ez homogeneoa

Erreferentziak

Fiskako lehen mailako kurtsoetan oso ohikoa izaten da, laborategiko praktiken artean, pendulu konposatuaren praktika, grabitatearen g azelerazioa neurtzeko. Orri honetan, esperimentu hori simulatzen da eta gainera, programa interaktibo bat ematen da grabitatearen azelerazioa kalkulatzeko eta haga baten inertzia-momentua kalkulatzeko, karratu minimoen prozedura erabiliz.

Oinarri fisikoak

Pendulu konposatua da, hagatxo bat puntu finko batetik eskegita (O), eta plano bertikalean oszilatzen. Pendulua oreka-posiziotik q angelua desplazatzen bada, eta askatu, hagatxoaren pisuaren momentua, O puntu finkoarekiko, negatiboa da, alegia, desplazamenduaren aurkako noranzkoa du.

Hagatxoaren errotazioaren ekuazioa honela idatz daiteke: IO·a = −mgxsinq Ekuazio horretan x da, hagatxoaren masa-zentrotik O puntu finkora dagoen distantzia, eta IO da, hagatxoaren inertzia-momentua O-tik pasatzen den ardatzarekiko.

Errotazioaren ekuazioa berridatz dezagun ekuazio diferentzial gisa:

Hori ez da Higidura Harmoniko Sinplearen ekuazioa, baina oszilazioen anplitudea txikia bada orduan hurbilketa egin daiteke: sinθ≈θ. (angeluak radianetan adierazita, hurbilketa hori oso zehatza da). Ekuazio diferentziala honela berridatz daiteke:

Eta hori bai da Higidura Harmoniko Sinplearen ekuazio diferentziala. Ekuazio horren koefizienteak (mgx/I_O) adierazten ditu, ω frekuentzia angeluarra eta, beraz, P periodoa:

Ondoren, Steiner-en teorema aplikatuz:

R-ri biraketa-erradio deritzo eta hagatxo batean R²=l²/12, hagatxoaren luzera l bada. Orduan periodoa honela idatz daiteke:

Grafiko batean adierazten bada P periodoa x distantziaren menpe, kurba-zati bi agertzen dira, simetrikoak masa-zentroarekiko. Periodoa infinitua da x=0 denean, alegia, masa zentroa O puntuan bertan kokatzen denean penduluak ez du oszilatzen. Kurba horrek minimo bat dauka x-en balio ezezagun batean. Izan ere, kurba horren minimoa kalkula daiteke P deribatuz x-rekiko eta deribatua nulua izan behar dela inposatuz.

Pendulu konposatuaren P periodoaren balio bat aukeratuz, x-en balio bi aurki daitezke, alegia, badaudela bi posizio ezberdin periodo bera dutenak.

Balio horiek kalkulatzeko berretu dezagun periodoaren ekuazio osoa ber bi, eta bigarren graduko ekuazioa lortzen da:

Bigarren graduko ekuazio horrek soluzio bi ditu, goiko irudian erakusten den bezala: x₁ eta x₂ dira ebakitze puntuak, zuzen horizontalaren (P=kte) eta periodoaren kurbaren artean (P(x)) .

Eta bigarren graduko ekuazioen soluzioek beti betetzen dute honako erlazioa:

Erlazio bi horiekin kalkula daiteke g, grabitatearen azelerazioa, grafikoan bertan neurtzen badira x₁ eta x₂ , periodoaren balio jakin baterako. Bestalde, kalkula daiteke baita ere, penduluaren inertzia-momentua masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko, I_c=mR². Horretarako, hagatxoa pisatu behar da eta kalkulatu behar da R², x₁ eta x₂ bidertuz.

Adibidea

Esperimentua burutu da hagatxo batekin, l=1 m, luzeraduna, eta zuloak dituena, eskegitzeko, 5cm-ero. Goiko irudiak erakusten du P(x) adierazpena eta puntu esperimentalak (puntu gorriak: 5 cm-ero).

Grafikoak erakusten duenez, periodoa aukeratzen bada: P=1.6 s, orduan, luzera posible biak honakoak dira: x₁=0.182 m eta x₂=0.457 m. Lehen erlaziotik kalkulatzen da: g=9.85 m/s², eta bigarrenetik R²=0.08≈1/12 m²

Saiakuntza

Pendulu konposatu honek l=1 m luzera du eta zuloak eginda dauzka 5 cm-ero, hagatxoa eskegi ahal izateko. Hasieran, pendulua lehen zulotxotik eskegita agertzen da. Berria botoia sakatu eta pendulua oszilatzen hasten da. Bost oszilazioren iraupena neurtu behar da kronometroarekin: Hasi botoia sakatuz eta berriz ere botoi bera, baina orain gelditu izena du. Ezkerreko aldean bost oszilazio horien iraupena idatzita geratzen da.

Bost oszilazioren iraupena zati bost egiten da periodoa kalkulatzeko, horrela, oszilazio bakar batean neurtuta baino zehaztasun hobea lortzen da.

Hurrengoa botoiari sakatuz, pendulua hurrengo zulotxoan eskegitzen da, alegia 5 cm hurbilago masa-zentrorantz, eta  berriro errepikatu behar da bost oszilazioen iraupenaren neurketa. Hurrengoa botoiarekin, pendulua gero eta gorago eskegitzen da eta behin eta berriz errepikatu behar da neurketa bera, alegia, bost oszilazioen iraupena.

Iraupen guztiak ezkerreko aldean idatzita geratzen dira, eta Grafikoa botoiari sakatuz P(x) kurba agertzen da irudikatuta. Iraupenak ondo neurtuta badaude, puntu gorriak (esperimentalak) kurba horren gainean agertzen dira, bestela puntuok kurbatik urrun agertuko dira.

Azkenik, saguarekin, leihatilako gezi gorria mugitu behar da: ezkerreko botoia sakatuz, eta mantenduz, zuzen horizontala gora eta behera eraman daiteke. Zuzen horizontala eramaten bada, P(x) kurba bi puntutan mozten duen tokira, programa interaktiboak bi balio emango ditu, ebakiduren abszisen balioak: x₁ eta x₂.

x₁ eta x₂ ebakiduren balioak ezagututa, eta P periodoa jakinda, grabitatearen azelerazioa kalkula daiteke, g=9.8 m/s², eta hagatxoaren "biraketa-erradioa", R²=1/12.

Karratu minimoen prozedura

Pendulu konposatuaren formula karratura berretuz honakoa lortzen da:

funtzio horrek honelako itxura du: y=a/x+bx , eta  y=P²

Neurketek ematen dituzte penduluaren posizio ezberdinak (x_i) eta posizio bakoitzari dagokion periodoa (y_i). Orain lortu nahi duguna da, a eta b koefizienteak, datu esperimentaletara gehien hurbiltzen den kurba lortzeko. Erabiltzen den prozedura erregresio lineala bezalakoa da.

Esperimentuan neurtu da, penduluaren x_i posizio bakoitzerako bere oszilazioen P_i periodoa, eta horrela lortzen dira N datu-bikote.

Datu-bikote esperimental baten koordenatuak dira: (x_i, y_i)

Baina kurba urdinaren ekuazioa honelakoa da:  y= a/x_i+bx_i.

Kalkula dezagun datu esperimentalaren (y_i) eta kurbaren (y) arteko diferentzia: d_i=y_i−a/x_i−bx_i

Eta ondoren, gehitu ditzagun puntu esperimental guztien diferentzia guztien karratuak:

Diferentzien karratuen batura, S(a,b), minimoa izan dadin a eta b koefizienteekiko:

Ekuazio bi horiek ezezagun bi dituzte, a eta b:

Adibidea

Demagun penduluaren esperimentuan honako datu-bikote taula lortu dela:

Kontutan izan x distantzia zehazki neurtuta dagoela, eta zehaztasun gutxiago duen balioa P periodoa dela.

Ondorengo programa interaktiboak ematen dituen a eta b koefizienteak honakoak dira:

a=0.333 m/s², b=4.025 s²/m

Penduluaren luzera, l=1 m, bada, orduan biraketa-erradioa: R²=1/12, beraz a eta b koefizienteak, teorikoki:

beraz, taula horretako periodoak zehaztasun handiaz neurtuta daude: a, %1-eko zehaztasuna eta b, %0.1 zehaztasuna.

Saiakuntza:

Aukeran idatz daitezke:

• Ezkerreko zutabean, penduluaren posizioak: x_i, metrotan adierazita.

• Eskumako zutabean, penduluaren esperimentuan lortutako periodoak: P_i segundotan adierazita.

Kalkulatu botoiari sakatu.

Programa interaktiboak, karratu minimoen metodoaz, a eta b koefizienteak kalkulatu eta erakusten ditu.

Taulako datuak ezabatzeko eta berriak idazteko Ezabatu botoiari sakatu.

Pendulu konposatu ez homogeneoa

Har dezagun pendulu konposatu bat, hodi luze batez osatua. Dei diezaiogun L hodiaren luzerari eta Mo bere masari, irudiak erakusten duen bezala. Hodia bere goiko muturretik eskegitzen da eta oreka-posiziotik desplazatu, beraz oszilatzen hasten da honako periodoaz:

Hemen, I₀=M₀L²/3 el hodiaren inertzia-momentua da eta y₀=L/2 bere masa-zentroaren posizioa, beraz:

Demagun hodiaren zati bat bete egiten dela, sustantzia uniforme batez (irudian gorria). Zati horren altuera h da eta bere masa m. Orduan, penduluaren periodoa hau izango da:

Hemen, I_m da, m masadun zatiaren inertzia-momentua oszilazioen ardatzarekiko, eta y da, hodi betearen (hodi hutsa gehi betetako zatiaren) masa-zentroaren posizioa oszilazioen ardatzarekiko:

Beraz, P periodoa honela berridatz daiteke:

Dei diezaiogun M sustantziaren masari, hodia osorik beteta dagoenean (h=L). Orduan, hodiaren zati bat soilik beteta dagoenean m=M·h/L. Beraz, P periodoa bestela ere berridatz daiteke:

Ikusten denez, pendulu konposatu ez homogeneoaren P periodoa bi koefizienteren menpekoa da: R=M/M₀  masen erlazioa eta x=h/L sustantziaren altuera erlatiboa.

Periodoak maximo bat du balio ezezagun batean (x=h/L). Maximoa kalkulatzeko, deriba dezagun P periodoa x-rekiko eta inposa dezagun nulua izan behar dela: dP/dx=0

Honako ekuazioa lortzen da:

R²x⁴-4R²x³+3R²x²-3Rx²+4Rx-R=0

Eta laugarren graduko ekuazio hori ebazteko prozedura numerikoak behar dira.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• R=M/M₀ erlazioa dagokion kontrolean idatziz.

• Hodi hutsa betetzen duen sustantziaren altuera erlatiboa, x=h/L , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Berria botoia sakatu, eta pendulu ez homogeneoa oszilatzen hasiko da.

Hiru oszilazioren iraupena neurtu behar da kronometroarekin: Hasi botoia sakatuz eta berriz ere botoi bera, baina orain gelditu izena du. Ezkerreko aldean idatzita geratzen da, sustantziaren altuera erlatiboa (x=h/L) eta hiru oszilazio horien iraupena.

Hiru oszilazioren iraupena zati hiru egiten da periodoa kalkulatzeko, horrela, oszilazio bakar batean neurtuta baino zehaztasun hobea lortzen da.

Masen erlazioa aldatu gabe (R=M/M₀), alda bedi hodi barruko sustantziaren altuera erlatiboa (x=h/L) eta errepika bedi hiru oszilazioen iraupenaren neurketa kronometroarekin.

Gehienez 10 neurketa egin daitezke eta denak agertzen dira ezkerraldean idatzita: sustantziaren altuera erlatiboa, iraupena.

Grafikoa botoiari sakatuz, programak grafikoa erakusten du: ardatz bertikalean P periodoa eta ardatz horizontalean sustantziaren altuera erlatiboa (x=h/L). Ikusten denez, hasieran, P periodoa hazi egiten da x-rekiko, baina gero gutxitu. Badago x-en balio bat, periodo maximoa lortzen duena, eta grafikoan bertan idatziz erakusten da: periodo maximoa eta berari dagokion altuera erlatiboa.

Masen erlazioa alda daiteke (R=M/M₀), Berria botoiari sakatu, eta esperimentu osoa errepikatu, alegia, sustantziaren altuera erlatiboak aldatuz periodoak neurtu, eta maximoaren posizioa ezberdina ateratzen da.