Es la función análoga a la función ctg(z).

Definición

Viene definida por las siguientes condiciones:

${\displaystyle \zeta \text{'}(z)=-\wp (z)y\underset{z\to 0}{\lim }\left[\zeta (z)-\frac{1}{z}\right]=0}$

de donde obtenemos que

${\displaystyle \zeta (z)=\frac{1}{z}+{\displaystyle \sum _{\Omega \ne 0}\left[\frac{1}{z-\Omega }+\frac{1}{\Omega }+\frac{z}{{\Omega }^2}\right]}}$

Propiedades de ζ(z)

1. Es una función meromorfa.

2. Tiene polos de primer orden en los puntos z=Ω con las partes principales 1/(z-Ω).

Residuos igual a uno en z=Ω.

3. Es una función impar (la integración de una serie par con constante de integración cero es una serie impar).