Definición

Viene definida por:

${\displaystyle \frac{d\ln \sigma (z)}{dz}=\frac{\sigma \text{'}(z)}{\sigma (z)}=\zeta (z)y\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\sigma (z)}{z}=1}$

luego tenemos para esta función que

${\displaystyle \begin{array}{l}\ln \frac{\sigma (z)}{z}={\displaystyle \sum _{\Omega \ne 0}\left[\ln \left(1-\frac{z}{\Omega }\right)+\frac{z}{\Omega }+\frac{z^2}{2{\Omega }^2}\right]}\\ \sigma \text{(z)=z}{\displaystyle \prod _{\Omega \ne 0}\left[1-\frac{z}{\Omega }\right]}{e}^{\frac{z}{\Omega }+\frac{z^2}{2{\Omega }^2}}\end{array}}$

Propiedades de σ(z)

1. Es una función meromorfa.

2. Es entera con ceros de primer orden en los puntos z=Ω.

3. Es una función impar

Teorema 1

ζ(z+2ω₁)-ζ(z)=η₁, una constante
ζ(z+2ω₃)-ζ(z)=η₃, una constante

Donde 2ω₁ y 2ω₃ son los periodos de la función ℘(z)

Teorema 2

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\sigma (z+2{\omega }_1)}{\sigma (z)}=-e^{{\eta }_1(z+{\omega }_1)}\\ \frac{\sigma (z+2{\omega }_3)}{\sigma (z)}=-e^{{\eta }_3(z+{\omega }_3)}\end{array}}$

Teorema 3

${\displaystyle \begin{array}{l}a)\wp (z)=\frac{1}{z^2}+*+()z^2+\mathrm{...,}\\ b)\zeta (z)=\frac{1}{z}+*z+()z^3+\mathrm{...,}\\ c)\sigma (z)=z+*z^3+()z^5+\mathrm{...,}\end{array}}$

donde * es cero en los tres casos.

Teorema 4

${\displaystyle \phi (z)=\frac{\sigma (z-z\text{'})\sigma (z+z\text{'})}{{\sigma }^2(z){\sigma }^2(z\text{'})}}$

donde z' es una constante no congruente con cero módulo 2ω₁, 2ω₃.

Teorema 5

${\displaystyle \wp (z)-\wp (z\text{'})=-\frac{\sigma (z-z\text{'})\sigma (z+z\text{'})}{{\sigma }^2(z){\sigma }^2(z\text{'})}}$

Teorema 6

${\displaystyle \zeta (u+v)=\zeta (u)+\zeta (v)+\frac{1}{2}\frac{\wp \text{'}(u)-\wp \text{'}(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}$

Teorema 7

${\displaystyle \wp (u+v)=-\wp (u)-\wp (v)+\frac{1}{4}{\left[\frac{\wp \text{'}(u)-\wp \text{'}(v)}{\wp (u)-\wp (v)}\right]}^2}$

Teorema 8

${\displaystyle \wp (u+v)+\wp (u)+\wp (v)={\left[\zeta (u+v)-\zeta (u)-\zeta (v)\right]}^2}$

Teorema 9

Sea f(z) una función elíptica de orden n y sean α₁, α₂... α_n y β₁, β₂... β_n sus ceros y polos respectivamente, (escritos según sus ordenes de multiplicidad) pertenecientes al paralelogramo fundamental de periodos ${\displaystyle \sum \alpha ={\displaystyle \sum \beta +\Omega }}$. Entonces

${\displaystyle f(z)=C\frac{{\displaystyle \prod _{k=1}^n\sigma (z-{\alpha }_k)}}{{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sigma (z-{\beta }_k)\sigma (z-{\beta }_n-\Omega )}}}$

donde C es una constante.

Teorema 10

Cualquier función elíptica es una función racional de ℘(z) y un número finito de sus derivadas.