Llamaremos integrales elípticas a las de la forma

${\displaystyle {\displaystyle \underset{w_0}{\overset{w}{\int }}R\left(t,\sqrt{a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3+a_4{t}^4}\right)}dt}$

donde

${\displaystyle R\left(t,\sqrt{a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3+a_4{t}^4}\right)}$

es una función racional y el polinomio bajo el signo de la raíz cuadrada es un polinomio de cuarto grado (a₄≠0) ó de tercer grado (a₄=0, a₃≠0).
Esta denominación se debe a que la longitud del arco de la elipse se expresa por ellas.
Vamos a comprobarlo.

Sea la elipse,

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$

Su longitud de arco se expresará

${\displaystyle l\text{=}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{1+{(y\text{'})}^2}}}$

El integrando es

${\displaystyle \begin{array}{l}{y}^2=b^2\left[1-\frac{x^2}{a^2}\right]\Rightarrow 2yy\text{'}=-\frac{2x{b}^2}{a^2}\Rightarrow y\text{'}=-\frac{x{b}^2}{a^{2}y}\\ {\left(y\text{'}\right)}^2=\frac{x^2{b}^4}{a^4{y}^2}=\frac{x^2{b}^4}{a^4{b}^2\left[1-\frac{x^2}{a^2}\right]}=\frac{x^2{b}^2}{a^2(a^2-x^2)}\\ 1+{\left(y\text{'}\right)}^2=\frac{a^2(a^2-x^2)+x^2{b}^2}{a^2(a^2-x^2)}=\frac{a^4+x^2(b^2-a^2)}{a^2(a^2-x^2)}=\\ =\frac{a^2-x^2\left[\frac{a^2-b^2}{a^2}\right]}{(a^2-x^2)}=\frac{a^2\left[1-\left(\frac{a^2-b^2}{a^2}\right){\left(\frac{x}{a}\right)}^2\right]}{a^2\left[1-{\left(\frac{x}{a}\right)}^2\right]}\end{array}}$

Haciendo el cambio

${\displaystyle k^2=\frac{a^2-b^2}{a^2},t=\frac{x}{a}\Rightarrow dx=adt}$

tenemos

${\displaystyle l={\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{1+{\left(y\text{'}\right)}^2}=a{\displaystyle \underset{0}{\overset{\frac{x}{a}}{\int }}\sqrt{\frac{1-k^2{t}^2}{1-t^2}}dt=a{\displaystyle \underset{0}{\overset{\frac{x}{a}}{\int }}\frac{1-k^2{t}^2}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}}dt}}}}$

Es una integral elíptica.

Esta denominación se ha extendido a las funciones que son inversas respecto de las integrales elípticas.
Si en

${\displaystyle z={\displaystyle \underset{\infty }{\overset{w}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{4t^3-g_{2}t-g_3}}\text{ponemos}}z={\omega }_j\text{y}\text{como}\wp ({\omega }_j)=e_j,(j=\mathrm{1,2,3}),}$

tenemos que

${\displaystyle {\omega }_j={\displaystyle \underset{\infty }{\overset{e_j}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{4t^3-g_{2}t-g_3}}(j=\mathrm{1,2,3}).}}$

Aquí se deben de tomar como caminos de integración las imágenes de cualesquiera de las curvas rectificables que unen los puntos z=0 con los ω₁, ω₂, ω₃ respectivamente.

Cuando en las integrales se emplean caminos de integración arbitrarios que unen el punto ∞ con e_j, en el primer miembro nos da los semiperiodos de la forma,

ω_j+2mω₁+2nω₃, donde m y n son números enteros cualesquiera.

La elección del signo de la raíz cuadrada en este caso no es esencial, puesto que sólo afecta al signo del semiperiodo.

PROPIEDAD.- Los invariantes g₂ y g₃ determinan unívocamente la función ℘(z), es decir, no pueden existir dos funciones distintas ℘(z) con unos mismos invariantes.

Demostración.- Será suficiente con establecer la unicidad de la solución de la ecuación dada con la condición inicial de que para z=0 nos dé ∞.
Para ello tomemos un punto z₀ que no sea semiperiodo de ℘(z) y supongamos que w=f(z) es una función analítica en un entorno del punto z₀ y que cumple la ecuación con su condición inicial. Entonces la podremos expresar como

${\displaystyle f(z)=\wp \left[s(z)\right]\text{donde}s(z)={\wp }^{-1}\left[f(z)\right]}$

es una función analítica en un entorno del punto z₀

Sabemos que

${\displaystyle {\left[\frac{d\wp (s)}{ds}\right]}^2=4{\left[\wp (s)\right]}^3-g_2\wp (s)-g_3}$

pues ℘(z) es solución de la ecuación dada y como hemos supuesto que la función f(z) también cumple la ecuación, tenemos

${\displaystyle {\left[\frac{df}{dz}\right]}^2={\left[\frac{d\wp (s)}{ds}\right]}^2{\left[\frac{ds}{dz}\right]}^2=4{\left[\wp (s)\right]}^3-g_2\wp (s)-g_3.}$

Comparando los dos resultados

${\displaystyle {\left[\frac{ds}{dz}\right]}^2=1\Rightarrow s=\pm z+A.}$

Luego,

${\displaystyle f(z)=\wp (\pm z+A)=\wp (z+A\text{'})}$

Por ser la función ℘(z) par, además al exigirle a la función f(z) la condición f(0)=∞, tenemos

${\displaystyle f(0)=\wp (A\text{'})=\infty \Rightarrow A\text{'}\text{es}\text{un}\text{periodo}\text{de}\wp (z)\Rightarrow f(z)=\wp (z).}$

Con esto nos surge la siguiente pregunta: ¿se puede afirmar que dada cualquier ecuación diferencial de primer orden

${\displaystyle {\left[\frac{dw}{dz}\right]}^2=4w^3-g\text{'}\text{'}w-g\text{'}\text{'}\text{'}}$

donde g'' y g''' son números complejos dados, existe una función elíptica de Weierstrass que cumpla tal ecuación?

Desde luego, a los números g'' y g''' es necesario imponerles la condición que cumplen los invariantes de la función ℘(z),

${\displaystyle \Delta =\frac{1}{16}\left[{(g\text{'}\text{'})}^3-27{(g\text{'}\text{'}\text{'})}^2\right]\ne 0\Rightarrow {(g\text{'}\text{'})}^3-27{(g\text{'}\text{'}\text{'})}^2\ne 0.}$

¿Pero es suficiente sólo esta condición?.
La resolución de esta cuestión es el llamado 'Problema de la inversión de las integrales elípticas'