Dinámica |
Colisiones Carro que dispara un proyectil Caída libre y sucesivos rebotes Choque de dos esferas iguales Choques frontales
Choques elásticos en un carril Choques frontales verticales Choque inelástico de duración finita Péndulo balístico No se conserva el momento lineal Choque entre una partícula y un bloque unido a un muelle Medida de la veloci- dad de una bala Choques bidimen sionales Conservación del momento lineal |
Choque elástico de dos partículas Choque elástico con una tercera partícula |
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Consideremos una partícula de masa m1 que lleva una velocidad u1 y que choca elásticamente con una partícula de masa m2 que está inicialmente en reposo. La segunda partícula choca a su vez, con otra partícula de masa m3 que está inicialmente en reposo.
Fijadas las masas de la primera y la tercera partícula, m1 y m3, nuestra tarea va a se la de encontrar la masa de la segunda partícula m2 que hace que la velocidad final v3 de la tercera partícula sea máxima. La segunda partícula actúa de agente que transfiere velocidad (energía) de la primera a la tercera partícula. Se tratará de investigar qué masa deberá tener esta partícula para que la transferencia de energía sea máxima.
Choque elástico de dos partículasEn la página titulada “choques frontales” estudiamos como caso particular, el choque elástico entre dos partículas. En este caso, la primera partícula lleva una velocidad u1 y la segunda está inicialmente en reposo u2=0.
1 Principio de conservación del momento lineal
2 En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las velocidades v1 y v2 después del choque
Para un sistema de dos partículas, la máxima velocidad que alcanza la segunda partícula es 2u1 cuando la masa de la segunda partícula m2 es muy pequeña comparada con la masa de la primera partícula m1. Lo podemos apreciar mejor si escribimos v2 en función de x=m2/m1.
Cuando m1=m2 la velocidad de la primera partícula después del choque es cero v1=0, la primera partícula se detiene y la segunda partícula adquiere la velocidad (y la energía) de la primera partícula, v2=u1. Pero esta no es la máxima velocidad que puede adquirir la segunda partícula después del choque.
Choque elástico con una tercera partículaConsideremos ahora el caso del choque entre la segunda partícula de masa m2 que lleva una velocidad u2, y una tercera partícula de masa m3 inicialmente en reposo.
La velocidad inicial u2 de la segunda partícula es la final v2 que adquiere después del primer choque
1 Principio de conservación del momento lineal
2 En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las velocidades v2 y v3 después del choque.
Máxima transferencia de velocidadFijados m1 y m3, vamos a determinar la masa de la segunda partícula m2 que hace que v3 sea máximo. Para ello, derivamos v3 respecto de m2 e igualamos a cero. Después de hacer algunas operaciones se llega al siguiente resultado
Se trata ahora de comprobar que es un máximo. Para ello, calculamos la derivada segunda de v3 respecto de m2 y comprobamos que es negativa cuando se cumple la condición de extremo.
Dados las masa de las tres partículas, m1, m2 y m3, el valor máximo de la velocidad v3 de la tercera partícula después del choque vale
Llamando x al cociente entre la masa de la tercera partícula y la primera x=m3/m1 Cuando x tiende a cero, es decir, cuando la masa m3 de la tercera partícula es muy pequeña comparada con la masa de la primera partícula m1, la velocidad v3 de la tercera partícula tiende hacia cuatro veces la velocidad inicial de la primera partícula u1. Hemos comprobado que una segunda partícula interpuesta entre la primera y la tercera, permite incrementar la transferencia de velocidad entre ambas, por medio de dos choques elásticos, entre la primera y segunda partícula, y entre la segunda y tercera partículas.
Balance energéticoLa energía inicial de la primera partícula es
Después del primer choque entre la primera y segunda partícula, la energía se reparte ente la primera F1 y segunda partícula E2, de modo que E1=F1+E2 Después del segundo choque entre la segunda y tercera partícula, la energía cinética E2 de la segunda partícula se reparte entre la segunda F2 y tercera partícula E3, de modo que E2=F2+E3 Al finalizar el segundo choque, se cumplirá que E1=F1+ F2+ E3, siendo E1 la energía inicial de la primera partícula y F1, F2, E3 las energía finales de las tres partículas.
Actividades.
Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Observamos, el choque entre la primera partícula y la segunda. A continuación, el choque entre la segunda y la tercera. En la parte superior del applet, aparecen los datos de las velocidades de las partículas antes y después de los choques. Anotaremos en un papel, la masa de la partícula intermedia m2 y la velocidad v3 de la tercera partícula después del segundo choque, comprobamos que su valor viene dado por la fórmula
Repetimos varias veces la experiencia simulada. Fijando la masa m1 de la primera partícula, vamos cambiando la masa m2 de la partícula intermedia hasta conseguir que la velocidad v3 de la tercera partícula después del segundo choque sea máxima. Comprobaremos, que se cumple la condición de extremo
Ejemplo 1 Sean las masas de las partículas m1=25 kg Completamos sobre un papel una tabla de valores como la siguiente
La velocidad máxima v3 de la tercera
partícula se obtiene para el valor m2=5. Como podemos
verificar a partir de la condición de extremo
Ejemplo 2: Sean las masas de las partículas m1=10000 kg La masa de la segunda partícula m2 es tal que se cumple la condición de máximo de v3, Pero como m1 es muy grande comparado con m3 la velocidad v3 es muy cercana al valor de 4, que es la más alta velocidad que puede alcanzar la tercera partícula. Ejemplo 3: En la parte superior del applet, aparece una barra horizontal dividida en dos porciones después del primer choque o en tres porciones después del segundo choque. Cada porción representa la energía cinética de las tres partículas. Sean las masas de las partículas m1=25 kg La velocidad inicial de la primera partícula es u1=1.0, su energía cinética inicial es E1=12.5 J
La segunda partícula tiene una velocidad inicial u2=1.667 m/s, su energía cinética es E2=6.944 J
Como podemos comprobar E2=F2+E3, y también E1=F1+ F2+E3 |
Fakhruddin H. Maximizing imparted speed in elastic collisions. The Physics Teacher, Vol 41, September 2003, pp. 338-339
Choques frontales
elásticos
