Choques frontales verticales

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Dinámica

 
Colisiones
Carro que dispara
un proyectil
Caída libre y 
sucesivos rebotes
Choque de dos 
esferas iguales
Choques frontales
Choques frontales
elásticos
Choques elásticos
en un carril
marca.gif (847 bytes)Choques frontales
 verticales
Choque inelástico 
de duración finita
Péndulo balístico
No se conserva el
momento lineal
Choque entre una 
partícula y un bloque
unido a un muelle
Medida de la veloci-
dad de una bala 
Choques bidimen
sionales
Conservación del 
momento lineal
 Choques verticales de dos pelotas

Choques verticales elásticos de varias pelotas

Referencias

 

En esta página, se describe un ejemplo interesante de choques frontales.

Hemos comprobado en la página “Caída libre y sucesivos rebotes” que cuando una pelota se deja caer desde una altura h0, rebota en el suelo y alcanza una altura máxima h<h0. La relación entre estas alturas es

h=e2·h0

donde e es el coeficiente de restitución e≤1.

Vamos a comprobar que cuando una pequeña pelota se coloca encima de otra pelota mayor y se dejan caer juntas desde una altura h0, la pelota pequeña puede alcanzar alturas mucho mayores que h0.

 

Choques verticales de dos pelotas

Supondremos que las dos pelotas se comportan como masas puntuales, es decir, que sus dimensiones son pequeñas comparadas con la altura h0 desde la que dejan caer.

Vamos a describir en este apartado cada una de las etapas del movimiento de las dos pelotas:

  1. Movimiento vertical de caída

Si ambas pelotas parten del reposo desde una altura h0, las ecuaciones del movimiento son

v=-g·t
y=h0-½gt2

Las pelotas llegan al suelo cuando y=0, es decir con una velocidad –v0 tal que

  1. Choque de la pelota grande con el suelo
     

La pelota grande choca con el suelo y rebota . De la definición de coeficiente de restitución, tendremos que la velocidad u1 de la pelota grande después del choque es

u1=e1v0

Siendo e1 el coeficiente de restitución para el choque entre la pelota grande y el suelo.
 
  1. Choque de la pelota grande con la pequeña
     

Tenemos que plantear las ecuaciones que describen el choque frontal entre dos partículas, una partícula (la pelota grande) de masa m1 que lleva una velocidad u1 hacia arriba, y otra partícula (la pelota pequeña) de masa m2 que lleva una velocidad u2=-v0 hacia abajo, tal como se muestra en la figura.

Para calcular las velocidades v1 y v2 después del choque aplicamos:

  • el principio de conservación del momento lineal

m1·u1+m2(-v0)=m1·v1+m2·v2

v1-v2=-e2(u1-(-v0))

Siendo e2 el coeficiente de restitución para el choque entre la pelota grande y la pequeña.

Para hacer más simple el análisis del problema supondremos que los coeficientes de restitución e1≈e2=e son prácticamente iguales.

m1ev0-m2v0=m1·v1+m2·v2
v1-v2=-e(ev0+v0)

Despejamos de este sistema de dos ecuaciones las velocidades v1 y v2 después del choque

  1. Movimiento vertical ascendente

La pelota más grande asciende desde el suelo con velocidad inicial v1 y la pelota pequeña con velocidad inicial v2, las ecuaciones del movimiento para la primera son

v=v1-g·t
y=v1·t -½gt2

La máxima altura se alcanza cuando v=0.

La misma expresión se obtiene para la pelota pequeña

Casos particulares

  1. Condición para que la pelota grande permanezca en reposo, v1=0

En el caso de un choque elástico e=1, la velocidad v1=0 se obtiene para m1=3m2. La pelota grande permanece en reposo sobre el suelo, cuando la masa de la pelota grande es el triple que el de la pequeña. La velocidad de la pelota pequeña es v2=2v0. La máxima altura que alcanza la pelota pequeña es por tanto, h2=4h0

En general, para que la pelota pequeña ascienda hasta una altura h2>h0 se tendrá que cumplirse que v2>v0, y ascenderá a la altura mayor posible si v1=0, la pelota grande queda en reposo sobre el suelo.

Poniendo en la segunda ecuación (definición de coeficiente de restitución) que describe el choque frontal v1=0, para que v2>v0 se tiene que cumplir que e2+e-1>0, es decir, e>0.618.

Para que la pelota grande permanezca en reposo en el suelo, v1=0, la relación de masas m1/m2 para cualquier valor de e>0.618, deberá cumplir

Para un valor típico e=0.9, m1=3.011·m2, la masa de la pelota grande m1 es un poco más de tres veces la masa de la pelota pequeña. La velocidad de la pelota pequeña v2=1.71v0, y por tanto, h2=2.92·h0

  1. Cuando la masa de la pelota pequeña es despreciable

Cuando la masa de la pelota pequeña es despreciable m2<<m1, para las colisiones elásticas e=1 se obtiene v2≈3·v0, De modo que, la altura que alcanza la pelota pequeña es h2≈9·h0.

Balance energético

  • La energía inicial de las partículas cuando están a una altura h0 sobre el suelo es

Ei=(m1+m2)gh0

  • La pelota más grande rebota contra el suelo y pierde una energía Q1 en el choque. La velocidad inicial es v0 y la velocidad final e·v0.

  • La pelota más pequeña llega al suelo con velocidad v0 y choca con la pelota grande que ha rebotado llevando una velocidad ev0. Durante el choque se pierde una energía, 

  • El resto de la energía Ef=Ei+Q1+Q2 se convierte en energía cinética de las dos partículas que ascienden con velocidades v1 y v2 respectivamente.
     

  • Posteriormente, esta energía cinética se convierte en potencial cuando alcanzan las alturas máximas h1 y h2 respectivamente.

Si la pelota mayor queda en reposo sobre el suelo, v1=0, la energía final Ef se convierte en energía potencial de pelota más pequeña cuando alcanza la altura máxima h2.

Ejemplo

Supongamos que e=0.9 y m1=3.011·m2, la altura inicial es h0=0.25 m

  1. Energía inicial Ei=4.011·9.8·0.25=9.83 J
  2. La velocidad de la pelota más grande al llegar al suelo es v0=2.21 m/s.
  3. Después de chocar con el suelo su velocidad es e·v0=1.99 m/s. La pérdida de energía durante el choque es Q1=-1.40 J
  4. La pelota más pequeña llega al suelo con velocidad v0=2.21 m/s y choca con la pelota grande después de rebotar. La pérdida de energía en el choque es Q2=-1.26 J
  5. La pelota grande permanece en reposo sobre le suelo. La energía de la pelota pequeña es Ef=9.83-1.40-1.26=7.16 J. La energía cinética de la pelota pequeña al nivel del suelo se convierte en energía potencial cuando alcanza la altura h2=0.73 m.

 

Actividades

Se introduce

  • La masa m1 de la pelota grande, un número mayor que la unidad, en el control de edición titulado Masa grande.
  • La masa de la pelota pequeña m2 se ha fijado en 1 kg.
  • El coeficiente de restitución e, un número menor que 1.0 y mayor que 0.6, en el control de edición titulado Coef. restitución.
  • La altura inicial h0, en cm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura.

 Se pulsa en el botón titulado Empieza

Por ejemplo

  • masa grande, m2=200,
  • coeficiente de restitución, e=1.0,
  • altura inicial, h0=10 cm.

Observar que la pelota pequeña (de color azul) alcanza una altura máxima h2 cercana a los 90 cm

Introducir un valor para el coeficiente de restitución e, cambiar el valor de la masa m1 de la pelota grande hasta conseguir que después de chocar con la pelota pequeña, permanezca en reposo sobre el suelo.

  • A la izquierda del applet, observamos el movimiento vertical de la pelota grande (color rojo) y de la pelota pequeña (color azul).

  • En el centro, las barras indican la energía (cinética más potencial) de cada partícula y cómo se va trasformando.

  • A la derecha, se representa gráficamente, la velocidad de la pelota pequeña en función del tiempo.

 
RestitucionApplet1aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                                
 

Choques verticales elásticos

En esta sección, vamos a estudiar los choques elásticos verticales entre dos y tres pequeñas pelotas y generalizaremos el resultado para el caso de n pelotas.

Dos pelotas

  1. Las dos pelotas de masas m1 (la inferior) y m2 (superior) caen juntas desde una altura h0, cuando llegan al suelo alcanzan la velocidad -v0.

  2. La pelota inferior de masa m1 rebota elásticamente en el suelo invirtiendo el sentido de su velocidad.

  3. La pelota inferior de masa m1 y velocidad v0 choca con la pelota superior de masa m2 y velocidad –v0. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son v1 y v2.

  • Principio de conservación del momento lineal

m1·v0+m2(-v0)=m1·v1+m2·v2

v1-v2=-e(v0-(-v0))

Si el choque es elástico, e=1

v1-v2=-2v0

Despejamos v1 y v2 del sistema de dos ecuaciones

  • Si m1=m2, v2=v0

  • Si m1=3m2, v2=2v0

  • Si m1>>m2 v2=3v0

La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=9·h0

Tres pelotas

  1. Las tres pelotas de masas m1 (la inferior) y m2 (intermedia) y m3 (superior) caen juntas desde una altura h0, cuando llegan al suelo alcanzan la velocidad -v0.

  2. La pelota inferior de masa m1 rebota elásticamente en el suelo, invirtiendo el sentido de su velocidad.

  3. La pelota inferior de masa m1 y velocidad v0 choca con la pelota intermedia de masa m2 y velocidad –v0. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son v1 y v2.

Aplicando el conservación del momento lineal, y suponiendo que el choque es elástico

m1·v0+m2(-v0)=m1·v1+m2·v2
v1-v2=-2v0

Despejamos como antes, las velocidades v1 y v2 del sistema de dos ecuaciones

  1. La pelota intermedia de masa m2 y velocidad v2 choca con la pelota superior de masa m3 y velocidad –v0. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son V2 y v3.

Aplicando el conservación del momento lineal, y suponiendo que el choque es elástico

m2·v2+m3(-v0)=m2·V2+m3·v3
V2-v3=-(v2-(-v0))

Despejamos como antes, las velocidades v3 y V2 del sistema de dos ecuaciones

  • Si m1=m2=m3 entonces v3=v0

  • Si m1>>m2>>m3 entonces v3=7v0

La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=49·h0

Cuatro pelotas

Si m1>>m2>>m3>>m4 entonces v4=15v0

La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=225·h0

n pelotas

Si m1>>m2…. >>mn entonces vn=(2n-1)v0

Por ejemplo, si dejamos caer ocho pelotas desde un edificio muy alto de 100 m de altura, la velocidad al llegar al suelo es de

Si las masas de las pelotas cumplen la condición de que

m1>>m2>>… >>m8

la velocidad de rebote de la octava pelota es v8=(28-1)v0=11289.3 m/s

que es mayor que la velocidad de escape ve de un objeto de la superficie de la Tierra

R=6370 km  es el radio de la Tierra, M=5.98·1024 kg es la masa de la Tierra y G=6.67·10-11 N·m2/kg2.

 

 

Referencias

Spradley J. Velocity amplification in vertical collisions. Am. J. Phys. 55 (2) February 1987, pp. 183-184

Anderson A. The cocktail (highball) problem. Phys. Educ 34 (2) March 1999, pp. 76-79