Dinámica

Colisiones

Carro que dispara
un proyectil

Caída libre y 
sucesivos rebotes

Choque de dos 
esferas iguales

Choques frontales

Choques frontales
elásticos

Choques elásticos
en un carril

Choques frontales
verticales

Choque inelástico 
de duración finita

Péndulo balístico

No se conserva el
 momento lineal

Choque entre una 
partícula y un bloque
unido a un muelle

Medida de la veloci-
dad de una bala 

Choques bidimen
sionales

Conservación del 
momento lineal

Choque inelástico de duración finita

Conclusiones

Actividades

Referencias

En la página titulada “Un choque inelástico de duración finita” hemos examinado un modelo simplificado que explica lo que ocurre en el pequeño intervalo de tiempo que dura un choque inelástico entre una bala y un bloque. La bala disminuye la velocidad aumenta la del bloque hasta que ambos adquieren la misma velocidad, en ese instante el choque finaliza.

Estudiamos el comportamiento de un sistema aislado formado por dos partículas (la bala y el bloque) que interactuaban mediante una fuerza interna de valor constante que se oponía al movimiento de la bala, pero que favorecía el movimiento del bloque.

En la página titulada "Péndulo balístico" estudiamos el choque instantáneo entre una bala y un bloque, y aplicamos el principio de conservación del momento lineal para obtener la velocidad inmediatamente después del choque, del conjunto formado por la bala y el bloque.

En esta página, se estudia el mismo sistema formado por un bloque y una bala, estando el bloque sujeto por ambos extremos mediante dos varillas de masa despreciable. Si el choque es instantáneo, las fuerzas exteriores se anulan en el momento del choque, pero si es de duración finita, las fuerzas exteriores no se anulan y por tanto, no se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal.

Choque inelástico instantáneo

Si el choque es instantáneo, el bloque no se habrá desplazado de su posición vertical inicial, las fuerzas exteriores: el peso (m+M)g y la tensión de la cuerda T se anulan. El sistema es aislado y se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal en el momento del choque.

En el momento del choque

Sea M la masa del bloque inicialmente en reposo y m la masa de la bala, cuya velocidad inmediatamente antes del choque es v₀. La velocidad final v_f del conjunto bala-bloque inmediatamente después del choque es

mv₀=(m+M)v_f

A continuación, se efectúa el balance energético de la colisión. La variación de energía cinética es

Movimiento después del choque

Una vez que el conjunto bala-bloque ha adquirido la velocidad v_f, se desvía de la posición de equilibrio, haciendo un ángulo θ, al cabo de un cierto tiempo t tal como se indica en la figura. Supondremos que el bloque y la bala son masas puntuales.

Descomponemos las fuerzas que actúan sobre sistema a lo largo de la dirección radial y a lo largo de la dirección tangencial

• La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección radial es

(m+M)a_n=T-(M+m)g·cosθ

donde a_n es la componente normal de la aceleración a_n =v²/R, y R es la longitud del péndulo.

Aplicando el principio de conservación de la energía calculamos la velocidad v cuando el péndulo se ha desviado un ángulo θ después del choque

Conocido v, se calcula la tensión T de la cuerda

El máximo ángulo θ_m<90º que se desvía el péndulo se calcula poniendo v=0, en la ecuación de la conservación de la energía

• La ecuación del movimiento a lo largo de la dirección tangencial es

(m+M)a_t=-(M+m)g·senθ

donde a_t es la componente tangencial de la aceleración a_t=αR.  

La ecuación diferencial del movimiento del péndulo es

Con las condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=v_f/R

Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, obteniéndose la posición θ, y la velocidad R·dθ/dt en función del tiempo t.

Ejemplo:

En el programa interactivo de la página anterior introducir los siguientes datos:

• Masa del bloque M=1.5 kg

• Masa de la bala m=0.2 kg

• Velocidad de la bala v₀=10 m/s

• Longitud del péndulo R=0.5 m

Velocidad del conjunto bloque-bala después del choque

0.2·10=(1.5+0.2)·v_f          v_f=1.18 m/s

El ángulo máximo que se desvía el péndulo después del choque es

Choque inelástico de duración finita

Vamos a considerar el sistema formado por una bala de masa m y un bloque de masa M,  de forma rectangular de longitud L sujeto por sus extremos mediante dos varillas rígidas de masa despreciable tal como se muestra en la figura.

La bala se dispara horizontalmente con velocidad v₀ contra una de las caras del bloque a lo largo de la línea que pasa por su centro de masas (c.m.), penetra en el bloque una cierta distancia hasta que ambos adquieren la misma velocidad. A medida que la bala va penetrando en el bloque, el c.m. del bloque describe un movimiento circular de radio R.

Las fuerzas que actúan sobre este sistema formado por la bala y el bloque son internas (en color azul)  y externas (en color rojo) que dibujamos sobre cada uno de los cuerpos.

1. Sobre la bala (a la izquierda de la figura) actúan

• La fuerza exterior que es su peso, mg

• Una fuerza interior de rozamiento F en dirección opuesta a la velocidad de la bala relativa al bloque.

• Una fuerza interior N, que obliga a la bala a moverse a lo largo del eje del bloque en el sistema de referencia ligado al bloque. La fuerza N hace que el movimiento vertical de la bala sea el mismo que el movimiento del c.m. del bloque.

2. Sobre el bloque (en el centro y derecha de la figura) actúan las siguientes fuerzas

• La fuerza exterior Mg que es el peso del bloque y que actúa en su c.m.

• La fuerzas T₁ y T₂ que son paralelas y del mismo sentido, que ejercen las varillas que sujetan al bloque, y que podemos sustituir por una única fuerza T=T₁+T₂ en la misma dirección y sentido aplicada en el c.m. del bloque.

• Las fuerza interiores F y N obedecen a la tercera ley de Newton tal como se muestra en la figura, tienen el mismo módulo, la misma dirección pero sentido contrario a las dibujadas sobre la bala.

Una vez dibujadas las fuerzas, escribiremos las ecuaciones del movimiento de la bala y del c.m. del bloque, para ello estableceremos un sistema de ejes tal como se indica en la parte derecha de la figura.

Movimiento de la bala

La bala se mueve a lo largo del eje X, bajo la acción de la fuerza que supondremos constante F que se opone a su movimiento.

v_x=v₀-F·t/m
x= v₀t-½F·t²/m

La componente Y de la velocidad de la bala es la misma que la componente Y de la velocidad del c.m. del bloque v_y=V_y.

Movimiento del bloque

Las ecuaciones del movimiento del c.m. del bloque a lo largo del eje X y del eje Y son respectivamente:

Tenemos tres ecuaciones que vamos a combinar para eliminar las fuerzas desconocidas N y T. Sumamos la primera y la tercera para eliminar N.

Entres estas dos, eliminamos T.

que es la ecuación del movimiento del bloque.

Queremos llegar a una ecuación que nos permita calcular el desplazamiento angular θ del c.m. del bloque en función del tiempo t.

Como vemos en la figura, la velocidad V del c.m del bloque es tangente a su trayectoria circular de radio R. Las componentes de la velocidad Vx y Vy son Vx=V·cos θ Vy=V·sen θ

y sus derivadas respecto del tiempo t

De la relación entre magnitudes lineales y angulares tenemos que V=R·dθ/dt

Volvemos a la ecuación del movimiento, y sustituimos las derivadas de las componentes de la velocidad del c.m. del bloque por sus expresiones en términos del ángulo θ y sus derivadas respecto del tiempo. Haciendo algunas operaciones se llega a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden.

Dado el valor de la fuerza interna F, resolvemos esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=0.

Final del choque

Se finaliza el choque, en el instante t_c tal que la componente a lo largo del eje X de la velocidad del c.m. V_x=V_c·cosθ_c coincide con la componente X de la velocidad de la bala v_x=v₀-F·t_c/m

V_c·cosθ_c=v₀-F·t_c/m

Donde θ_c es el desplazamiento angular del c.m. del bloque en el instante t_c y V_c la velocidad del c.m. del bloque en dicho instante.

Ya hemos mencionado que las componentes Y coinciden en todo momento V_y=v_y.

Movimiento después del choque

Una vez que ha finalizado el choque, el bloque y la bala se mueven como un solo cuerpo de masa (m+M) bajo la acción de su peso y de la tensión de las cuerdas. El c.m. del sistema se mueve de acuerdo con la ecuación diferencial deducida en el primer apartado.

con las condiciones iniciales t=0, θ= θ_c, dθ/dt=V_c/R.

Conocida la velocidad Vc y el desplazamiento angular θc, del sistema formado por el bloque y la bala en el instante tc en el que termina el choque, podemos determinar sin resolver la ecuación diferencial el máximo desplazamiento θm, aplicando el principio de conservación de la energía.

Conclusiones

Se ha descrito un choque inelástico entre una bala y un bloque. En el caso de que el choque sea instantáneo, se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal, ya que las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema se anulan. En el caso de que el choque sea de duración finita, las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas no se anulan durante el intervalo de tiempo que dura el choque, por lo que no se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal.

Se deberá esperar que cuanto más corta sea la duración del choque, es decir, más grande sea la fuerza interna F de frenado que ejerce el bloque sobre la bala, los resultados de de las dos descripciones serán cada vez más parecidos. En el límite, cuando F tiene a infinito, tendremos un choque instantáneo, y obtendremos los resultados que predice el principio de conservación del momento lineal.

El programa interactivo, resuelve las ecuaciones del movimiento empleando procedimientos numéricos. Además de las imprecisiones propias de los procedimientos numéricos hay que añadir una dificultad más en la resolución de las ecuaciones del movimiento. Cuanto mayor sea la fuerza F, más corta es la duración del choque, el paso de integración se ha de hacer más pequeño para que los resultados sean fiables.

Actividades

Se introduce

• La masa m de la bala en kg, en el control de edición titulado Masa bala

• La velocidad v₀ de la bala en m/s, en el control de edición titulado Velocidad bala

• La fuerza F en newton de interacción entre le bloque y la bala, moviendo el dedo en la barra de desplazamiento titulado Fuerza.

• La masa del bloque está fijada en el valor M=1kg

• La longitud del bloque se ha fijado en el valor L=1 m

• La longitud de las varillas que sujetan el bloque se ha fijado en R=1 m

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se mueve la bala, un pequeño círculo de color rojo, hacia una de las caras del bloque. Cuando la bala toca al bloque, se observa:

• El movimiento de la bala penetrando en el bloque

• La fuerza interna F que actúa sobre la bala, y sobre el c.m. del bloque.

En la parte derecha del applet, se proporcionan los siguientes datos:

• El tiempo medido desde el momento en que la bala entra en contacto con el bloque

En color azul:

• El desplazamiento angular θ del c.m. del bloque (ángulo que forman las dos varillas con la vertical)

• La velocidad V del c.m. del bloque

En color rojo:

• La componente X velocidad de la bala v_x=v₀-F·t/m

• La componente X velocidad del bloque V_x=V·cos θ

Observaremos que la componente X de la velocidad de la bala, disminuye y aumenta la componente X de la velocidad del bloque. Emplearemos la combinación de botones Pausa/Continua y Paso, para acercarnos al momento en el que termina el choque cuando ambas velocidades (en color rojo) toman el mismo valor. Anotaremos

• el tiempo t_c

• la desviación θ_c del bloque, (en color azul).

• la velocidad del bloque V_c (en color azul).

Comparamos la velocidad V_c con la velocidad v_f que se obtiene de la aplicación del principio de conservación del momento lineal (choque instantáneo)

Pulsamos el botón titulado Continua, para que el sistema prosiga su movimiento hasta alcanzar el máximo desplazamiento.

Nos fijamos que la bala y el bloque se mueven con la misma velocidad (en color rojo)

El programa se detiene cuando el sistema formado por el bloque y la bala alcanza el máximo desplazamiento, la velocidad V se hace cero (en color azul). Se sugiere al lector comparar los máximos desplazamientos que se obtienen mediante el modelo de choque instantáneo y mediante el modelo de choque de duración finita.

Ejemplo:

Introducimos los siguientes valores:

• Masa de la bala m=0.4 kg

• Velocidad de la bala v₀=10 m/s

• Fuerza de interacción F=20 N

Se pulsa el botón titulado Empieza

Choque instantáneo

Aplicando el principio de conservación del momento lineal, obtenemos la velocidad del conjunto bloque-bala después del choque

0.4·10=(1+0.4)·v_f       v_f=2.86 m/s

Aplicando el principio de conservación de la energía, obtenemos el ángulo máximo que se desvía el péndulo balístico después del choque

Choque de duración finita

Observamos los valores de las componentes X de las velocidades de la bala v_x y del bloque V_x (en color rojo) Cuando estas componentes son iguales el choque finaliza, las flechas que señalan la fuerza interna F que disminuye la velocidad de la bala y aumenta la del bloque, desparecen.

• El choque transcurre durante un tiempo t_c=0.147 s.

• La velocidad del bloque en este instante es V_c=2.75 m/s,

• El ángulo que se ha desviado las varillas de la vertical es θ_c=11.92º.

Después del choque t>t_c las velocidades de la bala y del bloque son las mismas.

Aplicando el principio de conservación de la energía, podemos calcular la máxima desviación θ_m del conjunto formado por el bloque y la bala después del choque.

Ejemplo 2

• Masa de la bala m=0.4 kg

• Velocidad de la bala v₀=10 m/s

• Fuerza de interacción F=90 N

Se obtienen los siguientes resultados

• La duración del choque disminuye a t_c=0.032 s.

• El desplazamiento del bloque es pequeño θ_c=2.6º,

• El conjunto bloque-bala alcanza una  velocidad de V_c=2.85 m/s. muy parecida a la que se obtiene aplicando el principio de conservación del momento lineal.

• La desviación máxima que alcanza después del choque es θ_m=54.3º, un valor similar al calculado empleando la aproximación de choque instantáneo.