| Un bloque de masa m, está situado a una altura h sobre
el origen O, cae sobre una plataforma de masa M cuyo soporte es un muelle de
constante k. El choque es inelástico, el bloque queda pegado a la plataforma.
Determinar el movimiento del sistema formado por el bloque, la plataforma y el muelle.
- Posición de equilibrio de la plataforma M sobre el muelle de constante k.
 |
La posición de equilibrio ye es aquella en la que el
peso del la plataforma se equilibra con la fuerza que ejerce el muelle k·ye
=Mg |
- El bloque de masa m cae desde una altura h+ye antes de chocar
con la plataforma.
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La velocidad antes del choque es
- Conservación del momento lineal
En el instante del choque, supondremos que el bloque y la plataforma forman un sistema
aislado. Aplicando el principio de conservación del momento lineal
mv1=(m+M)v0.
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- Posición de equilibrio del sistema formado por el muelle, la
plataforma y el bloque.
 |
La posición de equilibrio x0 es aquella en la que el
peso del la plataforma y el bloque se equilibra con la fuerza que ejerce el muelle k·x0=(M+m)g |
- Sistema oscilante.
El periodo P del Movimiento
Armónico Simple es
La frecuencia angular es w =2p
/P
La ecuación del MAS es
x=-x0+A·sen(w t+j
)
La velocidad del sistema bloque-plataforma se obtiene derivando la x respecto del
tiempo
v=Aw ·cos(w t+j )
La amplitud A y la fase inicial j , se
determina a partir de las condiciones iniciales.
Como podemos ver en la figura, el sistema parte en el instante t=0
de la posición -ye con velocidad v0 que tiene el
sistema bloque- plataforma después del choque.
Tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
-ye =-x0+A·senj
-v0=Aw ·cosj
A partir de las cuales, obtenemos la amplitud A y la fase inicial j .
Ejemplo
Sea un sistema formado por
- Un bloque de masa m=10 kg
- Una plataforma de masa M=20 kg
- Un muelle de constante elástica k=2000 N/m
El bloque se deja caer desde una altura de 1 m sobre el nivel del muelle sin deformar,
que tomamos como origen.
- Posición de equilibrio de la plataforma M sobre el muelle de constante k.
20·9.8=2000·ye por lo que ye=9.8 cm
- La velocidad antes del choque del bloque
El bloque cae desde una altura de 1.098 m, su velocidad es
v1=4.64 m/s
- Choque del bloque contra la plataforma
10·4.64=(10+20)·v0 por lo que v0=1.546 m/s ó
154.6 cm/s
- Posición de equilibrio del sistema formado por el bloque, la
plataforma y el muelle
(20+10)·9.8=2000·x0, por lo que x0=14.7 cm
- Movimiento Armónico Simple
Periodo de la oscilación
La frecuencia angular w =8.16 rad/s
Ecuación del MAS
x=-14.7+A·sen(w t+j ) cm
v= Aw ·cos(w
t+j ) cm/s
Condiciones iniciales, en el instante t=0
-9.8=-14.7+A·senj
-154.6=Aw · cosj
j =165.5º=2.89 rad
A=19.56 cm
La ecuación del MAS es
x=-14.7+19.56·sen(8.16t+2.89) cm
- La posición más baja del conjunto formado por el bloque y la
plataforma se alcanza cuando 8.16t+2.89=3π/2, es decir en el
instante t2=0.22 s, y vale x2=-34.26
cm
- La posición más alta del conjunto formado por el bloque y la
plataforma se alcanza cuando 8.16t+2.89=3π/2+π, es decir en el
instante t3=0.61 s, y vale x3=4.86 cm
La posición más baja se vuelva a alcanzar en los
instantes t2+nP, siendo P el periodo de la
oscilación y n un número entero positivo. La posición más alta se
vuelva a alcanzar en los instantes t3+nP.
- Antes del choque
- El bloque de masa m está en reposo a una altura h=1 m
Ep=mgh
- La plataforma ha descendido ye
Ep=-Mg·ye
- El muelle está comprimido ye
- En el momento del choque
La energía potencial del bloque de masa m se ha transformado en energía
cinética
- El choque es inelástico, una parte de la energía se pierde
donde v0 es la velocidad del conjunto bloque-plataforma después del
choque.
- Después del choque la energía del sistema es
- Energía potencial del conjunto bloque–plataforma se encuentran a ye
por debajo del origen
Ep=-(M+m)g·ye
- Energía potencial elástica del muelle
En el ejemplo estudiado anteriormente
m=10 kg, M=20 kg, k=2000 N/m. La velocidad después del choque v0=1.546
m/s
y la posición en la que ocurre el choque era ye=0.098 m. La energía
total
las posiciones x para las cuales v=0, se obtienen de la ecuación
Esta ecuación de segundo grado nos da dos posiciones x=0.3425 m y x=-0.048.
La posición más baja está 34.25 cm por debajo del origen, y la más alta 4.8 cm por
encima del origen. Valores que obtuvimos en el apartado anterior.
- La suma de estas tres clases de energías se va a mantener constante, mientras el
sistema está oscilando, ya que el conjunto bloque-plataforma- muelle esta bajo la acción
de dos fuerzas conservativas, el peso y la fuerza que ejerce el muelle deformado.
Las fuerzas sobre el bloque y la plataforma son el peso
y la fuerza que ejerce el muelle. La segunda ley de Newton se escribe
ma=-kx-mg
(como x≤0, –kx≥0 es positiva, tal como se
muestra en la figura)
En forma de ecuación diferencial
La solución de esta ecuación diferencial es la suma de
la solución de la ecuación diferencial homogénea
x1=Asen(ωt)+Bcos(ωt)
donde A y B son constantes que se
determinan a partir de las condiciones iniciales
y de la solución particular
x2=C
introduciendo la solución particular en la ecuación
diferencial determinamos el valor de la constante C.
ω2C=-g
La solución de la ecuación diferencial completa es
x=x1+x2
Las condiciones iniciales son las siguientes: la
plataforma y el bloque parten en el instante t=0 de la posición x0=-ye
con velocidad v0. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas para determinar A y B.
La posición más baja y más alta del conjunto formado
por el bloque y la plataforma se alcanza en los
instante t2 y t3 cuando v=0,
y vale
Para obtener estas expresiones, se emplean las
relaciones trigonométricas,
-
como ωt2 es un ángulo del segundo
cuadrante, el seno es positivo y el coseno es negativo.
-
como ωt3 es un ángulo del
cuarto
cuadrante, el seno es negativo y el coseno es positivo.
Ejemplo:
Volvemos sobre el sistema formado por
- Un bloque de masa m=10 kg
- Una plataforma de masa M=20 kg
- Un muelle de constante elástica k=2000 N/m
El bloque se deja caer desde una altura de 1 m sobre el nivel del muelle
sin deformar, que tomamos como origen.
- Posición de equilibrio de la plataforma M
sobre el muelle de constante k.
20·9.8=2000·ye por lo que ye=9.8 cm
- La velocidad antes del choque del bloque
El bloque cae desde una altura de 1.098 m, su velocidad es
v1=4.64 m/s
- Choque del bloque con la plataforma
10·4.64=(10+20)·v0 por lo que v0=1.546
m/s ó 154.6 cm/s
-
Condiciones iniciales
t=0, x0=-0.098 m, v0=1.546
m/s, y
Con estos datos tenemos
La ecuación del movimiento es
x=-14.7-18.94·sen(8.16·t)+4.9·cos(8.16·t)
cm
-
La posición más baja del conjunto bloque-plataforma
se alcanza en el instante t2=0.22 s y vale x2=-34.26
cm
-
La posición más alta del conjunto bloque-plataforma
se alcanza en el instante t3=0.61 s y vale x3=4.86
cm
La posición más baja se vuelva a alcanzar en los
instantes t2+nP, siendo P el periodo de la
oscilación y n un número entero positivo. La posición más alta se
vuelva a alcanzar en los instantes t3+nP.
Se introduce:
- La masa de la plataforma en kg, en el control de edición titulado
Masa plataforma
- La masa del bloque en kg, en el control de edición titulado Masa
del bloque
- La constante elástica del muelle que soporta a la plataforma en N/m,
en el control de edición titulado Constante elástica.
- El bloque se deja caer desde la posición y= 1 m=100 cm.
Se pulsa el botón titulado Inicio, el programa verifica los datos introducidos
y si son correctos se pulsa a continuación, el botón titulado Empieza.
Cada vez que se realice un nueva "experiencia", se cambian los datos
y se pulsa el botón titulado Inicio.
Se sugiere emplear los botones titulados Paso y Pausa para detener el
programa en cualquier momento y para ejecutar el programa paso a paso. Primero, observaremos la caída del bloque, su choque contra la plataforma y finalmente,
el movimiento oscilatorio del conjunto bloque-plataforma y muelle.
A la derecha del applet, se representa la posición en función del tiempo del bloque y
la plataforma cuando empiezan a oscilar. Podemos medir, la amplitud, el periodo y apreciar
la fase inicial.
En la parte superior del applet, se representa la energía del sistema, el nivel cero
de energía potencial se ha situado en la base del muelle elástico, 50 cm por debajo del
origen. De este modo, las energías potenciales son siempre positivas, y se puede apreciar
visualmente las transformaciones entre los distintos tipos de energía, así como la
pérdida de energía en el momento del choque.
- La energía del bloque y de la plataforma se representa en forma de una barra de dos
colores, la parte roja representa la energía potencial y la parte azul la energía
cinética. La longitud de la barra representa la energía total de la partícula.
- La barra de color verde representa la energía potencial elástica del muelle.
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Choque entre una
partícula y un bloque
unido a un muelle