Dinámica |
Colisiones Carro que dispara un proyectil Caída libre y sucesivos rebotes Choque de dos esferas iguales Choques frontales Choques frontales elásticos Choques elásticos en un carril Choques frontales verticales Choque inelástico de duración finita Péndulo balístico No se conserva el momento lineal Choque entre una partícula y un bloque unido a un muelle
Choques bidimen sionales Conservación del momento lineal |
Choque de la bala y el bloque | |||||
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Para medir la velocidad de una bala hemos se emplea un péndulo balístico. En esta página, se plantea una alternativa, que consiste en medir la máxima deformación que experimenta un muelle, cuando una bala choca con un bloque unido al muelle elástico. Estudiaremos el movimiento del conjunto formado por el bloque y la bala después del choque, suponiendo que el bloque no está sujeto al muelle.
En el capítulo oscilaciones, supondremos que el bloque está sujeto al muelle y estudiaremos las oscilaciones amortiguadas por una fuerza de rozamiento constante en módulo.
Choque de la bala y el bloqueConsideramos que el sistema formado por la bala y el bloque es aislado en el momento del choque, por lo que aplicamos el principio de conservación del momento lineal para obtener la velocidad v0 inmediatamente después del choque del sistema formado por el bloque y la bala que se incrustado en él.
Si M es la masa del bloque, m la masa de la bala y u su velocidad, dicho principio se escribe mu=(m+M)v0 La energía perdida en el choque es
Estudio energético del sistema después del choqueSupondremos que entre el bloque y el plano horizontal sobre el que desliza hay rozamiento cuyo coeficiente estático es μs y dinámico μk. La energía cinética del cuerpo de masa (m+M) formado por la bala y el bloque, después del choque se trasforma en trabajo de la fuerza de rozamiento y en energía potencial del muelle deformado. Las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo son:
Movimiento del cuerpo hacia la derecha
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial del sistema
La máxima deformación del muelle xm se produce cuando v=0.
Midiendo xm despejamos la velocidad u de la bala antes del choque Si conocemos la velocidad u de la bala antes del choque, resolvemos la ecuación de segundo grado en xm y tomamos la raíz positiva. Si definimos el parámetro ω2=k/(m+M), Para calcular xm resolvemos la ecuación de segundo grado
El móvil parte de xm con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que kxm≥ μs(m+M)g, en caso contrario la posición xm será la posición final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.
Movimiento del cuerpo hacia la izquierda
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial del sistema
Pueden ocurrir dos casos:
El bloque deja de estar en contacto con el muelle
Si el bloque no está sujeto al muelle, el cuerpo formado por el bloque y la bala continúan moviéndose hacia la izquierda hasta que la energía cinética se convierte integramente en trabajo de la fuerza de rozamiento
Ejemplo 1:
Choque de la bala y el bloque La velocidad del cuerpo formado por la bala y el bloque después del choque es 0.2·10=(0.2+1)·v0, v0=5/3 m/s El cuerpo se mueve hacia la derecha La energía cinética inicial de dicho cuerpo, se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento, y en energía potencial de deformación del muelle
Despejamos xm en esta ecuación de segundo grado, xm=0.268 m=26.8 cm En esta posición xm:
El cuerpo se mueve hacia la izquierda Comprobamos si la energía potencial elástica es suficiente para llevar el cuerpo al origen
Se para antes de llegar al origen, parte de la energía potencial elástica se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento. Despejamos xf en la ecuación de segundo grado
xf=0.084=8.4 cm Ejemplo 2:
Choque de la bala y el bloque La velocidad del cuerpo formado por la bala y el bloque después del choque es 0.2·10=(0.2+1)·v0, v0=5/3 m/s El cuerpo se mueve hacia la derecha La energía cinética inicial de dicho cuerpo, se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento, y en energía potencial de deformación del muelle
Despejamos xm en esta ecuación de segundo grado, xm=0.354 m=34.5 cm En esta posición:
El cuerpo se mueve hacia la izquierda Comprobamos si la energía potencial elástica es suficiente para llevar el cuerpo al origen
Llega al origen con velocidad no nula, la energía potencial elástica se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento y en energía cinética de dicho cuerpo.
Despejamos vf =1.18 m/s hacia la izquierda El bloque deja de estar en contacto con el muelle El bloque deja de tener contacto con el muelle, y el cuerpo se mueve hacia la izquierda del origen hasta que se para. La energía cinética se convierte integramente en trabajo de la fuerza de rozamiento
|x|=0.710 m, x=-7.10 cm
Ecuaciones del movimientoDespués del choque, la bala y el bloque forman un cuerpo de masa (M+m) que se mueve hacia la derecha con velocidad inicial v0, bajo la acción de las siguientes fuerzas:
Escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuación diferencial
con ω2=k/(m+M) Las ecuaciones del movimiento nos recuerdan la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional ±μkg La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C) en la ecuación diferencial ω2C=±μkg, C=±μkg/ω2 La solución completa de cada una de las ecuaciones diferenciales es
En ambos casos, la velocidad del conjunto bala-bloque es
Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales
El móvil parte de xm con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que kxm≥ μs(m+M)g, en caso contrario la posición xm será la posición final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.
Ejemplo 1:
Choque de la bala y el bloque La velocidad del cuerpo formado por el bloque y la bala después del choque es 0.2·10=(0.2+1)·v0, v0=5/3 m/s El cuerpo se mueve hacia la derecha La frecuencia angular
La posición y velocidad de dicho cuerpo en función del tiempo t son
El máximo desplazamiento xm se produce cuando la velocidad es nula v=0, en el instante t tal que
En esta posición, xm
El cuerpo se mueve hacia la izquierda Como ω2xm<2μkg es decir, 4.082·0.268<2·0.3·9.8, el móvil se para antes de llegar al origen, en el instante ωt=π, tf=0.77 s, cuando se encuentra en la posición xf.
Ejemplo 2:
Choque de la bala y el bloque La velocidad del cuerpo formado por el bloque y la bala del choque es 0.2·10=(0.2+1)·v0, v0=5/3 m/s El cuerpo se mueve hacia la derecha La frecuencia angular
La posición y velocidad de dicho cuerpo en función del tiempo t son
El máximo desplazamiento xm se produce cuando la velocidad es nula v=0, en el instante t tal que
En esta posición, xm
El cuerpo se mueve hacia la izquierda Como ω2xm>2μkg es decir, 4.082·0.354 >2·0.1·9.8, el móvil cruza el origen, en el instante
La velocidad del cuerpo cuando pasa por el origen es
El muelle deja de actuar sobre el bloque as ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado del cuerpo son v=vf+μkgt=-1.18+0.1·9.8·t En el instante t=1.20 s se para el móvil en la posición x=-0.710 m= -7.10 cm
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento de la bala antes del choque, y del cuerpo formado por la bala y el bloque después del choque. En la parte superior del applet, se proporciona los datos relativos, al tiempo total, tt, el tiempo parcial t en segundos, la posición x en cm y la velocidad v de la bala en m/s, y la energía del sistema formado por la bala, el bloque y el muelle, en cada instante. Se dibujan mediante fechas las fuerzas sobre el cuerpo formado por el bloque y la bala después del choque. |
Medida de la veloci-
dad de una bala 
