La aceleración de la gravedad

Una nave espacial de radio R describe un movimiento de rotación alrededor de su eje con velocidad angular constante ω. 

Un objeto de masa m situado en la pared de la nave experimenta una fuerza centrípeta

F=mω²R

La aceleración de la gravedad artificial es la fuerza por unidad de masa en dicho punto.

a=F/m=ω²R

Un astronauta de altura h experimenta distintas aceleraciones, ya que la cabeza está más cerca del eje de rotación que los pies.

• La aceleración de la cabeza es a_c= ω²(R-h)

• La aceleración de los pies es a_p= ω²R

El cociente entre ambas aceleraciones es

${\displaystyle \frac{a_c}{a_p}=\frac{R-h}{R}}$

Para que el astronauta no note la diferencia de aceleraciones a lo largo de su cuerpo, a_p y a_c deben de ser casi iguales. Por ejemplo, si a_c=0.99·a_p, para un astronauta de que mida h=2 m, el radio R de la nave deberá ser de 200 m.

"Caída" de los cuerpos

Los cuerpos “caen” de forma distinta en la nave espacial en rotación que en la superficie de la Tierra.

Supongamos que un cuerpo se libera a una altura h o bien, a una distancia r=R-h del eje de rotación. La posición inicial del objeto en el Sistema de Referencia Inercial OXY es

x₀=r
y₀=0

El cuerpo se mueve en línea recta con velocidad constante ω·r, en la dirección tangente a la circunferencia que describe, tal como se muestra en la figura. Las sucesivas posiciones del cuerpo son

x= r
y=ω·r·t

El cuerpo choca con la pared de la nave en el instante en el que se cumple que

x²+y²=R²

Despejamos el tiempo t que tarda en llegar el cuerpo al “suelo”

${\displaystyle t=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{R^2}{r^2}-1}t=\frac{\sqrt{h(2R-h)}}{\omega (R-h)}}$

La posición angular del cuerpo cuando llega al “suelo” es θ_c=arctan(y/x)=arctan(ωt)

${\displaystyle {\theta }_c=\arctan \frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R-h}}$

Mientras el cuerpo se mueve, el astronauta en reposo sobre la nave, gira. Su posición angular en el instante t es

${\displaystyle {\theta }_a=\omega t=\frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R-h}}$

Ambas posiciones no coinciden, la diferencia es

${\displaystyle \Delta \theta =\frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R-h}-\arctan \frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R-h}}$

Ejemplo

• ω=5rpm=5·2·π/60= π/6 rad/s
• h=2 m
• R=10 m.

El tiempo que tarda en llegar el cuerpo al “suelo” es

${\displaystyle t=\frac{\sqrt{2(2·10-2)}}{\frac{\pi }{6}(10-2)}=1.43\text{s}}$

La diferencia entre las posiciones angulares del astronauta y del cuerpo es

${\displaystyle \Delta \theta =\frac{\sqrt{2(2·10-2)}}{10-2}-\arctan \frac{\sqrt{2(2·10-2)}}{10-2}=0.11\text{ rad}=\text{6}\text{.1º}}$

El lector puede probar a acertar, cuál deberá ser la altura h del objeto, para que éste caiga a los pies del astronauta, es decir Δθ=2π.

Actividades

Se introduce

• La velocidad angular de rotación ω, en rpm (revoluciones por minuto), en el control titulado Velocidad angular.

• La posición R-h del cuerpo, en el control titulado Posición

• El radio de la nave espacial se ha fijado en R=10 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación   ►  

El astronauta se representa por un segmento de color azul que está en reposo sobre la nave, por tanto, gira con la misma velocidad angular ω.

Se pulsa el botón titulado Lanza

El cuerpo se deja “caer” desde la altura h, describiendo un movimiento rectilíneo uniforme hasta que choca con el “suelo”.

Un cuerpo se lanza hacia "arriba" desde el "suelo" de la nave espacial en movimiento de rotación

Sea una nave cilíndrica de radio R, que gira alrededor de su eje con velocidad angular constante ω.

Sistema de Referencia de la Nave espacial

Se lanza un objeto mediante un dispositivo situado en el “suelo” de la nave con una velocidad v_p haciendo un ángulo φ con la dirección radial tal como se muestra en la figura.

Este objeto puede ser una pelota que lanza un astronauta desde el “suelo” de la nave espacial.

Sistema de Referencia Inercial

Desde el punto de vista del observador inercial, la velocidad del objeto $\overrightarrow{v}$ es la suma vectorial $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_p+{\overrightarrow{v}}_n$ donde ${\overrightarrow{v}}_n$ es la velocidad del dispositivo, cuya dirección es tangencial y cuyo módulo es v_n=ωR

El módulo v del vector resultante y el ángulo β que forma con la dirección radial Y es

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \beta =\frac{v_p\sin \phi -v_n}{v_p\text{cos}\phi }\\ v=\sqrt{v_p^2+v_n^2-2v_p{v}_n\sin \phi }\end{array}}$

El objeto es lanzado desde la posición x₀, y₀ en el instante t=0

x₀=R·cosθ
y₀=R·sinθ

describe un movimiento rectilíneo y uniforme.

x= R·cosθ-v·cos(θ+β)·t
y= R·sinθ-v·sin(θ+β)·t

La trayectoria es la cuerda que une el punto de lanzamiento (x₀, y₀) y el punto (x, y) de impacto en el “suelo” de la nave espacial. El punto de lanzamiento, el centro de la circunferencia y el punto de impacto, forman un triángulo isósceles. La distancia entre el punto de lanzamiento y de impacto es 2Rcosβ, y el tiempo t de vuelo es

${\displaystyle t=\frac{2R\cos \beta }{v}}$

Tirando hacia "arriba" en dirección radial

Sistema de Referencia Inercial

Cuando el objeto sigue la dirección radial β=0 (hacia “arriba”) es posible que impacte en el dispositivo que lo lanzó. Por ejemplo, si un astronauta lanza una pelota hacia “arriba”, es posible que el mismo astronauta la recoja con la mano.

Para ello, se tiene que cumplir que el tiempo que tarda el objeto en atravesar la nave espacial

${\displaystyle t=\frac{2R}{v}}$

sea igual al tiempo que emplea el dispositivo lanzador en girar π radianes ó180º

${\displaystyle t=\frac{\pi }{\omega }}$

El objeto deberá atravesar la nave espacial en dirección radial, con una velocidad v dada por

${\displaystyle v=\frac{2R\omega }{\pi }}$

Sistema de Referencia de la Nave espacial

El ángulo de tiro φ, medido respecto de la dirección radial y la velocidad v_p con la que se tiene que lanzar el objeto, se calculan resolviendo el triángulo rectángulo de la figura.

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \phi =\frac{\omega R}{v}=\frac{\pi }{2}\phi =57.5º\\ v_p=\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2}\end{array}}$

En general, para que el objeto impacte en el dispositivo lanzador, el tiempo que tarda el objeto en atravesar la nave espacial t=2R/v deberá ser igual al tiempo que tarda el dispositivo en girar 1½, 2½,… n+½ vueltas

${\displaystyle t=\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)2\pi }{\omega }v=\frac{R\omega }{\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi }}$

El ángulo de tiro y la velocidad de lanzamiento del objeto v_p serán

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \phi =\frac{R\omega }{v}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi \\ v_p=\sqrt{v^2+{\omega }^2{R}^2}\end{array}}$

A medida que n aumenta, φ se aproxima a π/2, y v tiende a cero. El objeto permanecerá en reposo para un observador inercial. Por ejemplo, el astronauta se encontrará con la pelota después de dar una vuelta completa.

Ejemplo

• Radio de la nave espacial R=10 m
• Velocidad angular de giro ω=1 rad/s

1. Cuando el dispositivo lanzador gira n=0, media vuelta después de haber lanzado el objeto.

El ángulo de tiro ya se ha calculado, φ=57.5º

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_n=\omega R=10\text{m/s }v=\frac{20}{\pi }\text{m/s}\\ v_p=\sqrt{\frac{{20}^2}{{\pi }^2}+{10}^2}=11.85\text{m/s}\end{array}}$

2. Cuando n=1, el dispositivo lanzador gira vuelta y media después de haber lanzado el objeto.

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \phi =\frac{3\pi }{2}\phi =\text{78}\text{.0º}\\ v_p=\sqrt{\frac{{20}^2}{3^2{\pi }^2}+{10}^2}{v}_p=10.22\text{m/s}\end{array}}$

Tiro oblicuo

Sistema de Referencia Inercial

Como vemos en la figura, para que el objeto impacte en el dispositivo lanzador, se tiene que cumplir que el tiempo que invierte el objeto en recorrer la cuerda que une el punto de lanzamiento y de impacto sea igual al que invierte el lanzador en recorrer el arco de ángulo π+2β.

${\displaystyle \frac{2R\cos \beta }{v}=\frac{\pi +2\beta }{\omega }v=\frac{2\omega R\cos \beta }{\pi +2\beta }}$

o bien, en general

${\displaystyle v=\frac{2\omega R\cos \beta }{\left(n+\frac{1}{2}\right)2\pi +2\beta }n=\text{0}\text{, 1}\text{, 2}\mathrm{...}}$

Sistema de Referencia de la Nave espacial

La velocidad de lanzamiento v_p y el ángulo de tiro φ medido respecto de la dirección radial se calculan hallando la diferencia de vectores ${\overrightarrow{v}}_p=\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_n$

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \phi =\frac{v\sin \beta +v_n}{v\text{cos}\beta }\\ v_p=\sqrt{v^2+v_n^2+2v{v}_n\sin \beta }\end{array}}$

Ejemplo

• Lanzamiento respecto al Sistema de Referencia Inercial

Sea β=30º

Para que el objeto impacte en el dispositivo lanzador al completar algo más de media vuelta n=0, la velocidad v deberá ser

${\displaystyle v=\frac{2·1·10·\cos 30}{\pi +2·\pi /6}=\text{4}\text{.14}\text{m/s }}$

• Lanzamiento respecto del Sistema de Referencia de la Nave espacial

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan \phi =\frac{4.14·\sin \text{30}+1·10}{4.14·\text{cos30}}\phi =73.5º\\ v_p=\sqrt{{4.14}^2+{10}^2+2·4.14·10·\sin \text{30}}=12.59\text{m/s}\end{array}}$

Actividades

Se introduce

• La velocidad de lanzamiento v_p del objeto desde el "suelo" de la nave espacial, en el control titulado Velocidad.

• El ángulo φ que forma la dirección de dicha velocidad con la dirección "vertical" (o radial) en el control de titulado Ángulo

• El radio R de la nave espacial se ha fijado en R=10 m

• La velocidad angular de rotación se ha fijado en ω=1 rad/s

Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuacion, ►

• El dispositivo lanzador, se representa mediante un pequeño círculo de color azul

• El objeto lanzado, se representa mediante un círculo más pequeño de color rojo.

Se pulsa el botón titulado Lanza y se observa el movimiento del objeto, y se representa la trayectoria rectilínea que sigue, mientras atraviesa la nave, hasta que impacta en el "suelo"

Fijada la velocidad de lanzamiento v_p, cambiaremos el ángulo de tiro φ hasta conseguir que el objeto impacte en el dispositivo lanzador.

Referencias

Fisher N. Space science 2001: some problems with artificial gravity. Physics Education 36 (3) May 2001, pp. 193-201

Paetkau M., Tossing on a rotating space station. The Physics Teacher, 42, October 2004, pp. 423-426