Magnitudes cinemáticas

En esta sección, vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo.

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Posición angular, θ

En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo θ, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.

El ángulo θ, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, θ=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular, ω

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo θ. El móvil se habrá desplazado Δθ=θ'-θ en el intervalo de tiempo Δt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

${\displaystyle <\omega >=\frac{\Delta \theta }{\Delta t}}$

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

${\displaystyle \omega =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \theta }{\Delta t}=\frac{d\theta }{dt}}$

Aceleración angular, α

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es ω y en el instante t' la velocidad angular del móvil es ω'. La velocidad angular del móvil ha cambiado Δω=ω'-ω en el intervalo de tiempo Δt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

${\displaystyle <\alpha >=\frac{\Delta \omega }{\Delta t}}$

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

${\displaystyle \alpha =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\frac{d\omega }{dt}}$

Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular

Conocida la velocidad angular del móvil, calculamos su desplazamiento θ-θ₀ entre los instantes t₀ y t, mediante la integral definida.

${\displaystyle \theta -{\theta }_0={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\omega dt}}$

El producto ω·dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t₀ y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t₀ y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

Hallamos la posición angular θ  del móvil en el instante t, sumando la posición inicial θ₀ al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva ω-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t₀ y t, a partir de un registro de la velocidad angular ω en función del tiempo t, calculamos el cambio de velocidad ω-ω₀ que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

${\displaystyle \omega -{\omega }_0={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\alpha dt}}$

En la figura, el cambio de velocidad ω-ω₀ es el área bajo la curva α- t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad angular ω-ω₀, y el valor inicial ω₀ en el instante inicial t₀, calculamos la velocidad angular ω en el instante t.

${\displaystyle \begin{array}{l}\omega =\frac{d\theta }{dt}\alpha =\frac{d\omega }{dt}\\ \theta -{\theta }_0={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\omega dt}\omega -{\omega }_0={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\alpha dt}\end{array}}$

Casos particulares

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular ω es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular θ del móvil en el instante t es

θ-θ₀=ω(t-t₀)

o el área, en la representación gráfica de ω en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

${\displaystyle \alpha =0\omega =\text{cte}\theta ={\theta }_0+\omega t}$

Movimiento circular uniformemente acelerado

Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración α es constante.

Dada la aceleración angular obtenemos el cambio de velocidad angular ω-ω₀ entre los instantes t₀ y t

${\displaystyle \omega -{\omega }_0=\alpha (t-t_0)}$

Dada la velocidad angular ω en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento θ-θ₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

${\displaystyle \theta -{\theta }_0={\omega }_0(t-t_0)+\frac{1}{2}\alpha {(t-t_0)}^2}$

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

${\displaystyle \alpha =\text{cte}\omega ={\omega }_{\text{0}}+\alpha t\theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2}$

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación  y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ₀

${\displaystyle {\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha (\theta -{\theta }_0)}$

Encuentros de dos vehículos en una pista circular

Dos móviles describen una trayectoria circular en el mismo sentido. El primer móvil parte del origen, inicialmente en reposo, con aceleración angular constante de 2 rad/s²; el segundo móvil parte de la posición π/2 rad y está animado de un movimiento uniforme con velocidad constante de 120 r.p.m. Determinar el instante y la posición de encuentro por primera vez de ambos móviles.

Ecuaciones del movimiento de A: movimiento circular uniforme. El móvil sale del origen en el instante t=0.

${\displaystyle {\alpha }_A=2{\omega }_A=2t{\theta }_A=\frac{1}{2}2t^2}$

Ecuaciones del movimiento de B: movimiento uniformemente acelerado. El móvil sale de la posición π/2 en el instante t=0 s.

${\displaystyle {\alpha }_B=0{\omega }_B=4\pi {\theta }_B=\frac{\pi }{2}+4\pi t}$

Examinemos en un cuadro la posición de los dos móviles en función del tiempo

Tal como apreciamos en la tabla de las posiciones de los móviles A y B en función del tiempo, el móvil B pasa al móvil A entre los instantes 0.3 y 0.4 s. El momento del primer encuentro será un instante de dicho intervalo que vamos a calcular.

La relación que existe entre las posiciones del móvil A y del móvil B, tal como vemos en la tabla es

${\displaystyle \begin{array}{l}{\theta }_A+2\pi ={\theta }_B\\ t^2+2\pi =\frac{\pi }{2}+4\pi t\end{array}}$

Las raíces de la ecuación de segundo grado son 0.387, 12.18. El instante del primer encuentro es t=0.387 s

Encuentros en general

Los encuentros no solamente se obtienen igualando las posiciones de ambos móviles θ_A=θ _B, sino también y por ser la trayectoria circular, aquellas cuya posición se diferencia en una circunferencia completa.

Ecuaciones del movimiento del primer cuerpo

${\displaystyle \begin{array}{l}{\omega }_1={\omega }_{01}+{\alpha }_{1}t\\ {\theta }_1={\theta }_{01}+{\omega }_{01}t+\frac{1}{2}{\alpha }_1{t}^2\end{array}}$

Ecuaciones del segundo cuerpo

${\displaystyle \begin{array}{l}{\omega }_2={\omega }_{02}+{\alpha }_2(t-t_0)\\ {\theta }_2={\theta }_{02}+{\omega }_{02}(t-t_0)+\frac{1}{2}{\alpha }_1{\left(t-t_0\right)}^2\end{array}}$

donde t₀ es el tiempo que tarda el segundo móvil en iniciar el movimiento

En los controles de este programa interactivo no solamente se pueden introducir números, sino también fracciones del número π. Por ejemplo si la velocidad de un móvil es:

• π/2, se introduce pi/2.
• 3π/2, introducimos 3*pi/2.
• π, introducimos pi.

El programa convierte el texto en un número decimal de doble precisión.

Se introduce

• El intervalo de tiempo entre dos posiciones consecutivas de cada uno de los móviles.
• El tiempo t₀, en el control titulado tiempo de retraso

Para el primer móvil (color rojo)

• La posición angular inicial θ₀₁ de partida en el instante t=0, en el control titulado posición
• La velocidad angular inicial ω₀₁ en el instante t=0, en el control titulado velocidad
• La aceleración angular α₁, en el control titulado aceleración

Para el segundo móvil (color azul)

• La posición angular inicial θ₀₂ de partida en el instante t=t₀, en el control titulado posición
• La velocidad angular inicial ω₀₂ en el instante t=t₀, en el control titulado velocidad
• La aceleración angular α₂, en el control titulado aceleración

Se pulsa el botón pausa || cuando los dos móviles están próximos a encontrarse por primera vez. A continuación, se pulsa repetidamente el botón paso a paso >| hasta que se encuentran.

Problema

Dos vehículos describen la misma trayectoria circular. El primero, está animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es 60 r.p.m., el segundo está animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale -π/6 rad/s². Sabiendo que en el instante inicial el primer móvil pasa por A, y dos segundos más tarde el segundo móvil pasa por B, llevando una velocidad angular de 120 r.p.m. Calcular:

• El instante en el que los móviles se encuentran por primera vez

Veamos el movimiento antes de plantear la solución del problema

Ecuaciones del movimiento de A: movimiento circular uniforme

El móvil sale del origen en el instante t=0.

${\displaystyle {\alpha }_A=0{\omega }_A=2\pi {\theta }_A=2\pi t}$

Ecuaciones del movimiento de B: movimiento uniformemente acelerado

El móvil sale de la posición π/2 en el instante t=2s.

${\displaystyle \begin{array}{l}{\alpha }_B=-\frac{\pi }{6}{\omega }_B=4\pi +\left(-\frac{\pi }{6}\right)\left(t-2\right)\\ {\theta }_B=\frac{\pi }{2}+4\pi \left(t-2\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi }{6}\right){\left(t-2\right)}^2\end{array}}$

Encuentros

Los encuentros no solamente se obtienen igualando las posiciones de ambos móviles θ_A=θ _B, sino también y por ser la trayectoria circular, aquellas cuya posición se diferencia en una circunferencia completa.

θ_A+2kπ=θ_B con k=0, ± 1, ± 2, ± 3...

Examinemos en un cuadro la posición de los dos móviles en función del tiempo

Tal como apreciamos en la tabla de las posiciones de los móviles A y B en función del tiempo, el móvil B pasa al móvil A entre los instantes 2.7 y 2.8. El momento en el que se produce el primer encuentro será un instante t a determinar en el intervalo de tiempo comprendido entre 2.7 y 2.8 s.

La relación que existe entre las posiciones del móvil A y del móvil B, tal como vemos en la tabla es

${\displaystyle \begin{array}{l}{\theta }_A-2\pi ={\theta }_B\\ 2\pi t-2\pi =\frac{\pi }{2}+4\pi \left(t-2\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi }{6}\right){\left(t-2\right)}^2\end{array}}$

Despejando el tiempo t en la ecuación de segundo grado, obtenemos el instante del primer encuentro t=2.77 s.

Introduciendo t en la ecuación de la posición de A y de B obtenemos la posición de los móviles en el instante del encuentro

θ_A=5.56π rad
θ_B=3.56π rad