Movimiento rectilíneo

Magnitudes cinemáticas

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se relaciona con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Δx=x'-x en el intervalo de tiempo Δt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

<v>= x'x t't = Δx Δt

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Δt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Δt tiende a cero.

v= lim Δt0 Δx Δt = dx dt

Que es la definición de derivada de la función x con respecto del tiempo t.

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Δv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Δt=t'-t.

<a>= v'v t't = Δv Δt

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Δt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

a= lim Δt0 Δv Δt = dv dt

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de

v= dx dt =6 t 2 8tm/s a= dv dt =12t8 m/s 2

>> syms t;
>> x=2*t^3-4*t^2+5;
>> v=diff(x,t)
v =6*t^2 - 8*t
>> a=diff(v,t)
a =12*t - 8
>> a=diff(x,2)
a =12*t - 8	

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento

Si conocemos un registro de la velocidad, calculamos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

x x 0 = t 0 t vdt

El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.

Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

x4= 2 t ( t 3 4 t 2 +5)dt x= 1 4 t 4 4 3 t 3 +5t+ 2 3 m

>> syms t;
>> v=t^3-4*t^2+5;
>> x=int(v,2,t)+4
x =t*(t^2*(t/4 - 4/3) + 5) + 2/3
>> expand(x)
ans =t^4/4 - (4*t^3)/3 + 5*t + 2/3

Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad

Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, calculamos el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.

v v 0 = t 0 t adt

En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, calcula la velocidad v en el instante t.

Ejemplo:

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante

v2= 3 t (4 t 2 )dt v=4t 1 3 t 3 1m/s

>> syms t;
>> a=4-t^2;
>> v=int(a,3,t)+2
v =- t^3/3 + 4*t - 1	

Resumen

Las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son

v= dx dt x x 0 = t 0 t v·dt a= dv dt v v 0 = t 0 t a·dt

Casos particulares

Movimiento rectilíneo uniforme

Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. Calculamos la posición x del móvil en el instante t, integrando

x x 0 =v( t t 0 )

o gráficamente, en la representación de v en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

a=0 v=cte x= x 0 +vt

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración, obtenemos el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

v v 0 =a( t t 0 )

Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

x x 0 = v 0 ( t t 0 )+ 1 2 a ( t t 0 ) 2

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado serín las siguientes:

a=cte v= v 0 +at x= x 0 + v 0 t+ 1 2 a t 2

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación  y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0

v 2 = v 0 2 +2a(x x 0 )