Magnitudes cinemáticas

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se relaciona con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Δx=x'-x en el intervalo de tiempo Δt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

${\displaystyle <v>=\frac{x\text{'}-x}{t\text{'}-t}=\frac{\Delta x}{\Delta t}}$

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Δt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Δt tiende a cero.

${\displaystyle v=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}}$

Que es la definición de derivada de la función x con respecto del tiempo t.

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Δv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Δt=t'-t.

${\displaystyle <a>=\frac{v\text{'}-v}{t\text{'}-t}=\frac{\Delta v}{\Delta t}}$

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Δt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

${\displaystyle a=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}}$

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t³-4t²+5 m. Hallar la expresión de

• La velocidad
• La aceleración del móvil en función del tiempo.

${\displaystyle \begin{array}{l}v=\frac{dx}{dt}=6t^2-8t\text{m/s}\\ a=\frac{dv}{dt}=12t-8{\text{m/s}}^{\text{2}}\end{array}}$

>> syms t;
>> x=2*t^3-4*t^2+5;
>> v=diff(x,t)
v =6*t^2 - 8*t
>> a=diff(v,t)
a =12*t - 8
>> a=diff(x,2)
a =12*t - 8	

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento

Si conocemos un registro de la velocidad, calculamos el desplazamiento x-x₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, mediante la integral definida.

${\displaystyle x-x_0=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}v\cdot dt}$

El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t₀ y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t₀ y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.

Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x₀ al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t³-4t² +5 m/s. Si en el instante t₀=2 s. está situado en x₀=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

${\displaystyle \begin{array}{l}x-4=\underset{2}{\overset{t}{\int }}(t^3-4t^2+5)dt\\ x=\frac{1}{4}{t}^4-\frac{4}{3}{t}^3+5t+\frac{2}{3}\text{m}\end{array}}$

>> syms t;
>> v=t^3-4*t^2+5;
>> x=int(v,2,t)+4
x =t*(t^2*(t/4 - 4/3) + 5) + 2/3
>> expand(x)
ans =t^4/4 - (4*t^3)/3 + 5*t + 2/3

Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad

Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t₀ y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, calculamos el cambio de velocidad v-v₀ que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.

${\displaystyle v-v_0=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}a\cdot dt}$

En la figura, el cambio de velocidad v-v₀ es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad v-v₀, y el valor inicial v₀ en el instante t₀, calcula la velocidad v en el instante t.

Ejemplo:

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t² m/s². Sabiendo que en el instante t₀=3 s, la velocidad del móvil vale v₀=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante

${\displaystyle \begin{array}{l}v-2=\underset{3}{\overset{t}{\int }}(4-t^2)dt\\ v=4t-\frac{1}{3}{t}^3-1\text{m/s}\end{array}}$

>> syms t;
>> a=4-t^2;
>> v=int(a,3,t)+2
v =- t^3/3 + 4*t - 1	

Resumen

Las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son

${\displaystyle \begin{array}{l}v=\frac{dx}{dt}x-x_0=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}v·dt\\ a=\frac{dv}{dt}v-v_0=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}a·dt\end{array}}$

Ejemplo

Un ejemplo de movimiento rectilíneo interesante es aquél que describe un móvil que parte del reposo, acelera y se detiene. Se representa, aproximadamente, por la función x(t)=A·tanh(mt-n)

${\displaystyle \begin{array}{l}x(t)=A\tanh \left(mt-n\right)\\ v(t)=\frac{dx}{dt}=Am\frac{1}{{\cosh }^2\left(mt-n\right)}\\ a(t)=\frac{dv}{dt}=-2A{m}^2\frac{\tanh \left(mt-n\right)}{{\cosh }^2\left(mt-n\right)}\end{array}}$

A=1;
m=1;
n=3;

subplot(2,2,1)
fplot(@(t) A*tanh(m*t-n),[0,6])
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('x (m)')

subplot(2,2,2)
fplot(@(t) A*m./cosh(m*t-n).^2,[0,6])
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('v (m/s)')

subplot(2,2,3)
fplot(@(t) -2*A*m^2*tanh(m*t-n)./cosh(m*t-n).^2,[0,6])
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('a (m/s^2)')

El móvil parte de las proximidades de x=-1 (-0.9951) con velocidad muy pequeña v=0.0099 y llega en el instante t=6, cerca de x=1 (0.9951) con la misma velocidad

Casos particulares

Movimiento rectilíneo uniforme

Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. Calculamos la posición x del móvil en el instante t, integrando

${\displaystyle x-x_0=v\cdot \left(t-t_0\right)}$

o gráficamente, en la representación de v en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

${\displaystyle \begin{array}{l}a=0\\ v=\text{cte}\\ x=x_0+v\cdot t\end{array}}$

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración, obtenemos el cambio de velocidad v-v₀ entre los instantes t₀ y t, mediante integración, o gráficamente.

${\displaystyle v-v_0=a\cdot \left(t-t_0\right)}$

Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

${\displaystyle x-x_0=v_0\cdot \left(t-t_0\right)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(t-t_0\right)}^2}$

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero, las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado serín las siguientes:

${\displaystyle \begin{array}{l}a=\text{cte}\\ v=v_0+a\cdot t\\ x=x_{\text{0}}+v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\end{array}}$

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación  y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x₀

${\displaystyle v^2=v_0^2+2a(x-x_0)}$