Movimiento relativo de rotación uniforme

Las fórmulas que relacionan la velocidad v ' y de la aceleración a ' medidas en el sistema no inercial con la velocidad v y aceleración a medidas en el sistema inercial son las siguientes

v '= v ω × r a '= a 2 ω × v ' ω ×( ω × r )

Su justificación la encontramos en algunos libros de texto

El dispositivo experimental consiste en un carrito que se mueve por una vía rectilínea con velocidad constante v, sobre una plataforma en rotación que gira con velocidad angular constante ω. El carrito dispone de un rotulador, o de un pequeño depósito de tinta, de modo que dibuja su trayectoria rectilínea en el Sistema de Referencia del laboratorio, sobre la plataforma en rotación.

Movimiento rectilíneo y uniforme

Vector posición

Una partícula P se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante v, sabiendo que en el instante inicial t=0, se encuentra en la posición x0, determinar la trayectoria en el sistema no inercial que gira con velocidad angular constante ω en el sentido de las agujas del reloj.

Sistema inercial

La posición de la partícula P en función del tiempo es

x=x0+vt
y=
0.

El vector posición es r =x i ^

La trayectoria de la partícula es rectilínea

Sistema no inercial

x’=x·cos(ω·t)
y’=x·sin(ω·t)

El vector posición es

r =xcos(ωt) i ^ '+xsin(ωt) j ^ '

Si la partícula parte del origen en el instante t=0, x=v·t. La distancia r de la partícula al origen en el instante t es

r= v 2 t 2 cos 2 (ωt)+ v 2 t 2 sin 2 (ωt) =vt

El ángulo girado por el sistema no inercial al cabo de un cierto tiempo t es θ=ω·t

x0=0;
v=0.1; %velocidad de la partícula
w=2; %velocidad angular de rotación

x=@(t) (x0+v*t).*cos(w*t);
y=@(t) (x0+v*t).*sin(w*t);
fplot(x,y,[0,10])
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Movimiento relativo de rotación uniforme')

La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es una espiral de Arquímedes

r= v ω θ

La partícula sale de la posición x0=-1, se mueve con velocidad v=1/π. Cuando la velocidad angular ω=2, la trayectoria es

x0=-1; %posición inicial
v=1/pi; %velocidad de la partícula
w=2; %velocidad angular de rotación, probar 1,3,4

x=@(t) (x0+v*t).*cos(w*t);
y=@(t) (x0+v*t).*sin(w*t);
fplot(x,y,[0,2*pi])
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Movimiento relativo de rotación uniforme')

Vector velocidad

Sistema inercial

La velocidad v de la partícula P es constante v =v i ^

Sistema no inercial

Derivando respecto del tiempo obtenemos la velocidad de la partícula medida en el sistema no inercial

v x ' = dx' dt =vcos(ωt)xωsin(ωt) v y ' = dy' dt =vsin(ωt)+xωcos(ωt)

Vamos a comparar este resultado con el que nos proporciona la fórmula

v '= v ω × r

Con

v =v i ^ ω =ω k ^ r =x i ^

se obtiene

v '=v i ^ +ωx j ^

Ahora, relacionamos los vectores unitarios i ^ , j ^ , del sistema de referencia OXY inercial con los vectores unitarios i ^ ', j ^ ' del sistema OX’Y’ no inercial

i ^ =cos(ωt) i ^ '+sin(ωt) j ^ ' j ^ =sin(ωt) i ^ '+cos(ωt) j ^ '

Obtenemos de nuevo, el vector velocidad v '

v '=(vcos(ωt)xωsin(ωt)) i ^ '+(vsin(ωt)+xωcos(ωt)) j ^ '

Vector aceleración

Sistema inercial

La velocidad v de la partícula P es constante en módulo y dirección

a =0

Sistema no inercial

Derivando las componentes de la velocidad con respecto del tiempo obtenemos la aceleración a ' medida en el sistema no inercial.

a x ' = d v x ' dt =2vωsin(ωt)x ω 2 cos(ωt) a y ' = d v y ' dt =2vωcos(ωt)x ω 2 sin(ωt)

Veamos ahora mediante la fórmula

a '= a 2 ω × v ' ω ×( ω × r )

Los datos que tenemos son

a =0 , el movimiento es uniforme en el sistema de referencia inercial

ω =ω k ^ r =xcos(ωt) i ^ '+xsin(ωt) j ^ ' v '=( vcos(ωt)xωsin(ωt) ) i ^ '+( vsin(ωt)+xωcos(ωt) ) j ^ '

Calculamos cada aceleración separadamente

Aceleración de Coriolis

2 ω × v '=2( ω k ^ )×( v x i ^ '+ v y j ^ ' )=2ω v y i ^ '+2ω v x j ^ '= 2ω( vsin(ωt)+xωcos(ωt) ) i ^ '+2ω( vcos(ωt)xωsin(ωt) ) j ^ '

En la figura, se muestra que la aceleración de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad v ' . A la izquierda, se muestra el producto vectorial en el espacio, y a la derecha la misma representación en el plano.

Aceleración centrífuga

ω ×( ω × r ) r =xcos(ωt) i ^ '+xsin(ωt) j ^ '

El resultado del triple producto vectorial es

=( ω k ^ )( ωxsin(ωt) i ^ 'ωxcos(ωt) j ^ ' )= ω 2 xcos(ωt) i ^ '+ ω 2 xsin(ωt) j ^ '

La aceleración centrífuga tiene dirección radial.

Sumando las dos contribuciones volvemos a obtener la aceleración a ' medida en el sistema no inercial

a '=( 2ωvsin(ωt) ω 2 xcos(ωt) ) i ^ '+( 2ωvcos(ωt) ω 2 xsin(ωt) ) j ^ '

Actividades

Se introduce los siguientes datos:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Para ver la representación del vector velocidad, aceleración centrífuga y de Coriolis activar la casilla titulada Vectores.

Ejemplos

Otro ejemplo

Se detiene el movimiento cuando el móvil llegue a la posición diametralmente opuesta, x=0.9. Cambiar la velocidad angular a 1, 3, 4


Oscilaciones

Supongamos que una partícula describe un Movimiento Armónico Simple de frecuencia angular ωp en el Sistema de Referencia Inercial.

x=Acos(ωpt)

Se dibuja la trayectoria en el sistema no inercial OX’Y’ aplicando la transformación

x’=x·cos(ω t)=Acos(ωpt)·cos(ω t)
y’=x·sin(ω t)=Acos(ωpt)·sin(ω t)

Donde ω es la velocidad angular de rotación

En la figura, se muestra el ángulo girado por el plano de oscilación del "péndulo" durante el periodo de una oscilación. El péndulo parte de A y regresa a B, para iniciar una nueva oscilación. El ángulo girado es Δθ =ω·P. Siendo P=p el periodo de una oscilación

wp=6;
w=1;

t=0:0.02:2*pi;
x=cos(wp*t).*cos(w*t);
y=cos(wp*t).*sin(w*t);
plot(x,y)
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Movimiento relativo de rotación uniforme')

Caso particular ω =ωp

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son

x'=Acos(ωt)cos(ωt)= A 2 ( 1+cos(2ωt) ) y'=Acos(ωt)sin(ωt)= A 2 sin(2ωt)

Eliminamos el tiempo t de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y obtenemos la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (A/2, 0) y de radio A/2.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo