Movimiento relativo de rotación uniforme

Las fórmulas que relacionan la velocidad v ' y de la aceleración a ' medidas en el sistema no inercial con la velocidad v y aceleración a medidas en el sistema inercial son las siguientes

v '= v ω × r a '= a 2 ω × v ' ω ×( ω × r )

Su justificación la encontramos en algunos libros de texto

Movimiento rectilíneo y uniforme

Vector posición

Una partícula P se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante v, sabiendo que en el instante inicial t=0, se encuentra en la posición x0, determinar la trayectoria en el sistema no inercial que gira con velocidad angular constante ω en el sentido de las agujas del reloj.

Sistema inercial

La posición de la partícula P en función del tiempo es

x=x0+vt
y=
0.

El vector posición es r =x i ^

La trayectoria de la partícula es rectilínea

Sistema no inercial

x’=x·cos(ω·t)
y’=x·sin(ω·t)

El vector posición es

r =xcos(ωt) i ^ '+xsin(ωt) j ^ '

Si la partícula parte del origen en el instante t=0, x=v·t. La distancia r de la partícula al origen en el instante t es

r= v 2 t 2 cos 2 (ωt)+ v 2 t 2 sin 2 (ωt) =vt

El ángulo girado por el sistema no inercial al cabo de un cierto tiempo t es θ=ω·t

x0=0;
v=0.1;
w=2;

t=0:0.1:10;
x=(x0+v*t).*cos(w*t);
y=(x0+v*t).*sin(w*t);
plot(x,y)
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Movimiento relativo de rotación uniforme')

La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es una espiral de Arquímedes

r= v ω θ

Vector velocidad

Sistema inercial

La velocidad v de la partícula P es constante v =v i ^

Sistema no inercial

Derivando respecto del tiempo obtenemos la velocidad de la partícula medida en el sistema no inercial

v x ' = dx' dt =vcos(ωt)xωsin(ωt) v y ' = dy' dt =vsin(ωt)+xωcos(ωt)

Vamos a comparar este resultado con el que nos proporciona la fórmula

v '= v ω × r

Con

v =v i ^ ω =ω k ^ r =x i ^

se obtiene

v '=v i ^ + ω ×x j ^

Ahora, relacionamos los vectores unitarios i ^ , j ^ , del sistema de referencia OXY inercial con los vectores unitarios i ^ ', j ^ ' del sistema OX’Y’ no inercial

i ^ =cos(ωt) i ^ '+sin(ωt) j ^ ' j ^ =sin(ωt) i ^ '+cos(ωt) j ^ '

Obtenemos de nuevo, el vector velocidad v '

v '=(vcos(ωt)xωsin(ωt)) i ^ '+(vsin(ωt)+xωcos(ωt)) j ^ '

Vector aceleración

Sistema inercial

La velocidad v de la partícula P es constante en módulo y dirección

a =0

Sistema no inercial

Derivando las componentes de la velocidad con respecto del tiempo obtenemos la aceleración a ' medida en el sistema no inercial.

a x ' = d v x ' dt =2vωsin(ωt)x ω 2 cos(ωt) a y ' = d v y ' dt =2vωcos(ωt)x ω 2 sin(ωt)

Veamos ahora mediante la fórmula

a '= a 2 ω × v ' ω ×( ω × r )

Los datos que tenemos son

a =0 , el movimiento es uniforme en el sistema de referencia inercial

ω =ω k ^ r =xcos(ωt) i ^ '+xsin(ωt) j ^ ' v '=( vcos(ωt)xωsin(ωt) ) i ^ '+( vsin(ωt)+xωcos(ωt) ) j ^ '

Calculamos cada aceleración separadamente

Aceleración de Coriolis

2 ω × v '=2( ω k ^ )×( v x i ^ '+ v y j ^ ' )=2ω v y i ^ '+2ω v x j ^ '= 2ω( vsin(ωt)+xωcos(ωt) ) i ^ '+2ω( vcos(ωt)xωsin(ωt) ) j ^ '

En la figura, se muestra que la aceleración de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad v ' . A la izquierda, se muestra el producto vectorial en el espacio, y a la derecha la misma representación en el plano.

Aceleración centrífuga

ω ×( ω × r ) r =xcos(ωt) i ^ '+xsin(ωt) j ^ '

El resultado del triple producto vectorial es

=( ω k ^ )( ωxsin(ωt) i ^ 'ωxcos(ωt) j ^ ' )= ω 2 xcos(ωt) i ^ '+ ω 2 xsin(ωt) j ^ '

La aceleración centrífuga tiene dirección radial.

Sumando las dos contribuciones volvemos a obtener la aceleración a ' medida en el sistema no inercial

a '=( 2ωvsin(ωt) ω 2 xcos(ωt) ) i ^ '+( 2ωvcos(ωt) ω 2 xsin(ωt) ) j ^ '

Actividades

Se introduce los siguientes datos:

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Para ver la representación del vector velocidad, aceleración centrífuga y de Coriolis activar la casilla titulada Vectores.


Simulación del péndulo de Foucault

Un estudio detallado del péndulo de Foucault, se encuentra en el capítulo de Dinámica

En 1851 Jean Leon Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris. Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre, el hilo de arena que caía del cubo mientras oscilaba el péndulo señalaba la trayectoria. Demostró experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora. El experimento de Foucault es una prueba efectiva de la rotación de la Tierra. Aunque la Tierra estuviera cubierta de nubes, este experimento hubiese demostrado que tiene un movimiento de rotación.

En esta simulación, el movimiento de péndulo se sustituye por el Movimiento Armónico Simple de un punto P.

x=Acos(ωpt)

Donde ωp es la frecuencia angular de oscilación de este imaginario péndulo.

Se dibuja la trayectoria en el sistema no inercial OX’Y’ aplicando la transformación

x’=x·cos(ω t)=Acos(ωpt)·cos(ω t)
y’=x·sin(ω t)=Acos(ωpt)·sin(ω t)

Donde ω es la velocidad angular de rotación

En la figura, se muestra el ángulo girado por el plano de oscilación del "péndulo" durante el periodo de una oscilación. El péndulo parte de A y regresa a B, para iniciar una nueva oscilación. El ángulo girado es Δθ =ω·P. Siendo P=p el periodo de una oscilación

wp=6;
w=1;

t=0:0.02:2*pi;
x=cos(wp*t).*cos(w*t);
y=cos(wp*t).*sin(w*t);
plot(x,y)
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Movimiento relativo de rotación uniforme')

El ángulo girado por el plano de oscilación del péndulo en una hora, es el producto de Δθ  por el número de oscilaciones que da el péndulo en una hora.

Δθ·60·60/P=ω ·60·60=15º a la hora

Teniendo en cuenta que la velocidad angular de rotación ω de la Tierra es de 360º en 24 h.

Para un lugar de latitud λ, el ángulo girado por el plano de oscilación del péndulo en una hora vale 15º·sinλ. La razón estriba en que el vector velocidad angular de rotación ω forman un ángulo 90º-λ con la dirección perpendicular al plano local, tal como se ve en la figura. Recuérdese que la aceleración de Coriolis responsable de este fenómeno es el producto vectorial 2 ω × v

Sabiendo que la latitud de Paris es de aproximadamente 49º, el plano de oscilación del péndulo de Foucault gira a razón de 11.3º cada hora.

Caso particular ω =ωp

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son

x'=Acos(ωt)cos(ωt)= A 2 ( 1+cos(2ωt) ) y'=Acos(ωt)sin(ωt)= A 2 sin(2ωt)

Eliminamos el tiempo t de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y obtenemos la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (A/2, 0) y de radio A/2.

Actividades

Se introduce

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