Torpedo a la caza de un submarino

En el triángulo rectángulo de la figura, la base es la diferencia entre el desplazamiento del submarino u·t y la del torpedo x. La altura es la diferencia h-y. Como la dirección de la velocidad del torpedo es la línea recta que pasa por la posición del torpedo y la del submarino en el instante t, tendremos que

tanθ= v y v x = hy u·tx  v= v x 2 + v y 2

o de forma alternativa

u·tx=(hy) v x v y

Diferenciando ambos miembros con respecto del tiempo

u v x = v y v x v y +(hy) d dt ( v x v y ) u h-y = d dt v 2 v y 2 1 u h-y = v 2 v y 2 v 2 v y 2 d v y dt

Teniendo en cuenta que

d v y dt = dy dt d v y dy = v y d v y dy u hy dy= v 2 v y v 2 v y 2 d v y

Integramos ambos miembros, sabiendo que el torpedo parte del origen y=0, y su velocidad inicial es vy=v, dirigida a lo largo del eje Y.

0 y u hy dy = v 2 v v y d v y v y v 2 v y 2

Para resolver la integral de la derecha, se hace el cambio de variable z=1/vy

dz v 2 z 2 1 = 1 v ln| vz+ v 2 z 2 1 |+c

Deshaciendo el cambio de variable y evaluando ambas integrales en los límites inferior y superior, se obtiene.

u v ln( hy h )=ln( v+ v 2 v y 2 v y ) v y ( 1 y h ) u/v v= v 2 v y 2

Elevando ambos miembros al cuadrado y despejando vy

v y = 2v ( 1 y h ) u/v + ( 1 y h ) u/v

Resolvemos la ecuación diferencial de primer orden

dy dt 2v ( 1 y h ) u/v + ( 1 y h ) u/v =0

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, el torpedo parte del origen, y=0.

Alternativamente, integramos de nuevo para obtener la ordenada y del torpedo en función del tiempo t.

Para ello, hacemos el cambio de variable z=1-y/h.

h 1 z ( z u/v + z u/v ) dz= 0 t 2v·dt t= h 2 { z u/v+1 u+v + z u/v+1 u+v 2v u 2 + v 2 }

Esta es una ecuación implícita de la ordenada y en función del tiempo t.

Una vez obtenida la ordenada y en función del tiempo t, se calcula la abscisa x, mediante la relación deducida al principio de esta página.

u·tx=(hy) v x v y x=u·thz v x v y v y = 2v z u/v + z u/v v x = v 2 v y 2 =v 1 z 2u/v 1+ z 2u/v

Sustituimos el tiempo t y obtenemos la ecuación de la trayectoria

x h = 1 2 · z 1+u/v 1+u/v 1 2 · z 1u/v 1u/v + u/v 1 u 2 / v 2

Distintos casos

Ejemplo.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa la trayectoria curvilínea del torpedo (en color rojo) y la rectilínea del submarino (en color azul).

La flecha de color negro, representa la velocidad del torpedo, su dirección es tangente a la trayectoria que es a su vez, la recta que une el torpedo y el submarino.

El programa interactivo resuelve numéricamente la ecuación diferencial de primer orden que proporciona el valor de la ordenada y en función del tiempo t, y luego calcula la abscisa x, mediante la relación geométrica establecida al principio de esta página.

Referencias

Mungan C. E., A classic chase problem solved from a physics perspective. Eur. J. Phys. 26 (2005), pp. 985-990

Este artículo está disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/Publications/Publications.php#fndtn-panel120162017