Magnitudes cinemáticas

Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY. Situamos un origen y unos ejes y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector posición.

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es $\overrightarrow{r}$ y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector $\overrightarrow{r\text{'}}$ .

Diremos que el móvil se ha desplazado $\overrightarrow{\Delta r}=\overrightarrow{r\text{'}}-\overrightarrow{r}$ en el intervalo de tiempo Δt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento $\overrightarrow{\Delta r}$ y el tiempo que ha empleado en desplazarse Δt.

${\displaystyle <\overrightarrow{v}>=\frac{\overrightarrow{r}\text{'}-\overrightarrow{r}}{t\text{'}-t}=\frac{\overrightarrow{\Delta r}}{\Delta t}}$

El vector velocidad media $<\overrightarrow{v_1}>$ entre los instantes t y t₁ tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, $\overrightarrow{\Delta r_1}$ , la secante que une los puntos P y P₁.

El vector velocidad media $<\overrightarrow{v_2}>$ entre los instantes t y t₂ tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, $\overrightarrow{\Delta r_2}$ , la secante que une los puntos P y P₂.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

${\displaystyle \overrightarrow{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{\Delta r}}{\Delta t}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}}$

Como vemos en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P₁, P₂....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad $\overrightarrow{v}$ cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad $\overrightarrow{v}$ cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad $\overrightarrow{v}\text{'}$ .

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia $\overrightarrow{\Delta v}=\overrightarrow{v\text{'}}-\overrightarrow{v}$ .

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad $\overrightarrow{\Delta v}$ y el intervalo de tiempo Δt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

${\displaystyle <\overrightarrow{a}>=\frac{\overrightarrow{v}\text{'}-\overrightarrow{v}}{t\text{'}-t}=\frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t}}$

Y la aceleración $\overrightarrow{a}$ en un instante

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}}$

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

${\displaystyle \begin{array}{l}x=x(t)v_x=\frac{dx}{dt}{a}_x=\frac{d{v}_x}{dt}\\ y=y(t)v_y=\frac{dy}{dt}{a}_y=\frac{d{v}_y}{dt}\end{array}}$

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y.

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.

• Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

• Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

• Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

• Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

• Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: a_t=a cosθ  y a_n=a sinθ

Ejemplo:

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por $\overrightarrow{v}=(3t-2)\widehat{i}+(6t^2-5)\widehat{j}$. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración

v_x =3t-2 m/s, a_x=3 m/s²
v_y=6t²-5 m/s,  a_y=12t m/s²

2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son

v_x =4 m/s,   a_x=3 m/s²
v_y=19 m/s,  a_y=24 m/s²

3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración



4. Calculamos el módulo de la aceleración a y el ángulo θ que forman el vector velocidad y el vector aceleración.

${\displaystyle \begin{array}{l}\theta =\arctan \frac{a_y}{a_x}-\arctan \frac{v_y}{v_x}=4.76º\\ a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=24.2\end{array}}$

5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración

a_t=a·cosθ =24.1 m/s²
a_n=a·sinθ=2.0 m/s²

Calculamos la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración $\overrightarrow{a}$ y el vector velocidad $\overrightarrow{v}$ .

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{v}·\overrightarrow{a}=va\cos \theta =v{a}_t\hfill \\ a_t=\frac{\overrightarrow{v}·\overrightarrow{a}}{v}=\frac{v_x{a}_x+v_y{a}_y}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\hfill \end{array}}$

La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial a_t

${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_n^2=a^2-a_t^2=a_x^2+a_y^2-\frac{{(v_x{a}_x+v_y{a}_y)}^2}{v_x^2+v_y^2}\\ a_n=\frac{a_x{v}_y-a_y{v}_x}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\end{array}}$

Ejemplos

1.-Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t³-3t², y=t²-2t+1 m. Calcular:

• Las componentes de la velocidad en cualquier instante.

v_x=dx/dt=6t²-6t  m/s
v_y=dy/dt=2t-2 m/s

• Las componentes de la aceleración en cualquier instante.

a_x=dv_x/dt=12t-6 m/s²
a_y=dv_y/dt=2 m/s²

>> syms t;
>> x=2*t^3-3*t^2;
>> vx=diff(x)
vx =6*t^2 - 6*t
>> ax=diff(vx)
ax =12*t - 6

>> y=t^2-2*t+1;
>> vy=diff(y)
vy =2*t - 2
>> ay=diff(vy)
ay =2	

2.-Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en función del tiempo vienen dadas por las expresiones: v_x=4t³+4t, v_y=4t m/s. Si en el instante inicial t₀=0 s, el móvil se encontraba en la posición x₀=1, y₀=2 m. Calcular:

• Las componentes de la aceleración en cualquier instante

${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_x=\frac{d{v}_x}{dt}=12t^2+4{\text{m/s}}^{\text{2}}\\ a_y=\frac{d{v}_y}{dt}=4{\text{m/s}}^{\text{2}}\end{array}}$

• Las coordenadas x e y, del móvil, en función del tiempo.

Dada la velocidad v_x=4t³+4t del móvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral

${\displaystyle \begin{array}{l}x-1=\underset{0}{\overset{t}{\int }}(4t^3+4t)dt\\ x=t^4+2t^2+1\text{m}\end{array}}$

Dada la velocidad v_y=4t del móvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la integral

${\displaystyle \begin{array}{l}y-2=\underset{0}{\overset{t}{\int }}(4t)dt\\ y=2t^2+2\text{m}\end{array}}$

>> syms t;
>> vx=4*t^3+4*t;
>> ax=diff(vx)
ax =12*t^2 + 4
>> x=int(vx,0,t)+1
x =t^2*(t^2 + 2) + 1
>> expand(x)
ans =t^4 + 2*t^2 + 1
 
>> vy=4*t;
>> ay=diff(vy)
ay =4
>> y=int(vy,0,t)+2
y =2*t^2 + 2

3.-Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s². Calcular:

• La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto
• Dibujar la trayectoria, los vectores $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{a}$ en la posición que ocupa el móvil en el instante t=1.5 s
• Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en dicho instante.

Para resolver el problema seguimos los pasos que se describen a continuación:

• Primero, se establece el origen en en el suelo y los ejes X e Y apuntando hacia arriba.

• Se determinan los signos de las velocidades iniciales v_0x=0 y v_0y=20 y de la aceleración a_y=-10.

• Se escriben las ecuaciones del movimiento:

1. Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X

a_x=2   
v_x=2t
x=2t²/2

2. Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de los cuerpos)

a_y=-10
v_y=20+(-10)t
y=50+20t+(-10)t²/2

${\displaystyle \overrightarrow{a}\{\begin{array}{l}{a}_x=2\\ a_y=-10\end{array}\overrightarrow{v}\{\begin{array}{l}{v}_x=2t\\ v_y=20+(-10)t\end{array}\overrightarrow{r}\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}2t^2\\ y=50+20t+\frac{1}{2}(-10)t^2\end{array}}$

Punto de impacto, y=0

Tiempo de vuelo y alcance

${\displaystyle t=2+\sqrt{14}=5.74\text{}\text{s}x=18+4\sqrt{14}=32.97\text{m}}$

Componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=1.5 s

${\displaystyle t=1.5\{\begin{array}{l}x=2.25\\ y=68.75\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=3\\ v_y=5\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan {\theta }_1=\frac{5}{3}\tan {\theta }_2=\frac{10}{2}\\ a=\sqrt{2^2+{10}^2}=\sqrt{104}\\ a_t=a\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)=-7.55{\text{m/s}}^{\text{2}}\\ a_n=a\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)=6.86{\text{m/s}}^{\text{2}}\end{array}}$

La componente tangencial es la proyección del vector aceleración sobre la dirección de la velocidad.

${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_t=\frac{\overrightarrow{v}·\overrightarrow{a}}{v}\hfill \\ a_n=\sqrt{a^2-a_t^2}\hfill \end{array}}$

>> a=[2 -10];
>> v=[3 5];
>> at=dot(a,v)/norm(v)
at =   -7.5459 
>> an=sqrt(norm(a)^2-at^2)
an =    6.8599

Calculamos el alcance, el tiempo de vuelo, dibujamos la trayectoria y los vectores velocidad y aceleración en el instante t=1.5 s.

tFin=(4+sqrt(4^2+4*10))/2;  %ecuación de segundo grado, t^2-4t-10=0
fprintf('El alcance es %2.3f, y el tiempo de vuelo es %2.3f\n',tFin^2,tFin)

%trayectoria
x=@(t) t.^2;
y=@(t) 50+20*t-5*t.^2;
hold on
fplot(x,y,[0,tFin], 'r') 
%para t=1.5 s
t=1.5;
x=t^2;
y=50+20*t-5*t^2;
plot(x,y,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r') %posición
quiver(x,y,3,5,'color','b') %vector velocidad
quiver(x,y,2,-10,'color','r') %vector aceleración
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Movimiento curvilíneo')
grid on

Los resultados son

El alcance es 32.967 m, y el tiempo de vuelo es 5.742 s