Dinamika

Partikula-multzoak

Partikula-multzo
baten dinamika

Multzo isolatuak

Blokea irristatzen 
aldapa mugikor batean

Pendulua plataforma
mugikor batean

Partikula-bikotearen
problema klasikoa

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (I)

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (II)

Salto egitearen eredua

Kutxa bati tiraka

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan, eta hurrengo bietan, partikula-bikote bat aztertuko da, partikula biak malguki baten mutur banatan lotuta, eta adibide horrekin sakonki aztertu nahi da:

• Partikula bien arteko barne-indarrak zeintzuk diren.
• Partikula bakoitzak jasaten dituen kanpo indarrak zeintzuk diren.
• Zein indarrek eragiten dioten partikula bakoitzaren mugimenduari.
• Zein indarrek eragiten dioten masa-zentroaren mugimenduari.

Ikusiko dugunez, partikula bakoitzaren mugimenduari eragiten dioten indarrak dira: kanpo-indarrak (kanpoko eragileek egindakoak) eta barne-indarrak (multzoko beste partikulek eragiten diotenak).

Higiduraren ekuazio biak konbinatuz lortuko dugu:

• Masa-zentroaren higidura: partikula bakar bat bezala mugitzen da, multzo osoaren masarekin eta multzoak jasaten dituen kanpo-indar erresultantearen eraginpean soilik.
• Partikula bien higidura erlatiboa: partikula bien arteko barne-indarraren eraginpean soilik.

Ekuazio bi horiek erraz integra daitezke, eta horrela kalkula daitezke partikula bakoitzaren posizioa eta azelerazioa denboraren menpe.

Bestelako arazo batzuk ere aztertuko dira:

• Energiaren kontserbazioaren printzipioa, partikula-multzo batean aplikatuta.
• Kanpo-indar erresultantearen inpultsoa eta multzoaren momentu linealaren aldaketa.

Deskribapena

Demagun malguki baten muturretan partikula bi lotzen ditugula: goiko muturrean M masaduna eta beheko muturrean m masaduna. Malgukiaren konstantea k da eta bere masa arbuiagarria. Hasieran malgukia orekan dago goiko muturretik eskegita, irudiak erakusten duen bezala:

Hasierako egoera:

Malgukiaren luzera naturala (deformaziorik gabe) l da, eta beheko muturrean m masadun partikula lotzen zaionean malgukia d distantzia luzatzen da. mg=kd Posizioak neurtzeko M masaren hasierako posizioa hartuko dugu erreferentziatzat, eta beheranzko posizioak positibotzat hartuko ditugu.

Partikula bakoitzaren higidura-ekuazioa:

Malgukia aske uzten denean, partikulak mugitzen hasten dira: demagun t aldiunean azpiko masaren posizioa x dela eta gaineko masarena y. Partikula bakoitzari dinamikaren legeak aplikatuz x eta y posizioak kalkulatu nahi ditugu t denboraren menpe.

Malgukiaren deformazioa t aldiunean hau da: l-(x-y). Beraz, malgukiak partikulei egiten dien indarra honakoa da: F=k·(l-x+y).

• Malgukia laburtuta dagoenean, l>(x-y), indarra positiboa da: F=k(l-x+y) (ezkerreko irudia).
• Malgukia luzatuta dagoenean, l<(x-y), indarra negatiboa da: F=k(l-x+y) (eskumako irudia).

Beheko partikularen mugimendua: (m)

Hasierako baldintzak: t=0 denean pausagunean dago: dx/dt=0 eta honako posizioan: x=l+d

Hasierako baldintzak: t=0 denean pausagunean dago: dy/dt=0 eta honako posizioan: y=0.

• Bikotearen masa-zentroaren mugimendua

Partikula bien masa-zentroa honako posizioan dago:

Aurreko ekuazio diferentzial biak batuz, masa-zentroaren higidura-ekuazioa lortzen da:

Partikula-multzo baten masa-zentroa partikula bakar bat bezala mugitzen da, multzo osoaren masa du eta kanpo-indar erresultantearen eraginpean soilik mugitzen da.

Hasierako baldintzak honakoak dira: t=0 aldiunean masa-zentroa pausagunean dago eta bere posizioa: z₀, malgukia goiko muturretik helduta dagoenean: x=l+d, y=0.

Masa-zentroaren azelerazioa konstantea da, izan ere g. Beraz, higidura zuzen eta uniformeki azeleratua, eta bere posizioa denboraren menpe:

• Partikula bien mugimendu erlatiboa

Lehen higidura-ekuazioa bidertzen bada, M bider, eta bigarrena, m bider, eta gero bien arteko kenketa eginez, hona emaitza:

Azken ekuazio horrek erakusten du, partikula bien arteko higidura erlatiboa partikula baten higidura dela, μ masa laburbilduaz eta bien arteko barne-indarraren eraginpean soilik: F=k(l-x+y).

Aldagai aldaketa bat eginez: ξ=x-y, honako ekuazio diferentziala geratzen da:

Eta ekuazio diferentzial horren soluzioa honelakoa da:

A eta B konstanteak hasierako baldintzetatik kalkulatzen dira: t=0 aldiunean, posizio erlatiboa hau da: ξ=x-y=l+d, eta abiadura erlatiboa nulua: dξ/dt=0. Eta hemen d=mg/k malgukiaren hasierako deformazioa da.

ξ=l+d·cos(ωt).

Partikula bakoitzaren mugimendua

Masa-zentroaren higidura-ekuazioa ezagututa eta partikula bien arteko higidura erlatiboaren ekuazioa, ondoren partikula bakoitzaren ekuazioa lor daiteke:

Ekuazio biko sistematik x eta y atera daitezke:

Ekuazio horietan egiazta daiteke, t=0 aldiunean, partikulen hasierako posizioak honakoak direla: x=l+mg/k  eta  y=0.

Partikula bien abiadurak lortzeko, x eta y posizioak deribatu denborarekiko:

Bertan ikusten da, t=0 aldiunean partikula biak pausagunean daudela.

Energiak

Egiaztatuko dugu kanpo-indarraren lanak (pisuarenak) multzoaren energia aldatzen duela:  W_k=U_f -U_i, edota W_k=ΔE_k+ ΔE_p

• Energia zinetikoaren aldakuntza: ΔE_k

Partikula biak hasieran pausagunean daudenez, energia zinetikoaren aldakuntza, izan ere, amaierako energia zinetikoa da.

• Energia potentzialaren aldakuntza: ΔE_p

• Hasieran, malgukiaren deformazioa d da.

• Amaieran, malgukiaren deformazioa hau da: l-x+y.

Energia potentzialaren aldakuntza:

• Kanpo-indarraren lana: W_k

Kanpo-indarraren lana da: indarra, (m+M)g , bider masa-zentroaren desplazamendua: (z-z₀).

Baina sinuaren eta kosinuaren baldintza ordezkatuz, sin²(ωt)+ cos²(ωt)=1, partikula biek malgukiaz lotuta osatzen duten bikotearen energiaren balantzea betetzen dela egiaztatzen da.

Azpiko partikulak lebitatu

Beha daiteke, mugitzen hasten direnean, gaineko partikula (urdina) eta masa zentroa (beltza) desplazatzen direla, baina azpiko partikula (gorria) ia ez da mugitzen, badirudi une batez airean geldi dagoela, irudiak erakusten duen bezala eta applet-ean egiazta daitekeen bezala.

Azpiko partikularen x posizioa ematen duen ekuazioan, demagun w t txikia dela, beraz, cos(wt)≈1 . Orduan:

x≈l+mg/k=l+d

Azpiko partikularen posizioa hasierako aldiuneetan oso gutxi aldatzen da. Applet-ean erakusten den grafikoan, besteak beste, x posizioa adierazten da t denboraren menpe, eta beha daiteke hasieran zuzenki horizontal gorri eta txiki bat osatzen duela.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Gaineko partikularen M masa, Gaineko masa izeneko laukian, kilogramotan.
• Azpiko partikularen m masa, azpiko masa izeneko laukian, kilogramotan.
• Malgukiaren konstantea, k, N/m-tan.
• Malgukiaren luzera naturala, deformaziorik gabe, programak finkotzat hartzen du: l=1 m.

Hasi botoia sakatu.

Ezkerrean partikula biak eta masa-zentroa (beltza) mugitzen ikusten dira. Eskumako aldean, grafiko batean, partikulen eta masa-zentroaren posizioak adierazten dira t denboraren menpe.

Programak egiaztatzen du, aukeran idatzitako datuen arabera, malgukiaren deformazio maximoa ez dadila izan hasierako l luzera baino handiagoa eta honako mezua erakusten du: Mesedez malgukiaren konstantea handiagotu.

Adibidea:

Idatz bitez esaterako:

• m=4 kg
• M=1 kg
• k=50 N/m
• Malgukiaren luzera deformaziorik gabe: l=1.0 m

Kalkula bitez partikulen posizioak eta masa-zentroaren posizioa t=1 s aldiunean.

Hona hemen partikulen posizioak:

Partikula bien posizioak ezagututa (eta masak: m=4 eta M=1 kg) masa-zentroaren posizioa kalkula daiteke:

Masa-zentroaren hasierako posizioa:

Eta egiaztatzeko, bestela kalkulatuta, masa-zentroaren posizioa t=1 aldiunean: