Dinamika

Partikula-multzoak

Partikula-multzo
baten dinamika

Multzo isolatuak

Blokea irristatzen 
aldapa mugikor batean

Pendulua plataforma
mugikor batean

Partikula-bikotearen
problema klasikoa

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (I)

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (II)

Salto egitearen eredua

Kutxa bati tiraka

Izar bikotea orbita zirkularrean

Elkar erakarpenak eragindako erorketa

Erreferentzia

Orri honetan bi partikulaz osaturiko multzo isolatuak aztertzen dira, alegia bikoteak.

Partikula-bikotearen problema klasikoa

Demagun bi partikulaz osaturiko multzo isolatu bat. Biek elkarri indarrak eragiten dizkiote: m1 masadun partikulak m2 partikulari eragiten dion indarra F21 da, eta m2 partikulak m1 partikulari eragiten dion indarra F12 da. Indar biak berdinak eta aurkakoak dira. Hona hemen partikula bien higidura-ekuazioak: m1a1=F12 m2a2=F21

Orokorrean, ekuazio horiek ez dute soluzio analitikorik, zeren bi indarrak partikulen posizioaren menpekoak izaten dira, eta posizioak berriz indarren menpekoak.

Bestalde badakigu,  m_1·a₁+m₂a₂=0.

Masa zentroaren azelerazioa nulua da. Beraz, multzoaren masa-zentroa abiadura konstanteaz mugituko da: v_MZ=kte

Bi partikulen higidura konplikatuaren ordez, asma dezagun ordezko partikula bat. Lehenik, kalkula dezagun azelerazio erlatiboa: a₁- a₂

Bigarenik, defini dezagun magnitude berri bat: partikula-bikote baten "masa laburbildua":

Orduan, honako higidura-ekuazioa idatz daiteke:

Bi gorputzen mugimendua, bien arteko interakzioa bakarrik dutenean, orokorrean konplexua izan daiteke, baina ordezka daiteke partikula bakar baten mugimenduaz: partikula horrek masa laburbildua du eta multzoaren masa zentroak interakziozko indarra eragiten dio.

Bi partikulen arteko interakzioa, esaterako, Grabitazio Unibertsala bada:

Hemen r, 1 partikularen posizio-bektorea da 2 partikularekiko, alegia r=r₁-r₂. Ekuazio hori ebaztea errazagoa da, aldagai bakar bat duelako (r) eta denboraren menpe ebatzi behar da.

Adibide adierazgarrienetako bat da, partikula-bikote isolatu bat elkarrekintza elektrikoa eragiten diotena elkarri, Masa-zentroaren erreferentzia-sistema eta Laborategiko erreferentzia-sistemaren ikuspegitik.

Izar-bikotea orbita zirkularrean

Demagun izar-bikote batek osatzen duen multzo isolatua. Izarrok orbita zirkularra jarraitzen dute euren masa-zentroaren inguruan. Masa-zentroaren posizioa kalkulatzeko honako adierazpena erabil daiteke:

m1r1=m2r2 r=r1+r2

Izar handienak masa-zentroa hurbilago du.

Izar bi horien higiduraren baliokidea da, masa laburbildua (m) duen partikularen higidura multzoaren masa-zentroaren inguruan: F indarra jasaten du, izan ere, izar bien arteko erakarpen indarra, eta distantzia da: r=r₁+r₂

Ordezko partikula horrek higidura zirkularra deskribatzen badu, r erradioaz, bere azelerazioa w2·r da. Newton-en bigarren legea honela idazten da:

Ekuazio horretatik ondorioztatzen da, w²·r³ magnitudea konstantea dela, horrek esan nahi du, periodoaren karratua  (P=2p/w) erradioaren kuboaren proportzionala dela (Kepler-en hirugarren legea orbita zirkularretan)

Partikula laburbilduak jarraitzen duen higidura, bi izarren arteko higidura erlatiboa da, eta kalkuluen ondoren r lortu bada, orduan izar bakoitzaren higidura honelakoa da:

• Lehenengo izarrak, m₁ masadunak, higidura zirkularra deskribatzen du M.Z-ren inguruan, P periodoaz eta r₁ erradioaz:  r₁=m₂·r/(m₁+m₂),
• Bigarren izarrak, m₂ masadunak, higidura zirkularra deskribatzen du M.Z-ren inguruan, P periodo berberaz eta r₂ erradioaz:  r₂=m₁·r/(m₁+m₂).

Bi partikuletako baten masa oso handia bada bestearekin konparatuta, multzoaren masa-zentroa ia-ia bere zentroan egongo da. Beraz, partikula hori geldi egongo da (edo abiadura konstanteaz) eta bestea biraka ari da bere inguruan. Esate baterako satelite artifizial batek Lurraren inguruan jarraitzen duen orbita.

Adibidea:

Kalkula bedi Ilargiaren masa honako datuetatik:

• Konstantea: G=6.67·10^-11 Nm²/kg²
• Lurra-Ilargia distantzia: r=3.84·10⁸ m
• Lurraren masa: m₁=5.98·10²⁴ kg
• Periodoa: P=2.36·10⁶ s (27.3 egun)

Periodoaren formulatik Ilargiaren masa kalkula daiteke: m₂=3.73·10²² kg

Balio zuzena beste hau da: 7.34·10²² kg. Antzekoa da, baina ez da berdina, geure kalkuluan sinplifikazio gehiegi egin ditugulako: ez dugu kontutan hartu Eguzkiak Ilargiaren periodoan duen efektua, ezta gainontzeko planetek dutena, Lurra ez dela esfera perfektua, Ilargiaren orbita ez dela zirkulu perfektua (Kepler-en legea zuzena da orbita eliptikoetarako ere).

Hortaz, frogatu dugunez, bi partikulaz osaturiko multzo batean (esaterako, izar bikoitz bat), biek elkarri grabitazio-indarrak eragiten dizkiotenean, P periodoa ezagutuz eta euren arteko r separazioa, Kepler-en hirugarren legea erabiliz, partikula bien masa osoa kalkula daiteke: m₁+m₂

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Izar bien arteko masen erlazioa (M2/M1) desplazamendu-barrarekin 1 eta 10 bitarteko zenbaki bat aukeratuz.

Hasi botoia sakatu.

Partikula urdinaren masa (m₁) finkotzat hartzen da (sinplifikatzeko, unitate-sistema aukeratzean honako baldintza betetzen dutena aukeratu da: G·m₁=1), eta partikula gorriarena (handiarena) aldatzen da. Izarren arteko distantzia konstantea da, izan ere, luzera unitate bat. Beraz, periodoa honako erlazioarekin kalkula daiteke:

Kontsidera bedi bi partikulek masa bera duten kasua ere.

Elkar erakarpenak eragindako erorketa

Atal honetan bi gorputz aztertuko ditugu (m₁ eta m₂ masadunak) elkarri erakarri eta erortzen direnean.

Demagun hasieran bi gorputzak pausagunean daudela eta euren arteko distantzia r dela. Masa-zentroa ere pausagunean egongo da, lehen gorputzetik r₁ distantziara eta bigarren gorputzetik r₂ distantziara, irudiak erakusten duen bezala:

m1r1=m2r2 r=r1+r2

Bikote isolatua denez, masa-zentroak pausagunean jarraituko du posizio berean.

Masa zentroa hartzen badugu erreferentziatzat, bi gorputzen higidura-ekuazioak honakoak dira:

Baina r₁ eta r₂ ordezka daitezke r-ren menpe:

Bi gorputzen higidura ordezka daiteke partikula bakar baten mugimenduaz: partikula horrek masa laburbildua du (m) eta multzoaren masa zentroak erakarpen-indarra eragiten dio honako distantziatik: r=r₁+r₂

Sinplifika daiteke: m₁·m₂

Demagun gorputz biak hasieran duten distantzia r₀ dela eta defini ditzagun honako aldagai adimentsionalak:

x=r/r₀,
τ=t/P

Hemen P higidura zirkularraren periodoa da, bi gorputzak r₀ distantziara orbita zirkularra jarraitzen dutenean:

Higiduraren ekuazioa sinplifikatu egiten da:

Ekuazio diferentzial hori integratu behar da honelako baldintzekin: τ=0, x=1, v=dx/dτ=0.

Katearen erregela erabiliz bigarren ordenako ekuazio diferentziala lehen ordenako bat bilakatzen dugu:

Lehen ordenako ekuazio diferentzial hori integratuz, gorputz batek bestearekiko duen v abiadura erlatiboa kalkulatzen da, eta hasierako baldintza: x=1, v=0

Gorputz biak erortzen ari direnean x gutxituz doa τ-rekin, beraz abiadura negatiboa da. Ondoren lehen ordenako ekuazio diferentzial hau integratu behar da:

eta hasierako baldintzak: τ=0, x=1.

Ezker aldeko integrala ebazteko honako ordezkapena egin behar da:

Ondoren atalka integratzen da eta hau geratzen da:

Berriz ere aldaketa desegin, eta integralaren goi- eta behe-muturrak ebaluatuz, denbora adimentsionala ateratzen da (τ):

                 (1)

Ekuazio hori inplizitua da, τ=τ(x), beraz x-ren balioa emanda τ kalkula daiteke.

1 adibidea:

Har ditzagun lehenik, Eguzkia eta Lurra. Lurretik Eguzkiaren zentrora dagoen distantzia unitate astronomiko bat da: r₀=1.49·10¹¹ m. Demagun une batean Lurra gelditu egiten dela.

Bien masa-zentroarekiko, hau da Eguzkiaren posizioa:

Eta Lurrarena:

r₂=1.49·10¹¹-4.5·10⁵=1.49·10¹¹ m

Emaitza horrek erakusten du, bikotearen masa-zentroa Eguzkiaren zentrotik oso hurbil dagoela. Hori gertatzen da Eguzkiaren masa oso handia delako Lurrarenaren aldean, eta beraz Eguzkia ia geldi geratuko da eta Lurra bakarrik mugituko da.

Demagun Lurra Eguzkirantz erortzen hasten dela. Biak ukitzerako, euren zentroen arteko distantzia erradio bien batura da: r=6.96·10⁸+6.37·10⁶ m.

Demagun Lurra pausagunetik abiatzen dela. Hasieran distantzia adimentsionala hau da: x=1. Eguzkia ukitzerako x distantziak honakoa balio du: x=r/r₀=0.0047.

Denbora adimentsionala kalkulatzen da (1) formularen bitartez eta hona hemen emaitza: τ=0.177

Kalkula dezagun Lurrak Eguzkiaren inguruan duen orbitaren periodoa: P

Beraz, Lurrak Eguzkia ukitzen duen aldiunea honakoa da: t= τ·P=5558126 s=64 egun.

Eta bien zentroak elkartzen dira beste honako honetan: (r=0, edo x=0)

2 adibidea:

Har ditzagun orain, Lurra eta Ilargia. Bien zentroen arteko distantzia r₀=3.84·10⁸ m

Bien masa-zentrotik Lurraren zentrora dagoen distantzia: r=x·3.84·10⁸ m

Eta Ilargiaren posizioa masa-zentroarekiko:

r₂=3.84·10⁸-r₁m

Ilargiaren P periodoa, bikotearen masa-zentroaren inguruko orbita zirkularrean:

Lurra eta Ilargia geldituko balira, euren distantzia ohikoa denean (r₀=3.84·10⁸ m edo x=1), bien zentroak elkartuko lirateke r=0, edo x=0 posizioan, eta honako aldiunean: t

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Lehen gorputzaren 1 masa, m₁ , kilogramotan, dagokion laukian idatziz.

• Bigarren gorputzaren 2 masa, m₂ , kilogramotan, dagokion laukian idatziz.

• Bi gorputzen arteko hasierako distantzia: r₀ , metrotan, dagokion laukian idatziz.

• Datuok osorik idatzi beharrean, bikote jakin batzuk aukera daiteke Adibideak kontrolean.

Oharra: zenbakiak idazkera zientifikoan idazteko, idatz bedi esaterako:1.49·10¹¹, honela: 1.49e11.

Hasi botoia sakatu.

Gorputz biak mugitzen ikusten dira, alegia elkarrenganantz erortzen, bien zentroak kointziditzen duten arte: r=0 edo x=0. Distantziak adierazten dituen ardatz horizontalaren jatorria bikotearen masa-zentroan kokatuta dago, eta hala erakusten du puntu beltz batek. Masarik astunena ezkerrean kokatzen da beti.

Leihatilaren goiko aldean honako datuak erakusten dira:

• Denbora adimentsionala τ, eta bi gorputzen arteko distantzia adimentsionala x.

• Denbora, t , segundotan, eta bi gorputzen posizioak, r₁ eta r₂, metrotan, biak masa zentroarekiko neurtuta.