Dinamika

Partikula-multzoak

Partikula-multzo
baten dinamika

Multzo isolatuak

Blokea irristatzen
aldapa mugikor batean

Pendulua plataforma
mugikor batean

Partikula-bikotearen
problema klasikoa

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (I)

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (II)

Salto egitearen eredua

Kutxa bati tiraka

Partikula-multzoa

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan aztertzen da, bloke bat aldapa batean behera irristatzen, baina aldapak berak (hiruki-formako piezak), plano horizontalean zehar irrista dezake, marruskadurarik gabe. Adibide hau Fisika Orokorreko ariketa klasikoa da.

Aldapak M masa du eta horizontalarekiko θ angelua osatzen du. Bere gainean m masadun bloke batek irristatzen du. Gainazal bien artean marruskadura dago, μ koefizienteduna.

• Blokearen azelerazioa aldaparekiko a_m da, eta plano inklinatuaren norabidea du, alegia θ angelua horizontalarekiko.

• Aldaparen azelerazioa zoruarekiko a_M da eta horizontala da.

Demagun hasteko, a_M eskumarantz dela (positiboa). Gerora ikusiko dugu, momentu linealaren kontserbazioak edo higiduraren ekuazioek noranzkoa ezkerrerantz dela inposatuko digutela (negatiboa).

Deskribapena

Irudiak erakusten du bi gorputzek jasaten dituzten indarrak eta bien azelerazioak.

Blokeak hiru indar jasaten ditu:

• Pisua, mg

• Plano inklinatuaren erreakzioa, N

• Marruskadura-indarra, F_r , planoaren norabidekoa baina irristatzearen aurka.

Deskonposa ditzagun indarrok, norabide bertikal eta horizontalean. Hona hemen blokearen higiduraren ekuazioak:

1. Ardatz horizontalean, blokearen azelerazioa zoruarekiko hau da: (a_m·cosθ+a_M)

N·sinθ-F_r·cosθ=m(a_m·cosθ+a_M)       (1)

2. Ardatz bertikalean, blokearen azelerazioa zoruarekiko hau da: a_m·sinθ

mg-N·cosθ-F_r·sinθ= m·a_m·sinθ           (2)

3. Eta marruskadura koefizientea μ bada:

F_r=μ·N

Aldapak lau indar jasaten ditu:

• Pisua, Mg.

• N eta F_r: Newton-en hirugarren legearen arabera, aldapak blokeari egiten dizkion indarrak eta blokeak aldapari egiten dizkionak berdinak dira eta aurkakoak.

• Zoru horizontalaren R erreakzioa (zoruarekin ez du marruskadurarik).

Norabide horizontalean aldaparen higidura-ekuazioa hau da:

F_r·cosθ-N·sinθ=M·a_M       (3)

Eta norabide bertikalean aldapa orekan dago.

Lehenengo eta hirugarren ekuazioak gehituz, a_m eta a_M  azelerazioen arteko erlazio bat lor daiteke:

m(a_m·cosθ+a_M)+ M·a_M=0

Aldaparen azelerazioa (a_M)  negatiboa da, a_m positiboa bada, beraz, irudiak erakusten duen aurkakoa.

Eta bigarren ekuazioa ere erabiliz kalkulatzen dira a_m: blokearen azelerazioa aldaparekiko eta a_M: aldaparen azelerazioa zoruarekiko.

Ondoko grafikoak erakusten du a_M azelerazioa, plano inklinatuaren θ angeluaren menpe, eta marruskadura-koefizientearen balio finko bitarako: μ=0 (marruskadurarik eza) eta μ=0.4. Ikus daiteke, a_M azelerazioak maximo bat duela θ_m angelu konkretu batean.

Grafiko berean beste emaitza bat ere ikusten da: marruskadurarik badago (μ=0.4) aldapak ez du irristatzen (a_M=0), bere θ inklinazio angeluak ez badu θ₀ angelu bat gainditzen (orduan blokeak ere ez du irristatuko). Irudian, irristatzen hasten deneko angelua hau da: θ₀=22º. Izan ere, angelu hori irristatzearen baldintzaren muga da: tanθ₀= μ. Jakina denez, marruskadurarik ez badago (μ=0) θ₀=0º.

Bloke bat aldapa batean behera irristatzen aztertu genuenean ikusi zen, justu tanθ=μ bada, blokeak abiadura konstanteaz irristatzen duela, eta angelua hori baino handiagoa bada higidura azeleratua izango duela.

Higidura zuzen eta uniformeki azeleratuaren ekuazioetatik, blokearen eta aldaparen abiadurak eta posizioak kalkula daitezke:

• Blokearen abiadura aldaparekiko: v_m=a_m·t, pausagunetik abiatzen dela suposatuz.

• Blokearen desplazamendua aldaparekiko: x_m=a_m·t²/2

• Aldaparen abiadura zoru horizontalarekiko: v_M=a_M·t

• Aldaparen desplazamendua zoru horizontalarekiko: x_M= a_M·t²/2

Blokea aldaparen amaierara iristen da honako aldiunean:

Hemen l da, blokeak aldaparen gainean ibilitako distantzia.

• Blokea aldaparen amaierara iritsi ondoren, aldapa plano horizontalean zehar abiadura konstanteaz mugitzen da:

v_M=a_M·t_m

• Eta blokea ere plano horizontalean zehar abiadura konstanteaz mugitzen da:

v_m=v_M+a_m·t_m·cosθ

Partikula-multzoa

Har ditzagun blokea eta aldapa multzo gisa.

Barne-indarrak honako biak dira:

• Erreakzio normala, N

• Gainazal bien irristatzearen aurkako marruskadura-indarra: F_r.

Partikula batek besteari eta besteak batari eragindako barne-indarrak berdinak dira eta aurkakoak.

Kanpo-indarrak, irudiak erakusten dituenez, hiru dira:

• Pisuak: mg eta Mg, planetak bi partikulei eraginda.

• Zoru horizontalak aldapari eragindako erreakzioa: R.

Norabide bertikaleko higidura geroago azter daiteke R erreakzioa ezezaguna delako.

Norabide horizontaleko higidura ordea, erraz azter daiteke, zeren kanpo indar guztiak (hirurak) bertikalak direlako.

Beraz norabide horizontalean ez dago kanpo indarrik.

• Masa-zentroaren azelerazioaren osagai horizontala nulua da. Horrek esan nahi du masa-zentroaren abiaduraren osagai horizontala konstantea dela.

• Hasieran masa zentroa pausagunean badago, geroago ere pausagunean mantenduko da eta masa-zentroaren X_c posizioa ez da aldatuko blokea eta aldapa mugitzen ari diren bitartean.

Hasierako momentu lineal totala nulua denez, momentu lineal totalaren osagai horizontala (px) beti izango da nulua. M·vM+m(vM+vm·cosθ)=0

Ekuazio hori denborarekiko deribatuz, azelerazioen arteko erlazioa lortzen da (a_m eta a_M), alegia lehen lortutako bera.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Aldaparen angelua (θ),  desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Blokearen eta aldaparen arteko marruskadura koefizientea, μ, dagokion laukian idazten.

• Masa blokea/aldapa laukian, m/M, alegia blokearen eta maldaren arteko masen erlazioa.

Berria botoia sakatu.

Idatzitako datuak ez badira zuzenak, alegia, irristatzearen baldintza betetzen ez bada (tanθ<μ) programak antzeman egiten du, eta mezu batez marruskadura koefizientea gutxitzea edo aldaparen angelua handitzea eskatzen du.

Datuak zuzenak badira Hasi botoia saka daiteke.

Blokea ikusten da aldapan behera irristatzen. Hiru puntu adierazgarri erakusten dira: gorriz, blokearen eta aldaparen masa-zentroak, eta urdinez multzoaren masa-zentroa. Lerro urdin batek hiru puntuak lotzen ditu. Bi gorputzak mugitzen diren arren, multzoaren masa-zentroa ez da horizontalki desplazatzen. Hori nabarmentzeko marra urdin batek X_c posizioa adierazten du.

Applet-aren goiko aldean honako datuak idatziz erakusten dira: denbora, blokeak aldaparekiko duen posizioa, abiadura eta azelerazioa, eta aldapak zoruarekiko duen posizioa, abiadura eta azelerazioa. Blokea aldaparen amaierara iristen denean, plano horizontalean irristatzen segitzen du marruskadurarik gabe. Une horretatik aurrera, ematen diren posizioa, abiadura eta azelerazioa zoruarekiko adierazita daude.

Programako irudia justu testuko irudiaren alderantziz dago eginda, alegia blokea ezkerrerantz mugitzen da eta aldapa eskumarantz, beraz aldaparen posizioa, abiadura eta azelerazioa positiboak dira eta blokearenak ordea negatiboak. Hala ere, programaren helburuetako bat da, aldapa nola mugitzen den ikustea da, eta horretan, ez du inolako kalterik eragiten.

Adibidea:

Demagun

• Blokearen eta aldaparen arteko masa-erlazioa:  m/M=0.7

• Marruskadura-koefizientea: μ=0.4

• Aldaparen angelua, θ=30º

Kalkula dezagun blokearen azelerazioa aldaparekiko (a_m):

Eta aldaparen azelerazioa zoruarekiko (a_M):

Blokeak aldaparen beheko ertzeraino iristeko tardatzen duen denbora: (luzera l=1 m)

Aldaparen abiadura une horretan:

v_M=a_M·t_m= -0.79 m/s

Blokearen abiadura une horretan:

v_m=a_m·t_m=2.20 m/s

Une horretatik aurrera blokearen abiadura zoruarekiko:

V_m=v_m·cosθ+v_M= 1.12 m/s