Dinamika

Partikula-multzoak

Partikula-multzo
baten dinamika

Multzo isolatuak

Blokea irristatzen 
aldapa mugikor batean

Pendulua plataforma
mugikor batean

Partikula-bikotearen
problema klasikoa

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (I)

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (II)

Salto egitearen eredua

Kutxa bati tiraka

Saiakuntza

Erreferentzia

Irudiak erakusten du, salto batek denboran zehar dituen atalak: hasieran jauzilaria zutik dago, ondoren makurtu egiten da belaunak uzkurtuz, eta azkenik salto egiten du gora. Muskulu uzkurtuek duten energia potentzial elastikoa, lehenik energia zinetiko bilakatzen da, eta azkenik, jauzilaria punturik gorenera iristen denean, energia potentzial grabitatorio.

Orri honetan jauzilaria eredu sinple batez ordezkatuko da: partikula bi, m gainekoa eta M azpikoa, malguki elastiko batez lotuta (k konstanteduna) eta denak posizio bertikalean. Eredu hori partikula-multzoen dinamikaren ekuazioekin azter daiteke. Gogora ditzagun oinarrizko ideia bi: 

Partikula bakoitza mugitzen da kanpo indarren eraginpean (grabitatea, erreakzio normala...) eta barne indarren eraginpean (beste partikulak malgukiaren bitartez egiten dion bultzada).

Masa-zentroa mugitzen da partikula bat bezala, multzo osoaren masarekin eta kanpo indarren erresultantearen eraginpean soilik.

Deskribapena

Hasierako egoera.

Malgukiaren luzera, deformaziorik gabe, l da. Bertikalki kokatzen dugunean, gaineko m partikularen pisuaren eraginez, malgukia uzkurtu egiten da.

Gaineko partikula orekan dagoenean, jasaten dituen indar biak berdinak dira: mg, pisua eta malgukiak egiten dion indarra k(l-xo) (ikusi irudia): mg=k(l-xo)

Beraz, malgukiaren deformazioa, oreka posizioan, hau da: l-x_o=mg/k. Ekuazio horretako x_o goiko partikularen oreka-posizioa da, lurretik neurtuta.

Demagun malgukia gehiago zapaltzen dugula (d) eta askatu. Goiko partikularen hasierako posizioa hau da: x=l-mg/k-d,  eta hasierako abiadura: dx/dt=0.

Energiak

Har dezagun energia potentzial grabitatorioaren zero-maila lurrean bertan. Partikula-bikotearen hasierako energiak bi termino ditu:

• Malguki uzkurtuaren energia potentziala: bere deformazioa, d+mg/k

• Gaineko partikularen energia potentziala: bere altuera x=l-mg/k-d  lurretik neurtuta.

Orduan, hona hemen partikula-bikotearen hasierako energia, E₀

Malgukia, zapaldu ondoren, askatzen denean partikula biak mugitzen hasiko dira eta beraz bikotearen masa-zentroa ere bai. Mugimenduak atal ezberdin bi ditu:

1.      Azpiko partikula, M, lurrarekin kontaktuan dagoen bitartea, beraz pausagunean.

2.      Azpiko partikulak, M-k, lurrarekin kontaktua galtzen duenean.

Higiduraren lehen atala

Bikoteak jasaten dituen indar guztiak kanpo indarrak eta barne indarrak dira. Egin dezagun bereizketa:

·        Zoruak azpiko partikulari egiten dion N erreakzioa. Kontutan izan, orekan, zoruak bi pisuak jasaten dituela: mg eta Mg ·        Partikula biek elkarri egiten dioten bultzada, malgukiaren bitartez: F=k(l-x) . Biak berdinak dira eta elkarren aurkakoak, irudiak erakusten duen bezala.

• Gaineko partikularen dinamika (m masaduna)

Gaineko partikulak indar bi jasaten ditu:

• Pisua: mg

• Malguki deformatuak eragiten dion indarra: k(l-x). Hemen x partikularen posizioa da.

Bere higidura-ekuazioa hau da:

Ekuazio hori beste itxura batez berridatz daiteke:

Ekuazio diferentzial horren soluzioa honelakoa da: (ordezkatu eta egiazta daiteke)

A eta B konstanteak hasierako baldintzetatik kalkulatzen dira:  t=0 aldiunean gaineko partikularen posizioa hau da: x=l-mg/k-d, eta bere abiadura dx/dt=0. Orduan, gaineko partikularen posizioa denboraren menpe honela gelditzen da:

Hortik abiadura kalkula daiteke: v_m= d·ω₁·sin(ω₁·t)

• Azpiko partikularen dinamika (M masaduna)

Azpiko partikulak hiru indar jasaten ditu:

• Pisua: Mg

• Zoruak egiten dion erreakzioa: N

• Malgukiak egiten dion indarra: k(l-x)

Azpiko partikula pausagunean dago zorua ukitzen, beraz zoruaren erreakzioa kalkula daiteke:

N=Mg+k(l-x)=(m+M)g+kd·cos(ω₁·t)

• Masa-zentroa (M.Z.)

Hona hemen masa-zentroaren posizioa eta abiadura hurrenez hurren:

Higiduraren lehen atalaren amaiera.

Higiduraren lehen atala amaitzen da, azpiko partikulak (M masadunak) zorua ukitzeari uzten dionean, alegia N erreakzioa nulua denean.

Hori gertatzen den aldiuneari t_o deitzen badiogu:

Baina kosinua ezin da unitatea baino handiagoa izan, beraz N=0 izan dadin honako baldintza bete behar da:

(m+M)g≤kd

Horrek esan nahi du, hasieran malgukiari ematen diogun d deformazio gehigarria oso txikia bada (muga bat baino txikiagoa), orduan ez da beteko aurreko baldintza hori, eta beraz ez du salto egingo. Azpiko partikula geldi geratuko da eta gainekoa Higidura Harmoniko Sinpleaz mugituko da, izan ere, d anplitudeaz.

Bestalde, salto egiteko baldintza betetzen bada, t₀  aldiunean:

• Gaineko partikularen posizioa honakoa da: x=l+Mg/k  eta bere abiadura v_m=dω₁·sin(ω₁·t₀)
• Eta azpiko partikularen posizioa: y=0, eta abiadura v_M=0.

Edozein partikula-multzotan:

W_k=U_f -U_i

W_k kanpo-indarren lana da, eta U multzoaren energia totala. U-k bakarrik hartzen ditu kontutan energia zinetikoak eta barne-indarren energia potentzialak. Kasu honetan kanpo indarrak bi dira: alde batetik, zoruaren erreakzio normala: N, ez du lanik egiten, mugitzen ari ez den partikula bati eragiten ari zaiolako. Bestetik, bi partikulen pisuak baina, kontserbakorra denez, berak egindako lana energia potentzialen aldakuntza da:

W_k=E_pi-E_pf

Hortaz,  U_i+E_pi=U_f+E_pf=kte

Partikula-multzo baten U energia da, partikulen energia zinetikoen batura eta euren arteko elkarrekintzaren energia potentziala.

M masadun azpiko partikula pausagunean dago. Gaineko partikularen posizioa x da eta bere abiadura dx/dt. Malgukiaren deformazioa l-x da. Beraz partikula bikote horren energia kontserbatzen dela honela adieraz daiteke:

Lehen atala amaitzen denean, partikula-bikotearen energia E₁ da, eta hiru termino ditu:

• Gaineko masaren energia potentziala: bere masa m da eta bere posizioa: x=l+Mg/k
• Gaineko masaren energia zinetikoa: bere abiadura hau da: v_m=d·ω₁·sin(ω₁·t₀)
• Malgukiaren (barne indarraren) energia potentzial elastikoa: bere deformazioa: l-x= -Mg/k

Zenbait ordezkapen eginez, egiaztatzen da lehen atalaren amaierako energia (E₁) eta hasierako energia (E₀) berdinak direla.

Bulkada eta momentu lineala
 

• Bikotearen hasierako momentu lineala nulua da.

• Eta bikotearen amaierako momentu lineala hau da: m·v_m.

Kanpo indarren erresultantea hau da: N-mg-Mg. Indar horrek bikoteari eragiten dio denbora batez: to . Beraz, indar erresultantearen bulkadak bikotearen momentu lineala aldatzea eragiten du: m·vm.

Higiduraren bigarren atala

Atal honetan kanpo indarretako bat desagertu egiten da: zoruaren N erreakzioa. Hortaz, partikula bakoitzak jasaten dituen indarrak bi dira: kanpo indar bat (pisua) eta barne indar bat (malgukiak egiten diona: F=k(l-(x-y)). Adierazpen horretan (x-y) malgukiaren luzera da, eta l malgukiaren luzera deformaziorik gabe.

Beraz, hona hemen higiduraren ekuazioak:

• MZ-ren higidura.

Aurreko ekuazio bi horiek batuz:

Baina, izan ere, z masa zentroaren posizioa da:

Beraz, masa-zentroa partikula bakar bat bezala mugitzen da, bere masa bikotearen masa osoa da (m+M) eta kanpo indarren eragina jasaten du soilik: (m+M)g

Kasu honetan, masa-zentroaren azelerazioa konstantea denez, alegia grabitatearen g, orduan higidura zuzen eta uniformeki azeleratua jarraituko du. Bere hasierako posizioa (z_o) eta abiadura (v_o) aurreko atalean kalkulatu ditugu, alegia  t₀  aldiunean:

Hona hemen masa-zentroaren higiduraren ekuazioak:

• Partikula bien higidura erlatiboa

Bidertzen bada lehen ekuazio diferentziala M bider, eta bigarrena m bider, eta ondoren ekuazio diferentzial bien kenketa eginez hauxe lortzen da:

edota, bestela idatzita:

hemen, ordezkatu da ξ=x-y , alegia, partikula bien arteko posizio erlatiboa. Ondoren masa laburbildua ere ordezkatzen bada: μ=mM/(m+M)  honako ekuazio diferentziala lortzen da:

Ekuazio diferentzial horren soluzioak honelako itxura du: (soluzioa ekuazioan ordezkatuz egiazta daiteke).

A eta B konstanteak hasierako baldintzetatik kalkula daitezke:

Aldiunea: t=t₀,

• Partikulen posizioa hau da: x=l+Mg/k, eta y=0, beraz, ξ=x-y=l+Mg/k.

• Partikulen hasierako abiadura hau da: dx/dt=ω₁d·sin(ω₁t₀), dy/dt=0, hortaz, dξ/dt= ω₁d·sin(ω₁t₀).

Hona hemen partikula bien arteko higidura erlatiboaren ekuazioa:

Honezkero, ezagunak dira masa-zentroaren posizioa (z) eta partikulen arteko posizio erlatiboa (ξ=x-y) denboraren menpe. Ekuazio biko sistematik x eta y bakan daitezke:

Bikotearen energiak bost termino ditu bigarren atalean, alegia t>t₀ denean:

• Gaineko partikularen energia potentziala: m masa du eta x posizioan dago.
• Gaineko partikularen energia zinetikoa: bere abiadura hau da: dx/dt
• Azpiko partikularen energia potentziala: M masa du eta y posizioa.
• Azpiko partikularen energia zinetikoa: bere abiadura hau da: dy/dt
• Malgukiaren energia elastikoa bere deformazioa hau da: l-(x-y)

Zenbait ordezkapen eginez, egiaztatzen da bigarren atalaren energia (E₂) eta hasierako energia (E₀) berdinak direla.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Gaineko masa (kg), m, irudian gorriz adierazten dena.
• Azpiko masa (kg), M, irudian urdinez adierazten dena.
• Malgukiaren konstantea (N/m), izan ere, barne-indarra.
• Malgukiaren luzera, deformaziorik gabe, programak finkotzat hartzen du, l=0.5 m

Berria botoia sakatu.

Malgukia bere oreka posizioraino uzkurtzen da, gaineko partikularen pisuaren eraginez, baina ez da mugitzen. Mugitzen hasteko, malgukia are gehiago zapaldu behar da, d distantzia, gaineko partikulari (gorriari) saguaz eragiten.

Hasi botoia sakatu.

Partikula bikotea (gorria eta urdina) eta malgukia mugitzen hasten dira. Bikotearen masa-zentroa beltzez adierazten da. Higiduraren atal biak erraz bereiz daitezke:

• Lehen atalean azpiko partikula (urdina) pausagunean dago, zorua ukitzen. Gezi beltz batek zoruaren erreakzio normala adierazten du: N.
• Bigarren atalean azpiko partikulak kontaktua galtzen du, eta partikula biak mugitzen dira pisuaren eta malgukiaren eraginez.

Adibidea:

• Gaineko partikularen masa, m=4 kg.
• Azpiko partikularen masa, M=1 kg.
• Malgukiaren konstante elastikoa, k=750 N/m.

Berria botoia sakatu.

Gaineko partikularen pisuak malgukia zapaltzen du: mg/k=0.052 m. Beraz partikularen oreka-posizioa, x=l-mg/k=0.45 m.

Horretaz gain, konprima bedi malgukia d=0.2 m gehiago, alegia, gaineko partikularen posizioa honakoa izan arte: x=0.25 m.

Hasi botoia sakatu.

Lehen ataleko oszilazioaren maiztasun angeluarra, ω₁ :

Azpiko partikulak jasaten duen N erantzun normala gutxitzen doa eta, halako batean, kontaktua galtzen du. Hori gertatzen den aldiunea: t₀ da.

Aldiune horretan MZ-aren posizioa:

Eta MZ-aren abiadura une horretan:

Ondoren, masa zentroak altuera maximoa atzematen du bere abiadura anulatzera iristen denean: v=0

0=v₀ -g·(t-t₀)

Hori gertatzen den aldiunea: t=0.23+0.12=0.35 s. Eta masa-zentroak atzematen duen altuera maximoa:

z=z₀+v₀(t-t₀)-g(t-t₀)²/2

z=0.66 m

Bigarren ataleko maiztasun angeluarra: ω₂.

Partikulen posizio erlatiboa honela kalkulatzen da: ξ=x-y

Eta honezkero, MZ-aren posizioa ezagututa (z) eta partikulen posizio erlatiboa (ξ), orduan partikula bakoitzaren posizioa ere kalkula daiteke: