Dinamika

Partikula-multzoak

Partikula-multzo
baten dinamika

Multzo isolatuak

Blokea irristatzen 
aldapa mugikor batean

Pendulua plataforma
mugikor batean

Partikula-bikotearen
problema klasikoa

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (I)

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (II)

Salto egitearen eredua

Kutxa bati tiraka

Tiratzaileak indar konstantea egiten du.

Oso ugaria izaten da, eguneroko egoera fisikotan, oztopatu-irristatu mugimendua (stick-slip): esaterako, gainazal bi irristatzen ari direnean, igurtziak sortzen dituen kirrinkak; ate bat zabaltzean ezatsegina izaten da baina biolinak sortzen duena ordea, gozoa.

Fenomeno hau bera Fisika-Kurtso honetako beste orri batzutan ere aztertu da:

• Habe bat euskarri mugikor bitan etzanda.

• Kutxa bat zinta garraiatzaile baten gainean mugitzen

Demagun kutxa bat tiraka eramaten dugula soka elastiko batez. Hasieran, soka deformatu gabe, ez dio kutxari indarrik eragiten, baina luzatzen doan heinean kutxari egiten dion indarra handitzen doa. Muga batera iristean, marruskadura estatikoaren koefizientearen arabera, kutxa irristatzen hasiko da. Irristatzen hasita, kutxa azeleratu egiten da baina soka laburtzen denez, indarra gutxitzen doa eta une batez marruskadura zinetikoa berdintzen du. Hortik aurrera kutxa dezeleratuko da, alegia, bere abiadura gutxitzen joango da gelditu arte, eta gelditu ondoren berriz hasiko da ziklo osoa.

Beraz kutxaren mugimenduak atal bi izango ditu:

• Lehenengoan, kutxa pausagunean dago eta tiratzaileak ekoizten duen energia osoa sokan metatzen da, energia elastiko gisa.

• Bigarrenean, kutxak irristatzen du, eta sokan aurrez metatutako energia bilakatu egiten da: alde batetik energia zinetiko bilakatzen da eta bestetik marruskadura-indarraren lanak bero gisa barreiatzen du.

Orri honetan aztertuko da irudiak erakusten duen kasua, alegia, tiratzaile batek kutxa bat soka elastiko batez eramaten duena:

• Tiratzailea abiadura konstanteaz mugitzen.

• Tiratzaileak indar konstanteaz tiratzen.

Kasu bietan onartuko da, sokaren portaera malguki elastiko batena dela.

Tiratzailea abiadura konstanteaz mugitzen da

Kutxaren masa M da, malguki elastikoaren konstantea k eta luzera naturala d. Marruskadura estatikoaren koefizientea μ_s eta marruskadura zinetikoaren koefizientea μ_k≤ μ_s.

Irudiak erakusten du, kutxa (M), malguki elastikoa eta tiratzailea (O) hasierako egoeran. Kutxaren posizioa x=0 da eta tiratzailearena y=d.

Kutxa pausagunean

Tiratzailea eskumarantz mugitzen denean eta jatorritik y distantziara iristen denean, malgukia luzatu egiten da eta kutxak pausagunean segitzen du x=0 posizioan. Marruskadura indarra (F_r) eta malgukiak egindako indarra (k(y-d)) berdinak dira. Malgukiaren indarrak marruskaduraren balio maximoa gainditzen duenean (μ_sMg) kutxa irristatzen hasten da.

Tiratzailearen posizioa y₀  da: eta  k(y₀-d)= μ_sMg

Aldiune horretan kutxa irristatzen hasten da eta erlojua abiatzen da: t=0

Kutxak irristatzen du

Une jakin batean (t) kutxa x posizioan dago eta tiratzailea y posizioan.

Kutxak jasaten dituen indarrak bi dira:

• Malgukiak egiten dion indarra, k(y-x-d)

• Marruskadura zinetikoaren indarra, F_r= μ_kMg

Kutxaren eta tiratzailearen higidura-ekuazioak honakoak dira hurrenez hurren:

Hona hemen ekuazio diferentzialaren soluzioa:

A anplitudea eta hasierako fasea (φ) hasierako baldintzetatik kalkula daitezke:

Hasierako aldiunean, t=0, kutxaren posizioa x₀ da eta abiadura dx/dt=0

Kutxa hasieran azeleratu egiten da, eta ondoren dezeleratu, guztiz gelditzen den arte. Hori gertatzen den t aldiunea kalkula dezagun:

Une horretan kutxaren eta tiratzailearen posizioak hauek dira:

Une horretatik aurrera kutxa pausagunean geratzen da, eta berriz ere irristatuko du marruskadura indarrak bere balio maximoa atzematen duenean: μ_sMg.

Kutxa tirakadaka mugitzen da, zikloak behin eta berriz errepikatuz. Hainbat posiziotan geldituko da, dei diezaiegun posizioei, x_i. Une guzti horietan tiratzailearen posizioa hau da: y_is kutxa gelditzen denean, eta y_ik berriz irristatzen hasten denean.

• Lehen zikloa

x₀=0, y_0s=d , kutxa geldi dago koordenatuen jatorrian, eta tiratzailea jatorritik d distantziara.

Kutxa irristatzen hasten denean, malgukiaren indarrak marruskadura gainditzen du. Tiratzailearen posizioa y_0k bada, baldintza hau betetzen da  k(y_0k-d)=µ_smg,

y_0k=d+µ_sg/ω²

Beraz, tiratzailea desplazatu egin da kutxa pausagunean egon den bitartean. Desplazatu den distantzia hau da:

y_0k-y_0s=µ_sg/ω²

Lehen kalkulatu dugun bezala, kutxa azeleratzen hasten da, eta gero dezeleratzen, berriz gelditzen den arte. Horretarako pasatu den denbora hau da: t=(4π-2φ)/ω. Kutxa berriz gelditu denean, bere posizioa eta tiratzailearena  honakoak dira:

x₁=2(y_0k-d-µ_kg/ω²)+vt-x₀=2µ_sg/ω²-2µ_kg/ω²+vt
y_1s=y_0k+vt=d+µ_sg/ω²+vt

• Bigarren zikloa

Orain, berriz ere, kutxa irristatzen hasten da tiratzailea posizio honetan dagoenean: y_1k  baina k(y_1k-x₁-d)=µ_smg. Beraz:

y_1k= x₁+d+µ_sg/ω²=3µ_sg/ω²-2µ_kg/ω²+vt+d

Eta kutxa pausagunean dagoen bitartean tiratzailea desplazatuko da:

y_1k- y_1s=2µ_sg/ω²-2µ_kg/ω²

Lehen kalkulatu dugun bezala, kutxa azeleratzen hasten da, eta gero dezeleratzen, berriz gelditzen den arte. Horretarako pasatu den denbora hau da: t=(4π-2φ)/ω abiatu denetik berriro gelditzen den arte.

Kutxa berriz gelditu denean bere posizioa eta tiratzailearena honakoak dira:

x₂=2(y_1k-d-µ_kg/ω²)+vt-x₁=4µ_sg/ω²-4µ_kg/ω²+2vt
y_2s=y_1k+vt=3µ_sg/ω²-2µ_kg/ω²+2vt+d

• Hirugarren zikloa

Kutxa irristatzen hasten da tiratzailearen posizioa honakoa denean: y_2k  eta k(y_2k-x₂-d)=µ_smg. Beraz:

y_2k= x₂+d+µ_sg/ω²=5µ_sg/ω²-4µ_kg/ω²+2vt+d

Eta kutxa geldi dagoen bitartean tiratzailea desplazatu egiten da: y_2k-y_2s=2µ_sg/ω²-2µ_kg/ω²

Kutxa azeleratzen hasten da, eta gero dezeleratzen, berriz gelditzen den arte. Horretarako pasatu den denbora hau da: t=(4π-2φ)/ω abiatu denetik berriro gelditzen den arte. Kutxa berriz gelditu denean bere posizioa eta tiratzailearena honakoak dira:

x₃=2(y_2k-d-µ_kg/ω²)+vt-x₂=6µ_sg/ω²-6µ_kg/ω²+3vt
y_3s=y_2k+vt=5µ_sg/ω²-4µ_kg/ω²+3vt+d

eta horrela behin eta berriz.

Ondorengo grafikoak erakusten du kutxaren mugimendua baina "faseen espazioan", alegia x-v ardatzetan. Bertan ikusten da kutxa zein posiziotan gelditzen den x ardatzean. Gero kutxa azeleratzen da, abiadura maximo bat atzematen du eta berriro dezeleratzen da gelditzen den arte. Ziklo hori behin eta berriz errepikatzen da.

Datuak: v=1.0 m/s, k=10 N/m, M=1 kg, μ_s=0.75, μ_k=0.5

Ondorengo grafikoak erakusten du kutxaren abiadura, baina denboraren menpe (denbora totala t_t). Ikusten da, kutxa geldi dagoela denbora-tarte batez, gero kutxa azeleratzen dela, abiadura maximo bat atzematen duela eta berriro dezeleratzen dela gelditzen den arte. Abiadura maximoa atzematen da erdiko aldiunean, t=(2π-φ)/ω, eta bere balioa ωA da.

Ondorengo grafikoan erakusten da kutxaren posizioa denboraren menpe. Zati horizontalek adierazten dute kutxa geldi dagoela denbora tarte batez. Lehen aldiz posizio honetan gelditzen da: (µ_sg/ω²)/v eta ondorengoetan honako posizioetan: (2µ_sg/ω²-2µ_kg/ω²)/v

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Tiratzailearen abiadura m/s-tan. Laukian idatziz edo desplazamendu barrari saguaz eragiten. Gogoan izan abiadura hori konstantea dela.

• Marruskaduraren koef. zinetikoa, µ_k, desplazamendu barrari saguaz eragiten.

• Marruskaduraren koef. estatikoa, µ_s, desplazamendu barrari saguaz eragiten. Nahitaezkoa da  µ_k≤µ_s izatea.

• Malguki elastikoaren konstantea, k, N/m-tan, laukian idatziz.

• Kutxaren masa finkotzat hartzen da: M =1 kg

Hasi botoia sakatu.

Applet-ak kutxa eta tiratzailearen mugimenduak erakusten ditu, eta biak malguki batez lotuta. Tiratzailea gurdi batez adierazten da, abiadura konstanteaz mugitzen.

Leihatilaren goiko aldean kutxaren ibilbidea erakusten da faseen espazioan, alegia, x-v diagraman.

Kutxak jasaten dituen indarrak bektoreen bidez adierazten dira.

Tiratzaileak indar konstanteaz tiratzen du

Har dezagun orain, partikula bikote bat, kutxa eta tiratzailea. Multzoak kanpo indar bi jasaten ditu: tiratzaileak egiten duen indar konstantea eta marruskadura indarra, eta barne indar bat: elkarri egiten diotena bien arteko malgukiaz. Irudiak hasierako egoera adierazten du:

Demagun tiratzaileak m masa duela eta malgukiaren muturretik F indar konstanteaz tiratzen duela. Malgukiaren konstante elastikoa k da, eta beste muturrean M masadun kutxa dauka lotuta. Multzo osoaren dinamika aztertuko dugu, baina planteamenduak bi atal ditu:

• Kutxa pausagunean dago x₀ posizioan.

• Kutxa irristatzen ari da.

Kutxa pausagunean dago.

Edozein aldiunetan tiratzailearen posizioa y da.

Tiratzaileak jasaten dituen indarrak bi dira:

• F indar konstantea.

• Malguki deformatuak eragiten dion indarra: k(y-x₀-d)

Kutxa geldi dagoenez, malgukiak egiten dion indarra eta marruskadura indarra aurkakoak dira, eta berdinak.

Hona hemen tiratzailearen higidura-ekuazioa:

Bere soluzioa hau da

A anplitudea eta j hasierako fasea hasierako baldintzetatik kalkula daitezke: t=0, aldiunean tiratzailea y₀ posiziotik abiatzen da eta v_0y abiaduraz.

Kutxak jasaten duen marruskadura indarra bere maximora iristen denean (μ_sMg), egoera hori amaituko da eta kutxa irristatzen hasiko da, t_f aldiunean:

k(y-x₀-d)= μ_sMg

Une horretan, tiratzailearen y_f  posizioa eta v_fy  abiadura hauek dira:

Ondoren frogatuko dugunez, M masadun kutxa bati tiratzen diogunean, irristatzen hasteko behar den indar minimoa hau da: F= μ_sMg. Baina malguki batez tiratzen badiogu irristatzen hasteko behar den indar minimoa horren erdia da, alegia: F= μ_sMg/2.

Kutxa hasieran x₀=0 posizioan dago, tiratzailea y₀=d posizioan eta bere abiadura v_0y=0.

Hasierako baldintza horiekin, A anplitudea eta φ hasierako fasea kalkulatzen dira:

A=F/(mω²)  eta φ=3π/2

Kutxa irristatzen has dadin, ondoko ekuazioak t_f  soluzio bat izan behar du:

edota,

Eta hortik deduzitzen da F-ren balio minimoa: F= μ_sMg/2

Baldin  F< μ_sMg/2 bada, kutxa ez da mugitzera iristen, eta tiratzaileak Higidura Harmoniko Sinpleaz oszilatzen du, A anplitudeaz eta ω maiztasun angeluarraz. Tiratzailearen oreka posizioa, alegia tiratzaileak jasaten duen indar erresultantea nulua den tokia, hau da:  d+F/(mω²)

Ondorengo grafikoak erakusten du tiratzailearen ibilbidea faseen espazioan, alegia x-v diagraman (kutxa jatorrian dago eta pausagunean). Tiratzaileak abiadura maximoa atzematen du oreka-posiziotik pasatzean eta abiadura minimoa (nulua) bi tokitan: d eta d+2F/(mω²).

Datuak: F=3 N, M=1 kg, k=8 N/m, μ_s=0.75

Kutxak irristatzen du

Aldiune batean (t) tiratzailearen posizioa y da eta kutxarena x.

Tiratzaileak jasaten dituen indarrak bi dira:

• F indar konstantea

• Malgukiaren bitartez kutxak egiten dion tirakada: k(y-x-d)

Kutxak jasaten dituen indarrak bi dira:

• Malgukiaren bitartez tiratzaileak egiten dion tirakada: k(y-x-d)

• Marruskadura zinetikoaren indarra: F_r= μ_kMg

Beraz, kutxaren eta tiratzailearen higidura-ekuazioak hauek dira hurrenez hurren:

Higidura erlatiboa

Biderka dezagun lehen ekuazioa m bider eta bigarrena M bider, eta ondoren kenketa:

Dei diezaiogun: ξ=y-x-d

Ekuazio diferentzial horren soluzioa hau da:

Masa zentroaren higidura

Masa zentroaren posizioa hau da:

Ekuazio diferentzial biak batuz:

Hortaz, masa-zentroaren higidurari (azelerazioari) kanpo-indarren erresultanteak soilik eragiten dio (F_r -μ_kMg), eta higidura uniformeki azeleratua da.

• Baldin F> μ_kMg, masa-zentroa azeleratzen da,

• Baldin F< μ_kMg, masa-zentroa dezeleratzen da, abiadura gutxituz,

• Baldin F= μ_kMg,  masa-zentroa abiadura konstanteaz mugitzen da.

Partikula bien posizioak

Ezagutzen baldin badira partikulen posizio erlatiboa, ξ(t), eta masa-zentroaren posizioa, z(t), orduan kutxaren eta tiratzailearen x eta y posizioak kalkula daitezke:

y-x-d= ξ(t)
my+Mx=(m+M)z(t)

Hasierako baldintzetatik kalkulatu behar dira higidura erlatiboaren B anplitudea, hasierako fasea, f, masa zentroaren hasierako posizioa, z₀, eta masa zentroaren hasierako abiadura, v_0z.

Gure kasuan, t=0 aldiunean, kutxaren posizioa x₀ da eta pausagunetik abiatzen da: v_0x=0.

Tiratzailearen hasierako y₀ posizioa eta v_0y abiadura, aurreko ataleko amaierakoak dira:

Masa zentroaren hasierako posizioa eta abiadura:

Kutxaren abiadura bigarren atalean hau da:

Kutxaren abiadura anulatzen denean, t aldiunea kalkulatzeko ekuazio transzendentea geratzen da.

Ondorengo grafikoak erakusten du kutxaren abiadura denboraren menpe. Abiadura anulatzen den aldiunea (t) abiadura maximoaren (t₁) eta abiadura minimoaren (t₂) artean dago. Maximo eta minimo hori honako ekuazioaren soluzioak dira (abiaduraren deribatua denborarekiko):

Ondorengo grafikoak erakusten du, faseen espazioan (x-v), kutxaren ibilbidea gorriz eta tiratzailearen ibilbidea urdinez, baina MZ dezeleratzen ari den kasu batean (F< μ_kMg). Masa zentroaren abiadura gutxitzen doa anulatzen den arte, eta hortik aurrera ez da gehiago mugitzen.

Datuak: F=4.5 N, M=1 kg, m=1 kg, k=8 N/m, μ_s=0.75, μ_k=0.5

Ondorengo grafikoak erakusten du, faseen espazioan (x-v), kutxaren ibilbidea gorriz eta tiratzailearen ibilbidea urdinez, baina MZ abiadura konstanteaz mugitzen ari den kasu batean (F= μ_kMg).

Datuak: F=4.9 N, M=1 kg, m=1 kg, k=8 N/m, μ_s=0.75, μ_k=0.5

Ondorengo grafikoak erakusten du, faseen espazioan (x-v), kutxaren ibilbidea gorriz eta tiratzailearen ibilbidea urdinez, baina MZ azeleratzen ari den kasu batean (F> μ_kMg).

Datuak: F=5.5 N, M=1 kg, m=1 kg, k=8 N/m, μ_s=0.75, μ_k=0.5

Energiaren Balantzea

Partikula multzo baten energia da, partikula bien energia zinetikoen batura eta barne indarrari dagokion energia potentziala.

Kanpo indarren lana hau da:

W_k=F(y-d)- μ_kMgx

Kanpo indarren lana eta partikula multzoaren energiaren aldakuntza berdinak dira:

W_k=U-U₀

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Indarra: tiratzaileak egiten duena, konstantea da eta N-etan adierazi behar da laukian idatziz.

• Tiratzailearen masa, m, kg-tan, laukian idatziz.

• Kutxaren masa finkotzat hartu da: M =1 kg.

• Marruskaduraren koef. zinetikoa, µ_k , desplazamendu-barrari saguaz eragiten edo laukian idatziz.

• Marruskaduraren koef. estatikoa, µ_s , desplazamendu-barrari saguaz eragiten edo laukian idatziz. Nahitaez bete behar da µ_k≤µ_s.

• Malguki elastikoaren konstantea, k , N/m-tan laukian idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Indarraren balio kritikoak honakoak dira:  F=

• μ_sMg/2, kutxa irristatzen hasteko.

• μ_kMg, kutxak irristatzeko geldiunerik gabe.

Applet-ak erakusten du kutxa eta tiratzailea nola mugitzen diren. Tiratzailea gurdi batez adierazten da eta biak malguki batez lotuta daude.

Kutxak eta tiratzaileak jasaten dituzten indarrak bektoreez adierazten dira.

Leihatilaren goiko aldean, faseen espazioa adierazten da, alegia x-v diagrama.

• Gorriz kutxaren ibilbidea.

• Urdinez tiratzailearen ibilbidea.

Applet-aren ezkerreko aldean energiaren balantzea adierazten da zutabe baten itxuraz:

Zutabearen altuera totala F indar konstanteak egindako lana da.

• Zati urdina tiratzailearen energia zinetikoa.

• Zati gorria kutxaren energia zinetikoa.

• Berdea, malguki deformatuak metatutako energia potentzial elastikoa.

• Beltza, marruskadura indarrak egindako lana.