Dinamika

Partikula-multzoak

Partikula-multzo
baten dinamika

Multzo isolatuak

Blokea irristatzen 
aldapa mugikor batean

Pendulua plataforma
mugikor batean

Partikula-bikotearen
problema klasikoa

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (I)

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (II)

Salto egitearen eredua

Kutxa bati tiraka

Pendulu sinplearen higidura-ekuazioa, plataforma mugikor baten gainean

Konparazioa

Saiakuntza

Erreferentzia

Prozedura numerikoak Java hizkuntzan

Aurreko orri batean zehazki  aztertzen da “Pendulu sinplea”, alegia, partikula bat hari zurrun batean eskegita eta oszilatzen. Partikularen masa m da eta hariarena arbuiagarria da. Hariaren luzera l da.

Orri honetan pendulu sinplea plataforma higikor baten gainean kokatzen dugu. Plataformaren masa M da eta marruskadurarik gabe mugitzen da plano horizontalaren gainean.

Pendulu sinplearen higidura-ekuazioa

Demagun pendulu sinple bat posizio bertikaletik albo batera desplazatu eta askatu egiten dugula. Penduluaren masa m, luzera l eta desplazatutako angelua θ₀.

Energiaren kontserbazioaren printzipioa

Aplika dezagun energiaren kontserbazioaren printzipioa partikularen abiadura kalkulatzeko θ posizio angeluarrean dagoenean. Har dezagun energia potentzialaren jatorria hariaren O puntu finkoan.

Partikularen higidura zirkularra denez (l erradioduna) bere abiadura honela idatz daiteke: v=l•(dθ/dt). Parentesi arteko terminoa partikularen errotazioaren abiadura angeluarra da:

Newton-en bigarren legea

Ezkerreko irudiak erakusten du partikulak jasaten dituen bi indarrak eta eskumakoak bere azelerazioaren osagai normala, a_n=v²/l =l•(dθ/dt)² ,  eta tangentziala: a_t= l•(d²θ/dt²) .

Newton-en bigarren legea aplikatzen bada:

ma_t= -mg·sinθ
ma_n=T-mg·cosθ

Lehenengo ekuazioa forma diferentzialean idatz daiteke:

Ekuazio diferentzial hori bigarren ordenakoa da, eta prozedura numerikoak erabiliz ebazten da, baina hasierako baldintzak honakoak dira: t=0, θ=θ₀, (dθ/dt)=0

Bigarren ekuazioa erabil daiteke hariaren tentsioa kalkulatzeko, partikularen v abiadura ezaguna bada. Baina v abiadura kalkula daiteke energiaren kontserbazioaren printzipioa erabiliz:

Pendulu sinplearen higidura-ekuazioa, plataforma mugikor baten gainean

Plataforma eta pendulua multzo isolatua da norabide horizontalean, kanpo indarrak denak direlako bertikalak (blokea eta aldaparen kasuan bezala), eta erresultantearen osagai horizontala nulua da. Demagun pendulua hasieran oreka posizioan dagoela, bertikal, justu plataformaren masa-zentroaren gainean. Puntu hori hartuko dugu erreferentzia gisa, alegia, X ardatzaren O jatorritzat. Beraz O puntua da multzo isolatuaren masa-zentroaren posizioa, eta hasieran pausagunean badago, gero ere pausagunean iraungo du.

Multzoaren masa zentroaren posizioa X_c=0 da.

Demagun pendulua posizio bertikaletik albo batera desplazatzen dela (θ0 eskumarantz): Plataformaren masa zentroa ezkerrerantz desplazatzen da: xb. Partikularen posizioa (m) hau da: xp= -xb+l·sinθ. Multzoaren masa-zentroaren posizioa ez da aldatzen: Xc=0

Beraz, penduluaren posizio angeluarra (θ) eta plataformaren posizioa (x_b) erlazionatuta daude:

Multzoaren masa-zentroa geldi dago: V_c=0

Partikularen abiaduraren osagaiak zoruarekiko (erreferentzia sistema inertziala) hauek dira:

horizontala: vcosθ+V_b
bertikala: v·sinθ

Beraz, partikularen v abiadura eta plataformaren V_b abiadura erlazionatuta daude:

           (1)

Energiaren kontserbazioaren printzipioa

Energia potentzialaren jatorria hariaren muturrean aukeratzen bada, energiaren kontserbazioaren printzipioa honela idazten da (ikusi aurreko irudia):

         (2)

Ekuazio horretan (2) ordezka daiteke V_b abiadura v-ren menpe (1), eta bakan daiteke v=l(dθ/dt)

Multzoaren masa-zentroaren azelerazioa nulua da: A_c=0

Partikularen azelerazioaren osagai horizontal eta bertikalak behatzaile inertzialarekiko hauek dira (zoruarekiko):

a_tcosθ -a_nsinθ+a_b
a_ncosθ+a_tsinθ

Beraz, partikularen azelerazioaren osagai tangentzial eta normala (a_t eta a_n) erlazionatuta daude plataformaren azelerazioarekin:

          (3)

Newton-en bigarren legea

Partikulak jasaten dituen indarrak bi dira: Hariaren tentsioa: T Pisua: mg Plataformak jasaten dituen indarrak hiru dira: Hariaren tentsioa: T Plataformaren pisua eta plano horizontalaren erreakzioa, biak bertikalak dira, beraz ez dute eraginik higidura horizontalean.

Hona hemen partikularen osagai tangentzial eta normala zoruarekiko (erreferentzia sistema inertzialarekiko):

a_t+a_b·cosθ
a_n-a_b·sinθ

Beraz, higidura-ekuazioa norabide tangentzialean:

m(a_t+a_b·cosθ)= -mgsinθ      (4)

Eta higidura-ekuazioa norabide normalean:

m(a_n-a_b·sinθ)=T- mgcosθ      (5)

Eta plataformaren higidura-ekuazioa:

T·sinθ=Ma_b                  (6)

(3) ekuazioko a_b ordezkatzen bada (4) ekuazioan, eta ordezkatzen badira a_n=l(dθ/dt)² eta  a_t= l(d²θ/dt²)  bigarren ordenako ekuazio diferentziala lortzen da:

Eta ekuazio hori prozedura numerikoez ebatzi behar da, baina hasierako baldintzak ezarri behar zaizkio:

t=0, θ=θ₀, (dθ/dt)=0

Plataformaren masa (M) oso handia bada partikularenarekin konparatuz (m), alegia m/M→0, orduan ekuazio diferentzial hori pendulu sinplearen ekuazio diferentzial arrunta bilakatzen da.

Egiazta dezagun ekuazio diferentziala zuzena ote den:

Energiaren kontserbazioaren printzipioak lehen ordenako ekuazio diferentziala eman digu:

Ekuazio hori denborarekiko deribatuz:

Azken hori, berriro da higiduraren ekuazio diferentzial osoa.

Hariaren tentsioa

(5) eta (6) ekuazioetatik hariaren tentsioa bakan daiteke:

Errotazioaren abiadura angeluarra ezagututa (dθ/dt), hariaren T  tentsioa kalkula daiteke:

Adibidez: demagun pendulua albora desplazatzen dela θ₀=90º eta askatu. Oreka-posiziotik pasatzean (θ=0) hariaren tentsioa hau da:

Plataforma finko dagoenean baino pixka bat handiagoa (T/(mg)=3)

Eta plataformaren masa (M) oso handia bada partikularenarekin konparatuta (m), honakoa lortzen da (m/M→0):

Adibidea

• Plataformaren masa: M=2 kg, partikularen masa:  m=1 kg, beraz masen erlazioa: M/m=2.0

• Penduluaren luzera: l=1.0 m

• Penduluaren hasierako angelua: θ₀=90º

Ondorioz, plataforma ezkerrerantz desplazatzen da, multzoaren masa-zentroa jatorrian tinko mantentzen.

Kalkula bitez, θ=30º denean: plataformaren posizioa (x_b), partikularen  abiadura (v) plataformaren abiadura (V_b) eta hariaren tentsioa (T).

Momentu linealaren kontserbazioa eta energiaren kontserbazioa (v eta V_b kalkulatzeko):

v= -4.75 m/s, V_b=1.37 m/s

Eta azkenik hariaren T tentsioa kalkulatzeko honako bi ekuazioak:

T·sinθ=Ma_b                           (6)
m(a_n-a_b·sinθ)=T- mgcosθ      (5)

T·sin30º=2·a_b                           (6)
1(4.75²/1.0-a_b·sin30º)=T- 1·9.8·cos30º     (5)

Plataformaren azelerazioa eliminatuz, a_b, tentsioa kalkula daiteke: T=27.66 N

Konparazioa

Ondoko grafikoak erakusten du pendulu sinple baten oszilazioak (urdina), eta pendulu bera baina plataforma mugikor batean muntatuta (gorria), eta masen arteko erlazioa M=m. Penduluaren periodoa txikiagoa da plataforma mugikorrean.

Ondorengo grafikoak plataformaren posizioa erakusten du (x_b) denboraren menpe, aurreko baldintza berean (M/m=1). Nabarmena da plataformak ez duela Higidura Harmoniko Sinplea jarraitzen.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Penduluaren hasierako angelua, θ ₀ , desplazamendu barrari saguaz eragiten.

• Plataformaren eta partikularen masen arteko erlazioa edo M/m zatidura, dagokion laukian idatziz.

• Penduluaren luzera finkotzat hartu da: l=1m.

Berria botoia sakatu, datuak onartzeko, eta ondoren Hasi.

Esperimentu berri bat abiatu nahi den bakoitzean, datu berriak onartzeko, berriz ere Berria botoia sakatu behar da.

Applet-aren goiko aldean idatziz adierazten dira honako datuak:

• Penduluari dagozkionak: desbiazio angelua (θ), abiadura angeluarra (dθ/dt) eta hariaren tentsioa T .
• Plataformari dagozkionak: posizioa x_b, eta abiadura V_b

public abstract class RungeKutta {
	double h;
RungeKutta(double h){
	this.h=h;
}
public void resolver(Estado2 e){
//variables auxiliares
	double k1, k2, k3, k4;
	double l1, l2, l3, l4;
	double q1, q2, q3, q4;
	double m1, m2, m3, m4;
//condiciones iniciales
	double x=e.x;
	double v=e.v;
	double t=e.t;

	k1=h*v;
	l1=h*f(x, v, t);

	k2=h*(v+l1/2);
	l2=h*f(x+k1/2, v+l1/2, t+h/2);

	k3=h*(v+l2/2);
	l3=h*f(x+k2/2, v+l2/2, t+h/2);

	k4=h*(v+l3);
	l4=h*f(x+k3, v+l3, t+h);
//nuevo estado del sistema
	x+=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
	v+=(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;
//cambia el estado de la partícula
	e.x=x;
	e.v=v;
	e.t=t+h;
}
abstract public double f(double x, double v, double t);

}

public class Oscilador extends RungeKutta{
	double masa;
	double lon;
Oscilador(double masa, double lon, double h){
	super(h);
	this.masa=masa;
	this.lon=lon;
}
public double f(double x, double v, double t){
	double y=-Math.sin(x)*Math.cos(x)*v*v/(masa+Math.sin(x)*Math.sin(x))-
	9.8*(masa+1)*Math.sin(x)/((masa+Math.sin(x)*Math.sin(x))*lon);
	return y;
}
} 

//creación de objetos
//mB plataformaren masa da, lon penduluaren luzera da, dt integrazio-urratsa da
Oscilador oscilador=new Oscilador2(mB, lon, dt);
//ang hasierako angelua da
Estado estado=new Estado2(0.0, ang, 0.0);

//Penduluaren posizio angeluarra eta abiadura angeluarra kalkulatzen ditu, denboraren menpe
oscilador.resolver(estado);