Dinamika

Partikula-multzoak

Partikula-multzo
baten dinamika

Multzo isolatuak

Blokea irristatzen 
aldapa mugikor batean

Pendulua plataforma
mugikor batean

Partikula-bikotearen
problema klasikoa

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (I)

Partikulak eta MZ nola
mugitzen diren (II)

Salto egitearen eredua

Kutxa bati tiraka

Saiakuntza

Orri honetan, berriz ere, partikula bi aztertuko ditugu malguki batez lotuta, baina horizontalki mugitzen. Gogora ditzagun aurreko orriko emaitzak:

Partikula bakoitzaren mugimenduari eragiten diote kanpo-indarrek eta multzoko beste partikulek egiten dioten barne-indarrek.

Bikotearen masa-zentroa mugitzen da partikula bakar bat bezala, multzoaren masa osoarekin eta kanpo-indarren erresultantearen eraginpean soilik.

Partikula-multzo bat isolatua bada (kanpo indarren erresultantea nulua), bere masa-zentroa abiadura konstanteaz mugitzen da, eta partikulak barne-indarraren eraginpean soilik mugitzen dira.

Deskribapena

Oraingoan partikula bi aztertuko ditugu malguki batez lotuta, baina horizontalki. Ezkerreko partikula (urdina) M masaduna eta eskumakoa (gorria) m masaduna.

M masadun partikula (ezkerrekoa) horma bertikala ukitzen ari da (x=0). Malgukiak k konstantea du eta l luzera deformatu gabe dagoenean. Mugitzen hasteko, malgukia zapaldu egiten da, d distantzia, beraz bere hasierako luzera l-d da.

Malgukia, zapaldu ondoren, aske uzten bada, mugimenduak bi atal ditu:

1.      Ezkerreko M masa horma ukitzen ari denean, beraz pausagunean, multzoa ez da isolatua, hormak indarra egiten diolako: dei diezaiogun indarrari N.

2.      Ezkerreko M masak horma ukitzeari uzten dionean, multzoa isolatua da eta beraz masa-zentroa abiadura konstanteaz mugitzen da.

(bi partikulen pisuak eta zoruaren erreakzioak batuz, norabide bertikaleko indar totala nulua da)

Lehen etapa

Ezkerreko M masa horma ukitzen ari denean, bikoteko partikulek bi indar jasaten dituzte: Hormak ezkerreko partikulari egiten dion N erreakzioa kanpo-indarra da. Partikulek elkarri, malgukiaren bitartez, egiten dioten indarrak, F=k(l-x) berdinak dira eta aurkako noranzkoak dituzte, irudiak erakusten duen bezala.

• Eskumako partikula (m masaduna).

Ekuazio hori beste modu batez berridatz daiteke:

Ekuazio diferentzial horren soluzioa honelakoa da (soluzioa ekuazioan ordezkatuz egiazta daiteke):

A eta B konstanteak hasierako baldintzetatik kalkulatzen dira. t=0 aldiunean malgukia zapalduta dago, d distantzia, eskumako partikularen posizioa x=l-d da, eta pausagunean dago: dx/dt=0. Hortaz eskumako partikularen posizioa denboraren menpe hau da:

x=l-d·cos(ω₁·t)

Posizioa denborarekiko deribatuz abiadura lortzen da:

v_m= d·ω₁·sin(ω₁·t)

• Ezkerreko partikula (M masaduna)

Ezkerreko partikula pausagunean dago x=0 posizioan. Beraz, hormaren erreakzioa malgukiaren indarraren berdina da:

N=k(l-x)=kd·cos(ω₁·t)

• Masa zentroa (M.Z.)

Masa-zentroaren posizioa eta abiadura honakoak dira:

Lehen atalaren amaiera

Lehen atala amaitzen da, ezkerreko M masak horma ukitzeari uzten dionean, alegia, N erreakzioa anulatzen denean. Hori gertatzen den aldiunea t₀ bada:

• Eskumako partikularen posizioa x=l da, eta bere abiadura: v_m=d·ω₁
• Ezkerreko partikularen posizioa y=0 da, eta bere abiadura: v_M=0
• Masa zentroaren posizioa eta abiadura:

Energiak

Bikotearen energia totala hasieran, malgukia d distantzia deformatuta dagoenean, hau da: kd²/2.

Eta amaierako aldiunean:

• Malgukia deformaziorik gabe: x=l,
• Ezkerreko partikula pausagunean.
• Eskumako partikulak (m masadunak) abiadura du: v_m=d·ω₁

Hortaz, malgukiaren energia potentzial elastikoa eskumako partikularen energia zinetiko bilakatu da.

Inpultsoa eta momentu lineala

Bikotearen momentu lineal totala:

• Hasieran nulua da
• Amaieran m·v_m da

Bikoteak jasaten duen kanpo-indar totala bakarrik da, hormak egiten duen N erreakzioa. Indar horren iraupena t0 da. Indar horrek sortzen duen inpultsoak bikotearen momentu lineal totala aldatzen du, izan ere, m·vm.

Mugimenduaren bigarren atala

Mugimenduaren atal honetan hormaren N indarra amaitzen da eta partikulek jasaten duten indarra malgukiarena da soilik (indar bertikalen batura nulua da). Malgukiaren indarra hau da: F=k(l-(x-y)). Hemen (x-y) malguki deformatuaren luzera da eta l malgukiaren luzera naturala. Kanpo indarren erresultantea nulua denez, partikula-bikotea isolatua da.

Irudiak erakusten du:

• Goian, malgukia deformatu gabe.
• Erdian, malgukia uzkurtuta dagoen une bat. Une horretan malgukiaren luzera (x-y) bere luzera naturala (l) baino txikiagoa denez, orduan F indarra positiboa da eskumako partikularentzat eta negatiboa da ezkerrekoarentzat.
• Azpian, malgukia luzatuta dagoen une bat. Une horretan malgukiaren luzera (x-y) bere luzera naturala (l) baino handiagoa denez, orduan F indarra negatiboa da eskumako partikularentzat eta positiboa da ezkerrekoarentzat.

Hona hemen partikula bakoitzaren higidura-ekuazioak:

• Masa-zentroaren mugimendua

Ekuazio bi horiek batuz honako hau lortzen da:

Masa zentroaren azelerazioa nulua da, beraz abiadura konstanteaz mugitzen da. Bikotea multzo isolatua denez (N erreakzioa desagertu denetik), masa zentroaren azelerazioa nulua da eta bere abiadura konstantea, izan ere, t_o aldiunean zeukan abiadura, justu N erreakzioa desagertu denekoa.

Masa zentroak duen higidura uniformea da: bere posizioa honela adieraz daiteke: z=z₀+v_cm·(t-t₀), hemen z₀ hasierako posizioa da, justu t₀ aldiunekoa, aurreko atalean kalkulatu duguna.

• Partikula bien higidura erlatiboa

Bidertzen bada lehen ekuazio diferentziala, M bider, bigarrena, m bider, eta bien kenketa eginez, honako ekuazioa lortzen da:

edota

hemen ξ=x-y partikula bien posizio erlatiboa da. Ekuazio horrek adierazten du, partikula bien higidura erlatiboa dela, partikula bakar baten higidura bezalakoa. Partikula horrek masa laburbildua du (μ=mM/(m+M)) eta elkarren arteko barne-indarraren eraginpean soilik mugitzen da (F=k(l-ξ)).

Hona hemen ekuazio diferentzial horren soluzioa (soluzioa ekuazioan ordezkatuz egiazta daiteke):

A eta B konstanteak hasierako baldintzetatik kalkula daitezke. t=t₀ aldiunean:

• Partikulen posizioak hauek dira: x=l, y=0, beraz, ξ=x-y=l.
• Partikulen hasierako abiadurak: dx/dt=ω₁·d, dy/dt=0, beraz, dξ/dt=ω₁·d

Zenbait ordezkapen eginez, azken soluzioa lortzen da:

Partikula bakoitzaren higidura

Honezkero, masa zentroaren posizioa ezaguna da, z=(mx+My)/(m+M), eta partikulen posizio erlatiboa ere bai, ξ=x-y , denak denboraren menpe: τ=t-t₀.

Orduan ezezagun biko eta ekuazio biko sistematik x eta y bakan daitezke:

Bertan egiazta daiteke, bigarren atalaren hasieran, alegia τ=0, (t=t₀) partikulen hasierako posizioak egokiak direla: x=l, y=0.

Orduan deribatuz lortzen dira partikulen abiadurak edozein aldiunetan: (τ=t-t₀)

Hemen ere egiazta daitezke bigarren atalaren hasierako abiadurak: τ=0, (t=t₀), dx/dτ =ω₁·d, dy/dτ=0

Energiak:

Partikulen energia zinetiko totala:

Malgukiaren deformazioa: l-(x-y). Hortaz, energia potentzialaren adierazpena:

Multzoaren U energia totalak energia zinetikoa eta potentziala biltzen ditu:

Hauxe da, izan ere, malgukiaren hasierako energia potentziala, d distantzia zapalduta dagoenean.

Kanpo indarrek ez dute lanik egiten, ez bigarren atalean ezta lehenengoan ere, N erreakzioa M masari bultzatzen ari zaion bitartean ez delako mugitzen. Horregatik multzoaren U energia (bi partikulak eta malgukia) konstante mantentzen da eta hasierako balioa mantentzen du.

Hasieran, malgukia d distantzia zapaltzen da, eta zapalduta daukan energia potentziala bilakatu egiten da: izan ere, lehen atalaren amaieran osorik, m masadun partikularen energia zinetiko. Ondoren, bigarren atalean, partikula biek dute energia zinetikoa eta potentziala baina multzo isolatua direnez, energia totalak konstante izaten segitzen du.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Ezkerreko masa, m, (gorria) kg-tan, laukian idatziz.
• Eskumako masa, M, (urdina) kg-tan, laukian idatziz.
• Malgukiaren konstantea, k, N/m-tan laukian idatziz.
• Malgukiaren luzera naturala finkotzat hartu da: l=0.25 m

Berria botoia sakatu.

Mugitzen hasteko, malgukia zapaldu behar da; partikula gorria mugitu saguarekin ezkerrerantz (malgukia d distantzia zapaltzen da: hasierako egoera).

Hasi botoia sakatu.

Partikula biak nola mugitzen diren behatzen da (gorria eta urdina) eta bikotearen masa zentroa beltzez adierazten da. Leihatilaren goiko aldean grafikoki adierazten dira partikula bakoitzaren eta masa zentroaren posizioak denboraren menpe.

Higiduraren atal biak bereiz daitezke:

1. Lehen atalean, ezkerreko partikula ez da mugitzen horma bertikala ukitzen ari delako. Gezi beltz batek hormaren N erreakzioa adierazten du.
2. Bigarren atalean, hormaren indarra desagertzen da, beraz, multzo isolatua da eta partikula biak mugitzen dira elkarren arteko barne-indar soilaren eraginez.

Datuak aldatu eta esperimentu berri bat abiatzeko berriz ere berria botoia sakatu.

Adibidea:

• Demagun eskumako partikularen masa, m=1 kg
• Ezkerrekoaren masa, M=4 kg
• Malgukiaren konstante elastikoa, k=500 N/m

Hasi botoia sakatu.

Malgukia zapaldu saguarekin esaterako d=0.15 m distantzia, alegia eskumako partikularen posizioa x=0.1 m izan arte.

Hasi botoia sakatu.

Denbora-tarte batez (t<t₀) ezkerreko partikulak horma ukitzen du, baina justu une horretan: N=0.

Une horretan, hona hiru posizioak:

• Eskumako partikularena: x=0.25,
• Ezkerreko partikula: y=0.0.
• Masa-zentroa: 

Hona abiadurak:

• Eskumako partikulak: v_m=dω₁=0.15·22.36=3.35 m/s
• Ezkerreko partikulak: v_M=0
• Masa zentroak:

Masa zentroak une horretan daukan abiadura konstante mantentzen da aurrerantzean, alegia higiduraren bigarren atal osoan.

Partikula-multzoaren energia totala, U=kd²/2=500·0.15²/2=5.63 J, konstantea da higidura osoan zehar.