Dinamika

Marruskadura-indarra

Irristatzearen
marruskadura

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (I)

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (II)

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (III)

Marruskadura-indarra
plano inklinatuan

 Bloke bat arrastatzeko
angelu egokiena

Koefiziente estatikoa
neurtzen

Habe bat, euskarri
mugikor bitan etzanda

Xafla bat, gurpil
birakor bitan etzanda.

Bloke bi
elkarren gainean

Esperimentua deskribatzea

Saiakuntza

Marruskadura-indarra

Erreferentziak

Orri honetan ere marruskadura-indarra aztertzen da, bloke batek plano horizontal batean irristatzen duenean, baina adibide honek duen berrikuntza da, planoaren erreakzioa ez dela konstantea, aplikatutako indarraren angeluaren araberakoa baizik.

Demagun bloke bat, m masaduna, plano horizontal batean etzanda. Aplika diezaiogun T indar bat, baina ez horizontalki, θ angelua osatzen baizik. Zenbat balio beharko du indar horrek blokea mugitzen hasteko? Are gehiago, zein da θ angelu egokiena aplikatutako indarra minimoa izan dadin?

Planoa horizontala denean, erreakzioa, edo N  indar normala, eta blokearen mg pisua berdinak direla pentsatzea oso akats arrunta da. Akats bera ere gertatzen da planoa inklinatua denean, erreakzio normala eta pisuaren osagai normala (mgcosθ) berdinak direla uste izatea. Izan ere, orri honetako adibidean horixe aztertuko dugu, planoaren N erreakzioa gainontzeko indarren menpekoa dela.

Esperimentua deskribatzea

Esperimentu honetan gehien interesatzen zaigun atala oreka-baldintza da, alegia, blokea planoaren gainean geldi dagoenean, eta ez zaigu horrenbeste interesatzen irristatzen ari deneko egoera, besteak beste, kalkuluak konplikatuagoak direlako. Hala ere, higiduraren ekuazioak idatziko ditugu.

• Blokea pausagunean

Irudika ditzagun blokeak jasaten dituen lau indarrak:

Pisua:  mg Aplikatutako T  indarra, horizontalarekiko θ angelua osatzen. Planoak blokeari egiten dion erreakzioa: N Marruskadura-indarra: Fr.

Oreka-baldintzak honela idazten dira:

Tcosθ -F_r=0
Tsinθ+N -mg=0

Blokea irristatzen hasten denean marruskadura-indarra maximoa da, alegia F_r=μ_sN.  Hemen μ_s marruskadura-koefiziente estatikoa da, eta N planoaren eta blokearen arteko indarra, baina N=mg -Tsinθ

Ekuazio biko sistema horretatik T  bakan daiteke:   Ikusten denez, T indarra θ angeluaren menpekoa da.

Izan ere, lortutako funtzio horrek minimo bat dauka: horixe da, zein angeluz tiratu behar den blokea arrastaka eramateko ahal den indar gutxienarekin. Horri deitzen diogu angelu egokiena, beste edozein angelurekin indar gehiago behar delako. Angelu hori kalkulatzeko T  funtzioa deribatu behar da θ-rekiko eta zerora berdindu:

Eta emaitza da, blokea irristatzen hasteko aplikatu behar den T indar minimoa:

• Blokea mugitzen

Blokea irristatzen hasi orduko marruskadura-indarra gutxitu egiten da, μ_k marruskadura-koefiziente zinetikoa  μ_s koefiziente estatikoa baino txikiagoa izan ohi delako. Honako simulazioan zenbakizko balio arbitrario bat aukeratu da  μ_k=0.9 μ_s.

Dinamikaren ekuazioak aplikatu behar dizkiegu blokeari eta poleatik eskegita dauden pisuei.

• Blokearen mugimendua

Blokea norabide bertikalean orekan dago:

Tsinθ+N -mg=0

Plano horizontalean a azelerazioaz mugitzen da:

Tcosθ -F_r=ma  eta  F_r= μ_k·N

• Pisuen mugimendua

Platertxoan eskegita dauden pisuek A azelerazioa dute, ez da blokearen a azelerazio bera, erlazionatuta dago baina ez da erlazio sinplea.

Mg -T=MA

Hiru ekuazioetan ikusten denez, T, N, a eta A aldagaiak θ angeluaren menpekoak dira. Angelu hori ez da konstantea, irudian ikusten denez, blokearen x posizioaren menpekoa delako.

Beraz, azelerazioa aldakorra denez, orduan blokearen posizioa kalkulatzeko, denboraren menpe, ekuazio diferentziala osorik ebatzi behar da. Hasierako baldintzak: t=0, x=x₀, v=0. Ekuazio diferentziala ebazteko esaterako prozedura numerikoak erabil daitezke.

Saiakuntza

Idatzi behar da:

• Marruskadura-koefizientea, μ_s , dagokion laukian.
• Sokak horizontalarekiko osatzen duen angelua, desplazamendu-barrari saguaz eragiten edo laukian idatzi eta ENTER sakatu.
• Plano horizontalean dagoen blokearen masa finkoa hartu da: m=1 kg.

Berria botoia sakatu.

Sokatik tiratzeko, sokaren eskuin muturrean pisuak eskegi behar dira: saguaren ezkerreko botoiarekin pisua jaso, botoia sakatuta mantenduz eraman polearen eskuinaldera eta eskegitzeko botoia askatu.

Daukagun pisu-multzoarekin, ahalik eta gehien hurbildu behar gara marruskadura-indarraren mugako baliora, alegia m_sN, edo blokea irristatzen hasten deneko indarrera. 16 pisu dauzkagu, lau motatakoak:

• 5 gramo
• 25 g
• 100 g
• 500 g

Marruskadura-indarraren balio maximora ahalik eta gehien hurbiltzeko honelako prozedura jarrai daiteke:

1. Errepikatu botoia sakatu eta, hasteko, 500 g-ko pisua eskegi. Demagun blokeak ez duela irristatzen. Orduan 500 g-ko bigarren pisu bat eskegi. Demagun blokeak irristatzen duela.
2. Errepikatu botoia sakatu, 500 g-ko pisua eskegi eta ondoren 100g-ko pisua. Demagun blokeak ez duela irristatzen. Orduan 100 g-ko bigarren pisu bat eskegi. Demagun blokeak irristatzen duela.
3. Errepikatu botoia sakatu, eskegi 500 g-ko pisua, 100g-ko pisua, eta ondoren 25g-ko pisua. Demagun blokeak irristatzen duela.
4. Errepikatu botoia sakatu, eskegi 500 g-ko pisua, 100g-ko pisua, eta ondoren 5g-ko pisua. Demagun blokeak irristatzen duela.

Marruskadura-indarraren balio maximora, m_sN, ahalik eta gehien hurbiltzen den balioa hau da: (gainetik hurbilduta)

T=(500+100+5)·10.0/1000 =6.05 N

Grabitatearen azeleraziotzat g=10.0 m/s²  hartu da:

Gorde botoia sakatu, eta datu-bikotea idatzita gordetzen da (angelua, tentsioa) applet-aren ezker aldeko testu-zutabean

Grafikoa botoia sakatu.

Marra urdin batek adierazten du T tentsioa angeluaren menpe, alegia sokak horizontalarekin osatzen duen angelua blokea irristatzen hasten den unean:

Grafikoan bertan ere, tentsio minimoko angelua seinalatzen da, hau da, zein angeluz tiratu behar den blokea arrastaka eramateko ahal den indar gutxienarekin.

θ_mín=arctan(μ_s)

Emaitza "esperimentalak" puntu gorriez adierazten dira grafikoaren gainean. Puntu gorriak marra urdinetik hurbil badaude, prozedura  esperimentala "ondo" egin dela esan nahi du, alegia marruskadura-indarraren balio maximora, m_sN, ahalik eta gehien hurbildu garela.

Emaitza esperimental bat egiaztatzeko, esaterako θ=30º angelurako, kalkula dezagun T-ren balio zehatza:

Applet-aren goiko eta ezkerreko aldean blokeak jasaten dituen indarrak irudikatzen dira: Ohar bedi plano horizontalaren N erreakzioa ez dela blokearen mg pisuaren berdina, eta ez dela konstantea, T  tentsioaren edo sokaren θ angeluaren menpekoa baizik.

Marruskadura-indarra

Blokeak jasaten dituen indarrak lau dira:

Pisua:  mg Aplikatutako T  indarra, horizontalarekiko θ angelua osatzen. Planoak blokeari egiten dion erreakzioa: N Marruskadura-indarra: Fr.

Oreka-baldintzak honela idazten dira:

Tcosθ -F_r=0
Tsinθ+N -mg=0

Sokaren T  tentsioa emanda kalkula daitezke, planoak blokeari egiten dion erreakzioa (N), eta marruskadura-indarra (F_r ).

N =mg -Tsinθ

Planoak blokeari egiten dion N erreakzioa anulatzea posiblea da, hau da, blokea altxatu egin daiteke, baldintza hau betetzen bada: Tsinθ≥mg.  Bestalde, ez bada altxatzen, N>0 eta orduan F_r marruskadura-indarrak bi balio izan ditzake:

• Baldin T·cosθ <μ_s(mg-Tsinθ), blokea geldi dago eta orduan F_r=T·cosθ 

• Baldin T·cosθ ≥μ_s(mg-Tsinθ), blokeak irristatzen du eta orduan F_r=μ_k(mg-Tsinθ)

Hemen μ_s marruskadura-koefiziente estatikoa da.

Saiakuntza:

Idatzi:

• Marruskadura-koefiziente estatikoa,  μ_s, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Indarra/pisua zatidura, f=T/mg, dagokion laukian idazten.

• Kasu honetan marruskadura-koefiziente zinetiko arbitrario bat aukeratu da: μ_k = μ_s/2.

Grafikoa botoia sakatu.

Grafikoaren ardatz horizontalean, alegia angelua, lauki txiki gorri bat dago eta saguarekin ezker-eskumara desplaza daiteke angelua finkatzeko. Laukitxoa mugitzean, programak, aukeratutako θ angeluaren arabera, marruskadura indarra ematen du applet-aren goiko eta ezkerreko erpinean idatzita: f_r=F_r/mg

Planoak blokeari egiten dion N erreakzioa anulatu ez dadin, hau da, blokea altxa ez dadin, indarra/pisua idazterakoan, T/mg , unitatea baino txikiagoa izan behar da.

Applet-aren goiko eta eskumako erpinean, blokeak jasaten dituen indarrak irudikatzen dira, eta blokeak irristatzen duen ala orekan dagoen erabakitzen da.

Grafikoan hiru kurba adierazten dira θ angeluaren menpe, 0º eta 90º tartean:

• Lehenik: f·cosθ  urdinez eta gorriz.

• Berdez, μ_s(1-f·sinθ).

• Azkenik, μ_k(1-f·sinθ) urdinez eta gorriz ere.

• Goriz markatutako kurba-zatia marruskadura-indarra da, f_r, izan ditzakeen bi balioetatik zein dagokion hautatzeko; ikusten denez ez da jarraitua.

Kalkula dezagun, marruskadura-indarrak izan ditzakeen bi funtzio posibleak: f·cosθ  eta  μ_s(1-f·sinθ), zein θ angelutan ebakitzen diren:

f·cosθ =μ_s(1-f·sinθ)

Lehenik, ekuazio osoa cosθ,-z zatitu. Ondoren honako erlazioa ordezkatu: 1/cos²θ=1+tan²θ. Eta azkenik x=tanθ ordezkatuz honako ekuazioa geratzen da:

Atal biak karratura berretuz bigarren graduko ekuazioa geratzen da eta hona hemen bere soluzioak:

Hiru kasu gerta daitezke:

• Diskriminatzailea negatiboa bada, ez dago soluziorik.

f·cosθ <μ_s(1-f·sinθ) edozein θ angelurako.

1 adibidea:

Demagun  μ_s=0.6 eta f=0.5,

Egiazta dezagun diskriminatzailea negatiboa dela:  -0.02 .

Applet-aren grafikoan ikusten da, berde koloreko kurba, μ_s(1-f·sinθ) , beti dagoela gorri koloreko kurbaren gainetik, f·cosθ , edozein angelurako. Blokea beti egongo da geldi, orekan, eta marruskadura indarrak beti balioko du: f_r= f·cosθ

• Diskriminatzailea nulua bada:

Bigarren graduko ekuazioaren soluzioa bikoitza eta bakarra da. Hona hemen:

tanθ=x= μ_s

2 adibidea:

Demagun  μ_s=0.6, dela, f kalkula daiteke: f=0.514

Applet-aren grafikoan ikusten da, berde koloreko kurba, μ_s(1-f·sinθ) , beti dagoela gorri koloreko kurbaren gainetik, f·cosθ, baina justu angelu konkretu eta bakar batean berdinak dira: θ=31º. Blokea orekan dago, marruskadura-indarrak beti balioko du f_r= f·cosθ. baina justu angelu konkretu horretan blokea irristatzen hasiko da, eta behin irristatzen hasita, marruskadura indarraren balioa jaitsi egingo da: μ_k(1-f·sinθ)

• Diskriminatzailea positiboa bada:

Bigarren graduko ekuazioak soluzio bi ditu: x₁ eta x₂ . Bakoitza angelu bati dagokio: θ₁ eta θ₂, bietako bat beti da positiboa eta bestea positiboa izan daiteke baina negatiboa ere bai. Demagun biak direla positiboak, goiko irudiak erakusten duen bezala.

3 adibidea:

Demagun μ_s=0.6, eta indarra mugakoa baino handiagoa  f=0.55

Bigarren graduko ekuazioaren soluzioak kalkulatzen ditugu, x₁ eta x₂, eta dagozkien angeluak: θ₁=10.26 eta θ₂=51.66.

• 0< θ< θ₁ tartean:

f·cosθ  txikiagoa da μ_s(1-f·sinθ) baino: ondorioz blokea orekan dago eta marruskadura indarra honakoa da: f_r= f·cosθ

• θ₁≤ θ≤ θ₂  tartean:

f·cosθ  handiagoa da μ_s(1-f·sinθ) baino: ondorioz blokeak irristatzen du eta marruskadura indarra honakoa da: f_r= μ_k(1-f·sinθ)

• θ₂< θ< 90º tartean:

f·cosθ  txikiagoa da μ_s(1-f·sinθ) baino: ondorioz blokea orekan dago eta marruskadura indarra honakoa da: f_r= f·cosθ

Hortaz, bitarteko angelu-tartean (θ₁≤ θ≤ θ₂) blokeak irristatu egiten du, baina gainontzeko angeluetan blokea orekan dago.