Dinamika

Marruskadura-indarra

Irristatzearen
marruskadura

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (I)

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (II)

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (III)

Marruskadura-indarra
plano inklinatuan

Bloke bat arrastatzeko
angelu egokiena

Koefiziente estatikoa
neurtzen

Habe bat, euskarri
mugikor bitan etzanda

Xafla bat, gurpil
birakor bitan etzanda

Bloke bi
elkarren gainean

Adibideak

Saiakuntza

Orri honen helburua da irudiko hiru blokeek osatutako sistemaren mugimendua zehatz-mehatz aztertzea.

A blokea haritik eskegita dago eta hariaren beste muturra B blokean lotuta. B blokeak plano horizontalean irrist egin dezake marruskadurarik gabe. Poleak eta hariak dituzten masak arbuiagarriak dira blokeen masen aldean. B blokearen gainean C blokea kokatzen da. B eta C blokeen artean badago marruskadurarik.

Sistema honek B eta C blokeen arteko marruskadura-koefiziente estatikoa neurtzeko balio du. A blokearen masa handituz sistemaren azelerazioa handitzen joango da, eta halako batean C gorputzak irrist egingo du B blokearen gainean. Hiru blokeen masak ezagututa sistema osoaren azelerazioa kalkula daiteke eta hortik marruskadura-koefiziente estatikoa.

Oinarri fisikoak

Ondorengo irudiak hiru bloke isolatuen indar-diagramak erakusten ditu. Diagrama bakoitzak bloke baten higidura-ekuazioak planteatzeko balio du, baina zenbait egoera ezberdin agertzen dira:

• C blokea geldi dago B blokearen gainean.
  Bi blokeak batera mugitzen dira eta biek dute A blokearen azelerazio bera: a.

C blokea B blokearekin batera mugitzen da, B eta C blokeen arteko F_r marruskadura-indarrak eramaten duelako: B blokeak C blokeari F_r indarra egiten dio eskumarantz. Akzio-erreakzioaren printzipioaren arabera, C blokeak B blokeari F_r indarra egingo dio baina ezkerrerantz.

Hiru ekuazioak landuz lortzen da a azelerazioa eta B eta C blokeen arteko marruskadura-indarra.

• C blokea B blokearen gainean irristatzen hasiko den unea

Sistemaren a azelerazioa handitzen bada marruskadura-indarra (F_r=m_C·a ) handitzen joango da, baina marruskadurak ezin du balio maximoa gainditu: m _sN =m _sm_Cg . (Hemen m _s marruskadura-koefiziente estatikoa da). Marruskadura-indarrak balio hori atzematen duenean C blokea irristatzen hasiko da B blokearen gainean.

A blokearen masa handitzen, a azelerazioa handitzen da eta C blokea irristatzen hasiko den unean honako baldintza hau betetzen da:

C blokea irristatzen hasten den unean, m_A, m_B eta m_C-ren balio konkretuetatik a azelerazioa kalkula daiteke aurreragoko formulaz, eta ondoren, azken formularekin, marruskadura-koefiziente estatikoa.

• C blokea irristatzen ari da B blokearen gainean

A blokearen masa gero eta gehiago handituz a azelerazioa gehiago handituko da. C blokeak soberan irristatuko du B blokearen gainean. Marruskadura-indarra jaitsi egiten da balio maximoarekiko, eta bere balioa orain hau da:

F_r=m_km_C·g

Hemen m_k marruskadura-koefiziente zinetikoa da.

Dagoeneko B blokearen a azelerazioa eta C blokearen a' azelerazioa ez dira berdinak:

Argi ikusten da B blokearen a azelerazioa handiagoa dela C blokearen a' azelerazioa baino. Orduan C blokeak azelerazio erlatiboa du B-rekiko, hau da: a’-a. B blokearen gainean dagoen behatzaile baten ikuspegitik C blokea atzerantz mugitzen ari da  |a’-a| azelerazioaz.

C blokea irristatzen ari da B blokearen gainean, eta B blokearen luzera finitua bada, x, lehenago edo beranduago, amaitu egingo da. B blokearen amaierara iristeko tardatuko duen denborak honako ekuazioa beteko du:

C blokea B blokearen amaierara iristen den unean askatu egingo da, bere abiadura laborategiarekiko hau da:

Hemen t irristatzen egon den denbora da.

C blokea askatzen den unean, gainera, A eta B blokeen azelerazioa aldatu egingo da.

 

mAg -T=mA·a	A blokearen mugimendua
T =mB·a	B blokearen mugimendua

• C blokea B bloketik askatzen da

C blokea askatzen denean vC abiadura du, eskumarantz, eta aurrerantzean bere pisuaren eraginez mugituko da soilik. Beraz, ibilbide parabolikoa jarraituko du, alegia, grabitate konstantearen eraginpeko higidura kurboa.

Plano horizontalera erortzeko tardatuko duen denbora hau da:

Hemen h jakina, B blokearen altuera da.

Aurrerantz desplazatzen den distantzia horizontala:

x=v_Ct

• C blokeak plano horizontalean irristatzen du

C blokeak plano horizontala ukitzen duen unetik aurrera (erreboteak ahaztuz) marruskadura-indarra jasango du, eta apurka gelditzen joango da.

Demagun C blokearen eta plano horizontalaren arteko marruskadura-koefizientea C eta B blokeen arteko marruskadura-koefiziente bera dela. Orduan, C blokeak, hasieran v_C abiadura du eta plano horizontalean zehar irristatuko du, x distantzia, gelditzen den arte:

Adibideak

Demagun marruskadura-koefizienteak honakoak direla:

• Koefiziente estatikoa μ_s=0.34
• Koefiziente zinetikoa μ_k=0.25

B eta C blokeen masak finkoak hartu dira programa interaktiboan:

• B blokearen masa, m_B=2.5 kg

• C blokearen masa, m_C=1.5 kg

A blokearen masa aldatu egin daiteke.

1 adibidea

A blokearen masa, m_A=1.3 kg

Baldintza horietan, C blokea geldi  dago B blokearen gainean. Biak elkartuta desplazatzen dira honako azelerazioaz:

B eta C blokeen arteko F_r marruskadura-indarrak eramaten du C blokea aurrerantz:

F_r=m_C·a=1.5·2.4=3.60 N

Eta egiaztatzen da marruskadura-indar hori marruskadura maximoa baino txikiagoa dela:

F_r< μ_s·N=μ_s·m_C·g=0.34·1.5·9.8=5.0 N

2 adibidea

A blokearen masa, m_A=6.3 kg

Suposa dezagun C blokea geldi  dagoela B blokearen gainean. Orduan biak elkartuta desplazatuko lirateke dira honako azelerazioaz:

B eta C blokeen arteko F_r marruskadura-indarrak eramaten du C blokea aurrerantz:

F_r=m_C·a=1.5·5.99=8.99 N

Baina marruskadura-indarrak muga bat du, eta ezin da maximo horretatik pasa. Kalkulaturiko balio hori maximoa baino handiagoa da: F_r>μ_s·N=μ_s·m_C·g=0.34·1.5·9.8=5.0 N.  Hori ezinezkoa da.

• Beraz C blokea ez dago geldi, B blokearen gainean irristatzen du.

Eta C blokeak jasaten duen marruskadura-indarra zinetikoa da: F_r= μ_k·N= μ_k·m_C·g=0.25·1.5·9.8=3.67 N, eta bere azelerazioa honakoa: a'= μ_k·g=0.25·9.8=2.45 m/s²

A eta B blokeen azelerazioa ordea handiagoa da:

C blokeak irristatu egiten du atzerantz B blokearekiko, eta bien arteko azelerazio erlatiboa hau da: a-a'=4.15 m/s². B blokearen luzera 0.5 m denez, C blokea askatu egiten da t₁=0.49 s iragan ondoren, eta honako abiadura du aurrerantz: v_C=a'·t₁=2.45·0.49=1.20 m/s

Denbora horretan B blokea eskumarantz desplazatu da:

Eta honako abiadura izango du: v_B=a·t₁=6.60·0.49=3.24 m/s

C blokea B blokearen gainean eskuinerantz desplazatu da:

Aldiune horretatik aurrera A eta B blokeen azelerazioa aldatu egiten da:

• C blokea askatu ondoren ibilbide parabolikoa jarraitzen du lurrera iritsi arte.

B blokearen altuera 0.25 m denez, lurrera erortzeko tardatzen duen denbora t₂=0.23 s da.

C blokea airean desplazatzen da eskumarantz: v_C·t₂=1.20·0.23=0.27 m

C blokearen posizioa lurra ukitzean desplazamendu bien batura da:

x_C=0.30+0.27=0.57 m

Hori da C blokearen posizioa, eta aldiunea: t₁+t₂=0.49+0.23=0.72 s.

• C blokeak irristatu egiten du lurrean, gelditu arte.

C blokearen hasierako abiadura v_C  da, eta gelditu arte pasatzen den denbora:

C blokea irristatzen desplazatu den distantzia: 0.29 m

Gelditzen den aldiunea, t₁+t₂+t₃=0.49+0.23+0.49=1.21 s.

Eta gelditzen den posizioa x_C=0.57+0.29=0.86 m

C blokea askatu ondoren ere B blokeak desplazatzen segitzen du. Askatu den aldiunetik hasita, t₁=0.49 s, eta C blokea lurrean gelditzen den aldiunerarte, t=1.21 s, B blokea honenbeste desplazatu da:

Hona B blokearen posizio finala: x_B=0.79+4.15=4.94 m. (posizio hori ez da simulazioan agertzen ez dagoelako horrenbeste lekurik. Simulazioaren desplazamendu maximoa 2.3 m.).

3 adibidea

Marruskadura koefiziente estatikoa kalkulatzea.

B eta C blokeak elkarrekin mugitzen badira A blokearen masa handitzen joan behar da, harik eta C blokea B blokearen gainean irristatzen hasten den arte. Esaterako, A blokearen masa, m_A=2.0 kg denean C blokeak ez badu irristatzen, eta irristatzen hasten bada m_A=2.1 kg. denean.

Tartea gehiago estutu: A blokearen masa, m_A=2.05  denean C blokeak ez badu irristatzen, eta irristatzen hasten bada m_A=2.06 kg. denean.

Orduan har bedi m_A=2.05 kg eta kalkula bedi azelerazio kritikoa:

Marruskadura-koefiziente estatikoa hortik kalkula daiteke, a=m_sg,  Beraz, m_s=0.34 : egiazta bedi programa interaktiboak emandakoa.

Saiakuntza

Berria botoia sakatzen den bakoitzean programa interaktiboak zenbaki aleatorio bi asmatzen ditu: B eta C blokeen arteko  marruskadura-koefiziente estatikoa eta zinetikoa (betiere m_k<m_s).

B eta C blokeen masak finkoak hartu dira programa osoan zehar: m_B=2.5 kg eta m_C=1.5 kg. A blokearena aldakorra da sistemaren a azelerazioa aldatu ahal izateko. Gero Hasi botoia sakatu.

Marruskadura-koefiziente estatikoa neurtzeko, Hasi botoia sakatu. C blokeak ez badu irristatzen (B blokearekin batera mugitzen bada) A blokearen masa handitu eta berriz ere Hasi botoia sakatu. Errepika bedi behin eta berriz C blokeak irristatu arte.

Indarrak laukia aktibatuz, C blokeak jasaten dituen indarrak bektoreekin irudikatzen dira. Besteak beste, ikus daiteke B eta C blokeak elkarrekin mugitzen diren bitartean, marruskadura indarra handiagotzen doala sistemaren azelerazioa handitu ahala.

Marruskadura-indarrak bere balio maximoa atzematen duenean C blokea irristatzen hasten da B blokearen gainean. Orduan bi blokeek azelerazio ezberdinak dituzte eta C blokea atzeraka doa B-ren ikuspegitik.