Dinamika

Marruskadura-indarra

Irristatzearen
marruskadura

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (I)

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (II)

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (III)

Marruskadura-indarra
plano inklinatuan

Bloke bat arrastatzeko
angelu egokiena

Koefiziente estatikoa
neurtzen

Habe bat, euskarri
mugikor bitan etzanda

Xafla bat, gurpil
birakor bitan etzanda

 Bloke bi
elkarren gainean

Fase-diagrama

Saiakuntza

Erreferentzia

Aurreko orrietan, bloke baten higidura aztertu da plano zimurtsu baten gainean, bai planoa horizontala denean zein inklinatua denean.

Planoa horizontala denean, blokeak jasaten dituen indarrak lau dira:

Pisua: mg Planoaren erreakzioa: N=mg Marruskadura indarra: f, Aplikaturiko indarra: P.

Marruskadura indarrak limite bat du: F=μN, hortaz:

• Aplikaturiko P indarra F baino txikiagoa bada, orduan marruskadura-indarra eta aplikaturikoa berdinak dira: f = P.

Baldin P≤F  orduan f=P, eta blokeak pausagunean darrai: a=0

• Aplikaturiko P indarrak marruskaduraren F limitea gainditzen badu, orduan marruskadura-indarrak balio maximo hori egiten du, eta konstantea. Sinplifikatzearren marruskadura-koefiziente estatikoa eta zinetikoa berdinak hartuko dira  μ_k=μ_s.

Baldin P≥F  orduan  f=F,  eta blokeak irristatzen du honako azelerazioaz: a=(P-F)/m

Bloke bi mugitzen, elkarren gainean

Orri honetan ikusiko dugunez, bloke bi elkarren gainean mugitzen direnean, eta elkarrekiko irrist egin dezaketenean arazo konplikatua da.

Azpiko blokeari, m2 masadunari, P2 indarra aplikatzen zaio. Gaineko blokeari, m1 masadunari, P1 indarra aplikatzen zaio.

Bloke bien arteko marruskadura-indarrak gainazal bietako molekulen interakzioa mugatzen du:  f₁ deituko diogu, eta bere balio maximoa F₁ da.

Azpiko blokeak plano horizontalean zehar irristatzen du, euren arteko marruskadura-indarrari f₂ deituko diogu eta bere balio maximoari  F₂.

Gaineko blokeak jasaten dituen indarrak honakoak dira:

• Pisua:  m₁g , planetak egindakoa.

• Azpiko blokearen kontaktuaren erreakzio normala N₁=m₁g

• Azpiko blokeak egiten dion marruskadura-indarra:  f₁

• Aplikaturiko indarra: P₁

Azpiko blokeak jasaten dituen indarrak honakoak dira:

• Pisua: m₂g , planetak egindakoa.

• Gaineko blokearen kontaktuak egiten dion erreakzio normala: N₁

• Plano horizontalak egiten dion erreakzio normala: N₂=N₁+m₂g

• Plano horizontalak azpiko gainazalean egiten dion marruskadura-indarra: f_2,

• Gaineko blokeak gaineko gainazalean egiten dion marruskadura-indarra: f_1,

• Aplikaturiko indarra: P₂

Bloke bien artean bi indar daude:  f₁ marruskadura indarra eta N₁ erreakzio normala. Batak besteari egiten diona eta besteak batari egindakoa berdinak dira eta aurkako noranzkoak dituzte, akzio-erreakzioaren printzipioaren arabera.

Higiduraren ekuazioak honakoak dira:

P₁ -f₁=m₁a₁
P₂ -f₂+f₁=m₂a₂

eta  |f₁|≤F₁ eta  |f₂|≤F₂

Simetria dela-eta, erabat analogoa da bloke biak eskumarantz mugitzea P₁>0 eta P₂>0 direnean edo ezkerrerantz mugitzea P₁<0 eta P₂<0 direnean.

Era berean, gorputz biak mugitzeko moduak ere erabat analogoak dira P₂>0 eta P₁<0 direnean edo P₂<0 eta P₁>0 , baina alderantziz.

Orduan hemen bakarrik aztertuko dira bi kasu: P₂ beti positiboa eta P₁ ordea positiboa edo negatiboa.

Gainera sinplifikatzearren, F₂>F₁ hartuko da. Baldintza hori bete egiten da, besteak beste, marruskadura koefiziente guztiak berdinak badira: μ=μ_k=μ_s

F₂=μN₂=μ(m₁g+m₂g)
F₁=μN₁=μ(m₁g)

Fase-diagrama 

Beraz, P₂ indarra positibotzat hartzen bada eta P₁ ordea positiboa zein negatiboa izan daiteke, sei higidura-mota gerta daitezke:

• Bloke biak pausagunean jarraitzea, a₁=0, a₂=0.

• Gaineko blokea eskumarantz mugitzea, a₁>0, eta azpikoa pausagunean a₂=0.

• Bloke biak eskumarantz mugitzea baina azelerazio ezberdinekin: a₁>a₂ edo a₂>a₁

• Bloke biak azelerazio berdinarekin mugitzea: a₁=a₂

• Gaineko blokea ezkerrerantz mugitzea eta azpikoa eskumarantz: a₁<0 eta a₂>0

• Gaineko blokea ezkerrerantz mugitzea  a₁<0 eta azpikoa pausagunean a₂=0.

Kasu guzti horiek aztertzeko fase-diagrama bat irudika daiteke: ardatz horizontalean P₂ eta ardatz bertikalean P₁

0 Fasea (bloke biak pausagunean)

Bloke bien oreka-ekuazioak honakoak dira:

P₁ -f₁=0
P₂ -f₂+f₁=0

Gaineko blokea irristatzen hasiko litzateke honako baldintza betetzen denean: f₁=F₁. Beraz, gaineko bloke hori pausagunean egoteko nahitaez bete behar da: |P₁|<F₁

Azpiko blokea irristatzen hasiko litzateke f₂=F₂ denean. Baina azpiko bloke hori pausagunean egoteko baldintza hau bete behar da: |P₂+P₁|<F₂

Hortaz, "0 fasea"  honako hiru zuzenekin mugatzen da: 1) P₁= -P₂+F₂  zuzen inklinatua 2) P₁=F₁ zuzen horizontala eta 3) P₁= -F₁ zuzen horizontala. Irudian, kolore horiko eskualdeak fase hau adierazten du.

Zuzen inklinatuaren eta bi zuzen horizontalen arteko ebakidura-puntu biak hauek dira:

(F₂-F₁, F₁) eta (F₂+F₁, -F₁) ; puntuok diagraman adierazita daude.

• Marruskadura indarrek hau balio dute:

f₁=P₁
f₂=P₁+P₂

• Azelerazioek:

a₁=0
a₂=0

1 Fasea (gaineko blokea eskumarantz eta azpikoa geldi)

Baldin P₁≥F₁ gaineko blokea irristatzen hasten da eta marruskadura-indarra f₁=F₁.

Azpiko blokea ordea pausagunean dago baldin |f₂|<F₂, alegia, P₂<F₂-F₁ denean.

"1 fasea"  honako hiru zuzenekin mugatzen da: 1) P₂=0 zuzen bertikala  2) P₁=F₁ zuzen horizontala eta 3)  P₂=F₂-F₁ zuzen bertikala.

• Hona marruskadura-indarren balioak:

f₁=F₁
f₂=P₂+F₁

• Azelerazioek:

a₁=(P₁-F₁)/m₁>0
a₂=0

6 Fasea (gaineko blokea ezkerrerantz eta azpikoa geldi)

Gaineko blokea ezkerrerantz irristatzen hasteko P₁≤ -F₁ . Marruskadura indarrak noranzkoa aldatzen du f₁= -F₁.

Azpiko blokea pausagunean mantentzeko |f₂|<F₂, alegia P₂<F₂+F₁

Beraz 6 fasea hiru zuzenekin mugatzen da: 1) P₂=0, ardatz bertikala 2) P₁= -F₁ zuzen horizontala eta 3) P₂=F₂+F₁ zuzen bertikala.

• Marruskadura indarren balioak:

f₁= -F₁
f₂=P₂ -F₁

• Azelerazioak

a₁=(P₁+F₁)/m₁<0
a₂=0

5 Fasea  (gaineko blokea ezkerrerantz eta azpikoa eskumarantz)

Bloke biak aurkako noranzkoetan mugitzeko P₁≤ -F₁ eta P₂≥F₂+F₁ : gainekoa ezkerrera eta azpikoa eskumara.

• Marruskadura indarrak:

f₁= -F₁
f₂= F₂

• Azelerazioak:

a₁=(P₁+F₁)/m₁<0
a₂=(P₂-F₁-F₂)/m₂>0

3 Fasea (bloke biak eskumarantz azelerazio berdinaz)

Bloke biek azelerazio bera dute: a₁=a₂=a  gaineko blokeak ez badu azpikoarekiko irristatzen, hau da, |f₁|<F₁, baldintza betetzen bada. Azpiko blokeak ordea planoan irristatzen du: f₂=F₂.

Higiduraren ekuazioak:

P₁ -f₁=m₁a
P₂ -F₂+f₁=m₂a

Ekuazio biko sistema horretatik f₁ eliminatuz azelerazioa kalkula daiteke:

Eta a azelerazioa eliminatuz, f₁ marruskadura indarra kalkula daiteke:

Baina fase honetan |f₁|<F₁ beraz zuzen honek mugatzen du eskualde hau:

zuzenaren malda hau da: m₁/m₂ eta honako puntutik pasatzen da: (F₂-F₁, F₁) diagraman adierazita dago.

zuzenaren malda hau da: m₁/m₂ eta honako puntutik pasatzen da: (F₂+F₁, -F₁) diagraman adierazita dago.

f₁ marruskadura-indarraren noranzkoa aldatu egiten da eskualde honetan. f₁>0 eskualdea eta f₁<0 eskualdea banatzen dituen zuzenaren ekuazioa hain zuzen hau da: f₁=0.

m₂P₁-m₁P₂+m₁F₂=0

Eta hauxe da m₁/m₂ malda duen zuzena eta (F₂, 0) puntutik pasatzen dena:

• Marruskadura indarrak:

f₂= F₂

• Azelerazioiak:

2 Fasea (bloke biak eskumarantz azelerazio ezberdinekin)

1 fasetik 3 faserako trantsizio-eskualdea 2 fasea da. Bloke biek irristatzen dute:

• Marruskadura-indarrak:

f₁=F₁
f₂= F₂

• Azelerazioak:

a₁=(P₁-F₁)/m₁>0
a₂=(P₂+F₁-F₂)/m₂>0

Egiaztatzen da a₁>a₂

4 Fasea (bloke biak eskumarantz azelerazio ezberdinekin)

3 fasetik 5 faserako trantsizio-eskualdea 4 fasea da. Bloke biek irristatzen dute:

• Marruskadura-indarrak:

f₁= -F₁
f₂= F₂

• Azelerazioak:

a₁=(P₁+F₁)/m₁>0
a₂=(P₂-F₁-F₂)/m₂>0

Egiaztatzen da: a₁<a₂

Baldin P₁= -F₁ orduan a₁=0, eta hori da 4 eta 5 faseen arteko separazio-lerroa.

Saiakuntza

Idatzi beharrekoa:

• Gaineko blokearen masa: m₁, dagokion laukian eta kilogramotan.

• Azpiko blokearen masa m₂, dagokion laukian eta kilogramotan.

• Gainazalen arteko marruskadura koefizientea desplazamendu barrari saguaz eragiten; ohar bedi denak direla berdinak: μ=μ_k=μ_s .

• Grabitatearen azeleraziotzat hartu da: g=10 m/s².

Berria botoia sakatu datuok onartzeko.

Applet-aren goiko aldean, eta idatzitako datuen arabera, fase-diagrama irudikatzen da.

• Saguarekin, diagramaren gaineko puntu beltza mugituz, aplikaturiko bi indarrak alda daitezeke: P₁ eta P₂, gainekoari eta azpikoari hurrenez hurren.

Hasi botoia sakatu.

Applet-aren eskumako aldean, taula batean idatzita, honako datuak erakusten dira :

• Bloke biei aplikaturiko indarrak: P₁ eta P₂

• Marruskadura-indarrak: f₁ eta f₂

• Marruskadura-indarren balio maximoak: F₁ eta F₂

• Blokeen azelerazioak: a₁ eta a₂

Azpiko aldean bloke biak erakusten dira, elkarren gainean, eta jasaten dituzten indar guztiak bektoreen bitartez adierazita.

Gaineko blokeak irristatzen duen kasuetan, eta horren ondorioz azpiko blokea bukatzen zaionean, hortik aurrera simulazioan, erori beharrean, biak elkartuta mugitzen dira.

Egin bedi kalkulua idatziz (a₁, a₂, f₁ eta f₂) aplikaturiko indarren menpe (P₁ eta P₂) eta gero egiazta bedi programak ematen dituen emaitzekin.