Dinamika

Marruskadura-indarra

Irristatzearen
marruskadura

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (I)

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (II)

Koefiziente zinetikoa
neurtzen (III)

 Marruskadura-indarra
plano inklinatuan

Bloke bat arrastatzeko
angelu egokiena

Koefiziente estatikoa
neurtzen

Habe bat, euskarri
mugikor bitan etzanda

Xafla bat, gurpil
birakor bitan etzanda.

Bloke bi
elkarren gainean

Adibideak

Saiakuntza

Erreferentzia

Marruskadura-indarrak plano inklinatuan duen jokabidea Fisika-ikastaroetan aztertzen den ariketa arrunt bat da, baina normalean ez da zehatz-mehatz aztertzen, eta horixe da orri honetan analizatzen dena.

Bloke bat plano inklinatu batean kokatzen da, irudiak erakusten duen bezala. Bere masa  m₁ da eta maldaren angelua θ. Blokea soka batez lotuta dago beste bloke batekin, eta bigarren bloke hori polea baten bitartez eskegita. Bigarren blokearen masa m₂ da, eta poleak ez du ez marruskadurarik ezta masarik ere. Planoaren eta m₁ blokearen arteko marruskadura koefizientea μ da. Egin bedi sistema horren higiduraren analisi osoa.

Sinpletasunaren mesedetan marruskadura-koefiziente estatikoa eta zinetikoa berdinak direla suposatuko da: μ.

Deskribapena

Egoera posible bi analizatu behar dira:

1. Blokea mugitzen denean.
2. Blokea plano inklinatuaren gainean geldi dagoenean.

Marruskadura-indarrak norantz bultzatuko duen jakiteko aurreko egoera bien arabera jokatu behar da:

• Blokeak irristatzen badu, marruskadura-indarra beti da abiadura-bektorearen aurkakoa.
• Blokea geldi badago, marruskadura indarra da, blokeak jasaten dituen gainontzeko indarren erresultantearen aurkakoa.

1.      Blokeak planoaren gainean irristatzen du

• Blokea planoan zehar gorantz mugitzen bada:

Eskegita dagoen blokearen higidura-ekuazioa honakoa da:
m₂g -T=m₂a

Eta planoan zehar gorantz irristatzen ari den blokearen higidura ekuazioa:
T -m₁g·sinθ -Fr=m₁a

Planoaren erreakzioa kalkulatzeko:  N -m₁g·cosθ =0
Beraz marruskadura indarraren  balioa F_r=μ·N

Ekuazio horietatik a azelerazioa kalkula daiteke:

 

• Blokea planoan zehar beherantz mugitzen bada:

Marruskadura-indarraren noranzkoa aldatu egiten da. Berriz ere, higiduraren ekuazioak berridatz daitezke irudiko indar-diagramari jarraituz, eta emaitzan ikusten da gauza bat bakarrik aldatu dela: marruskadura indarraren terminoaren zeinua.

2. Blokea planoaren gainean geldi dago

Kasu horretan, sokaren tentsioa eta bigarren blokearen pisua berdinak dira: T=m₂g

Lehenengo blokeak jasaten duen marruskadura-indarra beste bi indarren erresultantearen aurkakoa da:

• Sokaren tentsioa: m₂g
• Pisuaren osagaia: m₁gsinθ
   

Sokaren tentsioa pisuaren osagaia baino handiagoa bada, orduan erresultantea gorantz izango da, eta hortaz marruskadura-indarra beherantz, blokeari gorantz irristatzea eragozten.

Baldin m₂g> m₁gsinθ   orduan   m₂g -m₁gsinθ -F_r=0    (1)

Pisuaren osagaia sokaren tentsioa baino handiagoa bada, orduan erresultantea beherantz izango da, eta hortaz marruskadura-indarra gorantz, blokeari beherantz irristatzea eragozten.

Baldin  m₂g< m₁gsinθ  orduan  m₂g -m₁gsinθ+F_r=0    (2)

Marruskadura indarra nulua ere izan daiteke gainontzeko indar bien erresultantea nulua bada: m₂g=m₁gsinθ. 

3. Blokea planoan zehar irristatzen hasten den unea

Blokeak ez badu irristatzen, planoaren θ inklinazio-angelua handitu daiteke eta, muga batera iritsita, irristatzen hasiko da. Une horretan hartzen du marruskadura-indarrak bere balio maximoa.

F_r=μN= μm₁gcosθ

Kalkula dezagun zein angelutan hasten den blokea irristatzen alde batera edo bestera.

Defini dezagun erlazio bat, m=m₂/m₁, indarren oreka-ekuazioa (1) sinpleago berridazteko: 

m -sinθ - μcosθ=0

Baina ekuazio hori osorik karratura berretuz eta sinuaren eta kosinuaren arteko erlazioa ordezkatuz (cos²θ=1-sin²θ) bigarren graduko ekuazioa geratzen da sinθ-ren menpe:

(1+μ²)sin²θ-2msinθ+(m²-μ²)=0

Prozedura bera errepikatzen bada (2) oreka-ekuazioarekin, bigarren graduko ekuazio bera lortzen da, eta bere soluzioa hau da:

Bigarren graduko ekuazio orok soluzio bi ditu diskriminatzailea positiboa bada:
1-m²+μ²≥0.

Eta soluzio biak errealak eta positiboak izan daitezen errorik txikiena positiboa izan behar da:

Ekuazioaren atal biak karratura berretuz ondoko desberdintza lortzen da:   m≥ μ

• Diskriminatzailea beti da positiboa m<1 baldin bada, hau da m₂<m₁ bada.

• Baina m>1 baldin bada, hau da, m₂>m₁, orduan soluzioak errealak dira soilik μ²≥m²-1 bada.

Adibideak

1. m=0.6 eta μ=0.4

Marruskadura-indarra nulua da m=sinθ  bada, hau da, θ=36.9º.

Bigarren graduko ekuazioa ebasterakoan soluzio bi lortzen dira: θ₁=12.05 eta θ₂=55.66

θ1 angeluak (2) oreka-baldintza betetzen du: m -sinθ +μcosθ=0 θ2 angeluak (1) oreka-baldintza betetzen du: m -sinθ - μcosθ=0 Hortaz, bi angeluen tartean, θ1 =12.05º-tik  θ2=55.66º-ra blokea geldi dago, planoaren gainean irristatu gabe.

• θ<θ₁ bada:

Planoaren inklinazioa θ₁ baino txikiagoa bada, orduan honakoa betetzen da: m₂g>m₁gsinθ  bestela esanda: m>sinθ  hortaz, blokeak planoan gorantz irristatzen du: a>0. Esaterako, θ=10º bada:

• θ>θ₂ bada:

Planoaren inklinazioa θ₂ baino handiagoa bada, orduan honakoa betetzen da: m₂g<m₁gsinθ  bestela esanda: m<sinθ  hortaz, blokeak planoan beherantz irristatzen du: a<0. Esaterako, θ=70º bada:

2. m=1.1 eta μ=0.6

Bigarren graduko ekuazioaren diskriminatzailea positiboa da, honako baldintza betetzen delako: μ²≥m²-1

Eta lortzen diren soluzio biak:  θ₁=39.64 eta θ₂=78.43.

m>1 denez, edozein angelutan betetzen da m>sinθ , beraz, soluzio biek betetzen dute (1) oreka-ekuazioa: m-sinθ- μcosθ=0 Beraz, angelu bien tartean, θ1 =39.64º-tik θ2=78.43º-ra blokea geldi dago, planoaren gainean irristatu gabe.

• θ<θ₁ bada

Planoaren inklinazioa θ₁ baino txikiagoa bada, orduan blokeak planoan gorantz irristatzen du: a>0. Esaterako, θ=30º bada:

• θ>θ₂ bada

Planoaren inklinazioa θ₂ baino handiagoa bada, orduan blokeak berriz ere planoan gorantz irristatzen du : a>0. Esaterako, θ=80º bada:

a=0.05 m/s²

3. m=1.2 eta μ=0.6

Bigarren graduko ekuazioak ez du soluzio errealik: diskriminatzailea negatiboa da ondoko baldintza ez delako betetzen: μ²≥m²-1

Planoaren angelua edozein izanda ere, blokeak gorantz irristatzen du. Esaterako θ=30º , bada:

a=0.80 m/s²

Saiakuntza

Idatzi behar da:

• Blokearen masa laukian, bigarren blokearena idatzi behar da: m₂.
• Marruskadura-koefizientea laukian, planoaren eta 1 blokearen artekoa: μ.
• Lehenengo blokearen masa finkoa hartu da: m₁=1 kg.

Hasteko Berria botoia sakatu.

• Planoaren θ inklinazio-angelua aldatzeko, desplazamendu barrari saguaz eragin edo idatz bedi angelua dagokion laukian eta ENTER sakatu.

Hasi botoia sakatu.

Applet-aren ezkerraldean adierazpen grafikoa erakusten da: blokearen a azelerazioa planoaren θ inklinazio-angeluaren menpe.

Puntu gorri batek kurba urdinaren gainean azken baldintzak adierazten ditu: planoaren angelua eta blokearen azelerazioa, aukeratu diren balioetarako.

Eskumako eta goiko aldean, blokeak jasaten dituen indarrak adierazten dira. Behatzeko interesgarriena da marruskadura-indarraren noranzkoa (gezi gorria) aldatu egiten dela aukeratutako balioen arabera, adibideak atalean azaldu den bezalaxe.