Fluidoak |
Fluidoen estatika
Solidoen eta likidoen dentsitateak nola neurtu Flotazioa bi likido nahastezinetan Hagatxo bat orekan partzialki murgilduta Gorputz bat fluido ideal batean zehar mugitzen Burbuila bat fluido likatsu batean mugitzen Hondoratutako barku bat azalera ekartzea Buia baten oszilazioak Esfera baten oszilazioak Descartesen deabrutxoa |
Arkimedes-en printzipioa
Gorputz baten energia potentziala, fluido batean zehar mugitzen |
||||||
Arkimedes-en printzipioaArkimedes-en printzipioaren arabera, fluido batean murgildutako edozein gorputzek goranzko bultzada jasaten du, izan ere deslekuratutako fluidoaren pisua. Arkimedes-en printzipioaren azalpenak bi atal ditu, irudiak erakusten duen bezala:
Fluidoaren zati bat orekan Lehenik, azter dezagun orekan dagoen fluidoaren zati bat. Inguruko fluidoak gainazaletan egiten dion presio-indarra p·dS da, alegia, fluidoaren p presioa bider gainazalaren dS azalera. Presioa sakoneraren menpe soilik aldatzen da. Fluido-zatia orekan dagoenez, halabeharrez, presio-indarren erresultantea eta fluido-zatiaren pisua berdinak izan behar dute. Presio-indarren erresultantea kalkulatzea zaila da, baina bultzada deituko diogu eta fluido-zatiaren masa-zentroan aplikatuko dugu. Hala ere, bultzada eta fluido-zatiaren pisua berdinak izan behar dutenez: Bultzada=pisua=rf·gV Fluido-zatiaren pisua da, fluidoaren rf dentsitatea, bider g grabitatearen azelerazioa, bider fluido zatiaren V bolumena. Fluidoaren zati hori ordezkatu, bere forma bera eta tamaina bera daukan solido batez. Fluido zatia ordezkatzen badugu, eta bere lekuan solido bat jartzen badugu, tamaina berekoa eta forma berekoa, presio-indarren erresultantea ez da aldatuko, alegia, inguruko fluidoak egiten duen bultzada berdina izango da eta puntu berean aplikatzen da, hau da, bultzada-zentroan. Aldatzen den indar bakarra pisua da, alegia, fluido zatiak zeukana edo ordezko solidoak daukana ez dute zertan berdinak izan.
Adibidea:Demagun gorputz solido bat, paralelepipedo formakoa, likidotan murgilduta; dei diezaiogun likidoaren dentsitateari ρf , solidoaren dentsitateari ρ, azalerari A eta altuerari h, irudiak erakusten duen bezala. Gorputz solidoaren gaineko aldean presioak p1= ρfgx balio du eta azpiko aldean, berriz, p2= ρfg(x+h). Alboetako gainazaletan presioa aldatuz doa, sakoneraren arabera, p1 eta p2 artean. Hala ere, alboetako gainazaletan indarrak baliogabetu egiten dira bata bestearen aurkakoak direlako eta, azkenean, indar bertikalak bakarrik geratzen dira:
Orekan, hiru indar bertikalk baliogabetu egiten dira: mg+p1·A=
p2·A edo bestela esanda: mg=ρfh·Ag Azpialdeko presioa handiagoa da (p2) eta gainaldekoa txikiagoa (p1), baina bien arteko diferentzia konstantea da: ρfgh. Bi presioen arteko erresultantea goranzko indar bat da, ρfgh·A . Indar hori da inguruko fluidoak gorputz solidoari egiten dion presio-indar erresultantea. Ikusten denez, Arkimedesen bultzada presio-indarren diferentzia da, gainaldearen eta azpialdearen artean. Azalpen horren harira, beste galdera interesgarri bat sortzen da. Demagun gorputz solidoak behealde laua daukala (zilindrikoa edo paralelepipedoa) eta bere dentsitatea fluidoarena baino handiagoa dela, beraz, ontziaren hondoraino joango da. Gorputzak hondoa jotzen duenean, ontziaren eta gorputz solidoaren artean fluidoa desagertzen bada, fluidoaren bultzada desagertu egiten ote da? (irudiak erakusten duen bezala?). Ontzi bat urez bete eta gorputz bat hondoa ukitzen kokatzen badugu, gorputzak jasango dituen indarrak honakoak dira: pisua (mg) eta gainaldeko presio-indarra (p1A). Goranzko indar bakarra zoruaren erreakzio normala da. Beraz, gorputza hondoan lotuta geratuko litzateke, baita urak baino dentsitate txikiagoa balu ere. Esperientziak dio gorputzak flotatu eta gainazalera irteten dela, ura azpitik ere sartzen zaiolako. Arkimedes-en printzipioa erabilgarria da kasu guztietan eta honela adierazten da hitzez:
Energia potentzial minimoa.Atal honetan Arkimedes-en printzipioa aztertuko dugu ere, baina beste ikuspegi ezberdin batetik, alegia, nola Naturak energia minimizatzeko joera daukan.
Demagun gorputz solido bat paralelepipedo formakoa (A sekzioa, h altuera eta ρs dentsitatea). Fluidoa ontzi batean dago S sekzioduna eta b sakoneraduna. Fluidoaren dentsitatea ρf> ρs, beraz, gorputzak flotatu egiten du. Gorputza likidotan askatu eta oszilatu egingo du, gora eta behera, orekara iritsi arte. Orekan, murgildutako zatiari dei diezaiogun, x, eta likidoaren mailak gorantz egin du: dei diezaiogun altuera berriari, d, irudiak erakusten duen bezala. Likido-kantitate totala ez denez aldatu: S·b=S·d−A·x Eta hortik idatz daiteke: Oraindik ezezaguna da x, baina sistema osoaren energia potentziala planteatzen badugu (gorputz solidoarena gehi fluidoarena), ikusiko dugu minimoko baliora iristen dela. Energia potentzial grabitatorioa idazteko, har dezagun ontziaren hondoa altueren erreferentzia gisa. Gorputz flotatzailearen masa-zentroaren altuera hau da: d−x+h/2. Beraz, bere energia potentziala: Es=(ρs·A·h)g(d−x+h/2) Bestalde, fluidoaren masa-zentroa kalkulatzeko, har dezagun ondoko irudia, alegia, S sekziodun eta d altueradun solido bat, baina zati bat faltan duena, izan ere, A sekziodun eta x altueradun zatia.
Beraz figura osoaren masa-zentroa: Eta, beraz, fluidoaren energia potentziala: Ef=ρf(Sb)g·yf Orduan, energia potentzial totala: Ep=Es+Ef Energia potentzialaren konstante gehigarria alda daiteke, altuerentzat beste erreferentzia ezberdin bat aukeratzen badugu, ontziaren hondoaren ordez. Ondoko irudiak erakusten du multzo osoaren energia potentzial grabitatorioa, Ep(x) (solidoarena gehi likidoarena) gorputz flotatzailearen x sakoneraren menpe (gorputzaren altuera h=1.0, dentsitatea ρs=0.4 eta fluidoaren dentsitatea ρf=1.0) Funtzio horrek minimo bat dauka; esate baterako, deribatuz kalkula daiteke, energia potentzialaren deribatua x-rekiko eta nulua izan behar dela inposatuz: Eta oreka posizioan gorputz murgilduaren sakonera hau ateratzen da:
Gorputz baten energia potentziala, fluido batean zehar mugitzen
Indar bat kontserbakorra bada, dagokion energia potentziala kalkula daiteke posizioarekiko integratuz.
Aldiz, energia potentziala emanda, indarra lortzeko deribatu egin behar da, posizioarekiko: Bi indar kontserbakorrak elkartuz, energia potentziala ere elkar daiteke: Ep=(mg− rfVg)y Globoa gorantz desplazatzen den heinean marruskadura indarra ere jasaten du, Fr inguruko aireak eraginda. Globoa abiadura konstanteaz igotzen ari bada, jasaten dituen indar guztien erresultantea nulua izan behar da: rf Vg− mg−Fr=0 Baina rfVg> mg denez, (bultzada pisua baino handiagoa) bere Ep energia potentziala gutxituz doa gorantz igotzen den heinean. Energiaren balantzea planteatuz, ondorio bera lortzen da: Fnc indar ez kontserbakorren lanak energia totala aldatzen du (zinetikoa gehi potentziala). Baina marruskadura indarraren lana beti negatiboa denez, eta Ek energia zinetikoa aldatzen ez denez (abiadura konstantea), ondoriozta dezakegu amaierako EpB energia potentziala hasierako EpA baino txikiagoa izan behar dela. Ondorengo kapitulu batean ikusiko dugu "gorputz bat fluido ideal batean zehar mugitzen": gorputzaren dinamika aztertuko dugu, eta kalkulatuko dugu energiaren kontserbazio-printzipioa.
Partzialki murgildutako gorputz baten energia potentzialaAurreko atalean aztertu dugu gorputz baten energia potentziala, fluido batean zehar mugitzen baina gorputza fluidotan erabat murgilduta (helio-globo bat airetan). Demagun orain bloke zilindriko bat fluido baten gainazalean flotatzen (adibidez uretan). Kasu bi gerta daitezke:
Gorputza partzialki murgilduta dagoenean, gorputzak bi indar jasaten ditu: bata pisua: mg=rsSh·g , eta bestea bultzada: rfSx·g. Pisua konstantea da baina bultzada, ordea, ez. Honela idazten da erresultantea: F=(−rsShg+rfSxg)j. S blokearen sekzioa da, h altuera eta x murgildutako zatia. Kasu hau eta malguki elastiko bertikal batena antzekoak dira. Energia potentzial grabitatorioa, mgy , gutxitu egiten da altuera gutxituz eta malgukiaren energia potentzial elastikoa, berriz, kx2/2 , handitu. Hala ere, bi energien baturak minimo bat dauka, hain zuzen, oreka-posizioan, izan ere, honako baldintza betetzen den posizioan: mg+kx=0, (pisua eta malgukiaren indarra berdintzen diren posizioan). Ep energia potentzialaren minimoa lortzen da bere deribatua y posizioarekiko nulua denean, alegia, oreka-posizioan: Partzialki murgildutako gorputz batean ere, energia potentziala honela idatz daiteke eta ondoren deribatu: Minimoa izateko, deribatu hori nulua izan behar da, alegia, −rsShg+rfSxg=0, eta hortik, murgildutako sakonera kalkula daiteke: blokea x distantzia murgiltzen da. Formula horretako azken adierazpenean, solidoaren r dentsitate erlatiboa idatzi da (alegia, solidoaren dentsitatea baina fluidoaren dentsitatea unitatetzat hartuta).
Blokeak jasandako indarrak
Energia potentzialaren kurbak
SaiakuntzaAukeran idatz daiteke:
Blokearen altuera h=1 da, eta sekzioa S. Blokea justu likidoaren gainazalean kokatzen da. Bere masa-zentroaren altuera y0=1.5 unitate. Blokea askatu egiten da eta oreka-posizioraino iristen da: ye= r h, baldin solidoaren dentsitatea r <1 bada, edota ontziaren hondoraino iristen da dentsitate erlatiboa r >1 bada. Programa interaktiboak ez du bitarteko kalkulurik egiten, alegia ez du kalkulatzen hasierako posiziotik amaierako posiziora nola eta noiz iristen den. Programa honen helburua soilik da energia potentzialaren bi atalak erakustea eta energia potentzial totalak zein baldintzatan daukan minimo bat. Leihatilaren eskumako aldean, grafikoki erakusten dira honako aldagaiak, blokearen m.z.-ren y altueraren menpe:
Energia potentzial grabitatorioa, Eg, lerro zuzena da, maximoa hasierako posizioan, y=1.5, eta nulua ontziaren hondoan, y=0. Bultzadari dagokion kurba, berriz, Ef , pixka bat konplikatuagoa da, bi atal baititu: gorputza partzialki murgilduta dagoen bitartean parabola da (x<h edo y>0.5) , eta lerro zuzena da gorputza guztiz murgilduta dagoenean (x³ h edo y£ 0.5). Hasieran energia potentziala nulua da eta handituz doa gorputza fluidoan murgiltzen den heinean. Energia potentzial totalaren kurba, Ep, aurreko bi energia potentzialen batura da: Ep=Eg+Ef Kurba hauek marrazteko, erreferentzia gisa hartu da blokearen hasierako energia potentziala: rsShg·y0 baina honako datuak ordezkatuta: y0=1.5, h=1 eta rs=r , alegia solidoaren dentsitate erlatiboa rs=1. Horrela, blokearen hasierako energia potentzialak bat balio du. Hala ere, hiru kasu ezberdin sortzen dira:
|
Reed B. C. Archimedes' law sets a good energy-minimization example. Physics Education, 39 (4) July 2004, pp. 322-323.
Keeports D. How does the potential energy of a rising helium-filled balloon change?. The Physics Teacher, Vol 40, March 2002, pp. 164-165.
Silva A., Archimedes' law and the potential energy: modelling and simulation with a spreadsheet. Phys. Educ. 33 (2) March 1998. pp. 87-92.
Bierman J, Kincanon E. Reconsidering Archimedes’ principle. The Physics Teacher, Vol 41, September 2003, pp. 340-344.