Fluidoak

Fluidoen estatika

Arkimedes-en printzipioa

Solidoen eta likidoen 
dentsitateak nola neurtu

Flotazioa bi likido
nahastezinetan

Hagatxo bat orekan
partzialki murgilduta

Gorputz bat fluido ideal
batean zehar mugitzen

Burbuila bat fluido
likatsu batean mugitzen

Hondoratutako barku
bat azalera ekartzea

Buia baten oszilazioak

Esfera baten oszilazioak

Descartesen deabrutxoa

Energia potentzial minimoa

Gorputz baten energia potentziala, fluido batean zehar mugitzen

Partzialki murgildutako gorputz baten energia potentziala

Saiakuntza

Arkimedes-en printzipioa

Arkimedes-en printzipioaren arabera, fluido batean murgildutako edozein gorputzek goranzko bultzada jasaten du, izan ere deslekuratutako fluidoaren pisua.

Arkimedes-en printzipioaren azalpenak bi atal ditu, irudiak erakusten duen bezala:

1. Orekan dagoen fluido baten zati bat aztertu ea zein indar jasaten dituen.
2. Fluidoaren zati hori ordezkatu, bere forma bera eta tamaina bera daukan solido batez.

Fluidoaren zati bat orekan

Lehenik, azter dezagun orekan dagoen fluidoaren zati bat. Inguruko fluidoak gainazaletan egiten dion presio-indarra  p·dS da, alegia, fluidoaren p presioa bider gainazalaren dS azalera. Presioa sakoneraren menpe soilik aldatzen da.

Fluido-zatia orekan dagoenez, halabeharrez, presio-indarren erresultantea eta fluido-zatiaren pisua berdinak izan behar dute. Presio-indarren erresultantea kalkulatzea zaila da, baina bultzada deituko diogu eta fluido-zatiaren masa-zentroan aplikatuko dugu. Hala ere, bultzada eta fluido-zatiaren pisua berdinak izan behar dutenez:

Bultzada=pisua=r_f·gV

Fluido-zatiaren pisua da, fluidoaren r_f  dentsitatea, bider g grabitatearen azelerazioa, bider fluido zatiaren V bolumena.

Fluidoaren zati hori ordezkatu, bere forma bera eta tamaina bera daukan solido batez.

Fluido zatia ordezkatzen badugu, eta bere lekuan solido bat jartzen badugu, tamaina berekoa eta forma berekoa, presio-indarren erresultantea ez da aldatuko, alegia, inguruko fluidoak egiten duen bultzada berdina izango da eta puntu berean aplikatzen da, hau da, bultzada-zentroan.

Aldatzen den indar bakarra pisua da, alegia, fluido zatiak zeukana edo ordezko solidoak daukana ez dute zertan berdinak izan.

Beraz, gorputz solidoak jasaten dituen bi indarrak (pisua eta bultzada), printzipioz ez dute zertan berdinak izan, ezta puntu berean aplikatu. Kasurik sinpleenetan, bai solidoa bai fluidoa, homogeneoak dira eta, horrela bada, gorputzaren masa-zentroa eta bultzada-zentroa puntu bera dira.

Adibidea:

Demagun gorputz solido bat, paralelepipedo formakoa, likidotan murgilduta; dei diezaiogun likidoaren dentsitateari ρ_f , solidoaren dentsitateari  ρ, azalerari A eta altuerari h, irudiak erakusten duen bezala.

Gorputz solidoaren gaineko aldean presioak p₁= ρ_fgx balio du eta azpiko aldean, berriz, p₂= ρ_fg(x+h). Alboetako gainazaletan presioa aldatuz doa, sakoneraren arabera, p₁ eta p₂ artean. Hala ere, alboetako gainazaletan indarrak baliogabetu egiten dira bata bestearen aurkakoak direlako eta, azkenean, indar bertikalak bakarrik geratzen dira:

• Gorputz solidoaren pisua, mg

• Gainaldeko presio-indarra, p₁·A

• Azpialdeko presio-indarra, p₂·A

Orekan, hiru indar bertikalk baliogabetu egiten dira:

mg+p₁·A= p₂·A
mg+ρ_fgx·A= ρ_fg(x+h)·A

edo bestela esanda:

mg=ρ_fh·Ag

Azpialdeko presioa handiagoa da (p₂) eta gainaldekoa txikiagoa (p₁), baina bien arteko diferentzia konstantea da: ρ_fgh. Bi presioen arteko erresultantea goranzko indar bat da, ρ_fgh·A . Indar hori da inguruko fluidoak gorputz solidoari egiten dion presio-indar erresultantea. Ikusten denez, Arkimedesen bultzada presio-indarren diferentzia da, gainaldearen eta azpialdearen artean.

Azalpen horren harira, beste galdera interesgarri bat sortzen da. Demagun gorputz solidoak behealde laua daukala (zilindrikoa edo paralelepipedoa) eta bere dentsitatea fluidoarena baino handiagoa dela, beraz, ontziaren hondoraino joango da.

Gorputzak hondoa jotzen duenean, ontziaren eta gorputz solidoaren artean fluidoa desagertzen bada, fluidoaren bultzada desagertu egiten ote da? (irudiak erakusten duen bezala?).

Ontzi bat urez bete eta gorputz bat hondoa ukitzen kokatzen badugu, gorputzak jasango dituen indarrak honakoak dira: pisua (mg) eta gainaldeko presio-indarra (p₁A). Goranzko indar bakarra zoruaren erreakzio normala da. Beraz, gorputza hondoan lotuta geratuko litzateke, baita urak baino dentsitate txikiagoa balu ere. Esperientziak dio gorputzak flotatu eta gainazalera irteten dela, ura azpitik ere sartzen zaiolako.

Arkimedes-en printzipioa erabilgarria da kasu guztietan eta honela adierazten da hitzez:

Energia potentzial minimoa.

Atal honetan Arkimedes-en printzipioa aztertuko dugu ere, baina beste ikuspegi ezberdin batetik, alegia, nola Naturak energia minimizatzeko joera daukan.

Demagun gorputz solido bat paralelepipedo formakoa (A sekzioa, h altuera eta ρ_s dentsitatea). Fluidoa ontzi batean dago S sekzioduna eta b sakoneraduna. Fluidoaren dentsitatea ρ_f> ρ_s, beraz, gorputzak flotatu egiten du.

Gorputza likidotan askatu eta oszilatu egingo du, gora eta behera, orekara iritsi arte. Orekan, murgildutako zatiari dei diezaiogun, x, eta likidoaren mailak gorantz egin du: dei diezaiogun altuera berriari, d, irudiak erakusten duen bezala. Likido-kantitate totala ez denez aldatu: S·b=S·d−A·x

Eta hortik idatz daiteke:

Oraindik ezezaguna da x, baina sistema osoaren energia potentziala planteatzen badugu (gorputz solidoarena gehi fluidoarena), ikusiko dugu minimoko baliora iristen dela.

Energia potentzial grabitatorioa idazteko, har dezagun ontziaren hondoa altueren erreferentzia gisa.

Gorputz flotatzailearen masa-zentroaren altuera hau da:  d−x+h/2.

Beraz, bere energia potentziala: E_s=(ρ_s·A·h)g(d−x+h/2)

Bestalde, fluidoaren masa-zentroa kalkulatzeko, har dezagun ondoko irudia, alegia, S sekziodun eta d altueradun solido bat, baina zati bat faltan duena, izan ere, A sekziodun eta x altueradun zatia.

• S·d bolumeneko zati osoaren masa-zentroa d/2 da.

• Hutsuneak A·x bolumena du eta bere masa-zentroaren posizioa: (d-x/2)

Beraz figura osoaren masa-zentroa:

Eta, beraz, fluidoaren energia potentziala:  E_f=ρ_f(Sb)g·y_f

Orduan, energia potentzial totala: E_p=E_s+E_f

Energia potentzialaren konstante gehigarria alda daiteke, altuerentzat beste erreferentzia ezberdin bat aukeratzen badugu, ontziaren hondoaren ordez.

Ondoko irudiak erakusten du multzo osoaren energia potentzial grabitatorioa, E_p(x) (solidoarena gehi likidoarena) gorputz flotatzailearen x sakoneraren menpe (gorputzaren altuera h=1.0, dentsitatea ρ_s=0.4 eta fluidoaren dentsitatea ρ_f=1.0)

Funtzio horrek minimo bat dauka; esate baterako, deribatuz kalkula daiteke, energia potentzialaren deribatua x-rekiko eta nulua izan behar dela inposatuz:

Eta oreka posizioan gorputz murgilduaren sakonera hau ateratzen da:

Gorputz baten energia potentziala, fluido batean zehar mugitzen

Adibidez, helioz betetako globo bat gorantz desplazatzen ari denean, honako indarrak jasaten ditu: Globoaren pisua, Fg= –mgj . Inguruko airearen goranzko bultzada, Fe= rfVgj, airearen dentsitatea rf . Marruskadura-indarra, Fr , inguruko aireak beherantz eraginda.

Indar bat kontserbakorra bada, dagokion energia potentziala kalkula daiteke posizioarekiko integratuz.

• Indar kontserbakorra pisua bada, F_g= –mgj , hona hemen ateratzen den energia potentziala: E_g=mg·y.
• Era berean, airearen bultzada hartuta, F_e= rVg j honako energia potentziala ateratzen da: E_e= −r_fVg·y.

Aldiz, energia potentziala emanda, indarra lortzeko deribatu egin behar da, posizioarekiko:

Bi indar kontserbakorrak elkartuz, energia potentziala ere elkar daiteke:

E_p=(mg− r_fVg)y

Globoa gorantz desplazatzen den heinean marruskadura indarra ere jasaten du, F_r  inguruko aireak eraginda. Globoa abiadura konstanteaz igotzen ari bada, jasaten dituen indar guztien erresultantea nulua izan behar da:

r_f Vg− mg−F_r=0

Baina r_fVg> mg denez, (bultzada pisua baino handiagoa) bere E_p energia potentziala gutxituz doa gorantz igotzen den heinean.

Energiaren balantzea planteatuz, ondorio bera lortzen da:

F_nc indar ez kontserbakorren lanak energia totala aldatzen du (zinetikoa gehi potentziala). Baina marruskadura indarraren lana beti negatiboa denez, eta E_k energia zinetikoa aldatzen ez denez (abiadura konstantea), ondoriozta dezakegu amaierako E_pB energia potentziala hasierako E_pA baino txikiagoa izan behar dela.

Ondorengo kapitulu batean ikusiko dugu "gorputz bat fluido ideal batean zehar mugitzen": gorputzaren dinamika aztertuko dugu, eta kalkulatuko dugu energiaren kontserbazio-printzipioa.

Partzialki murgildutako gorputz baten energia potentziala

Aurreko atalean aztertu dugu gorputz baten energia potentziala, fluido batean zehar mugitzen baina gorputza fluidotan erabat murgilduta (helio-globo bat airetan). Demagun orain bloke zilindriko bat fluido baten gainazalean flotatzen (adibidez uretan).

Kasu bi gerta daitezke:

• Blokea partzialki murgiltzea, solidoaren dentsitatea fluidoarena baino txikiagoa bada: r_s< r_f.
• Blokea erabat murgiltzea dentsitate handiagoa badu: r_s³ r_f.

Gorputza partzialki murgilduta dagoenean, gorputzak bi indar jasaten ditu: bata pisua: mg=r_sSh·g , eta bestea bultzada: r_fSx·g. Pisua konstantea da baina bultzada, ordea, ez. Honela idazten da erresultantea:

F=(−r_sShg+r_fSxg)j.

S blokearen sekzioa da, h altuera eta x murgildutako zatia.

Kasu hau eta malguki elastiko bertikal batena antzekoak dira. Energia potentzial grabitatorioa, mgy , gutxitu egiten da altuera gutxituz eta malgukiaren energia potentzial elastikoa, berriz, kx²/2 , handitu. Hala ere, bi energien baturak minimo bat dauka, hain zuzen, oreka-posizioan, izan ere, honako baldintza betetzen den posizioan: –mg+kx=0, (pisua eta malgukiaren indarra berdintzen diren posizioan).

E_p energia potentzialaren minimoa lortzen da bere deribatua y posizioarekiko nulua denean, alegia, oreka-posizioan:

Partzialki murgildutako gorputz batean ere, energia potentziala honela idatz daiteke eta ondoren deribatu:

Minimoa izateko, deribatu hori nulua izan behar da, alegia,  −r_sShg+r_fSxg=0, eta hortik, murgildutako sakonera kalkula daiteke:

blokea x distantzia murgiltzen da. Formula horretako azken adierazpenean, solidoaren r dentsitate erlatiboa idatzi da (alegia, solidoaren dentsitatea baina fluidoaren dentsitatea unitatetzat hartuta).

Blokeak jasandako indarrak

1. Baldin r <1 edota r_s< r_f, orduan gorputz solidoa orekan mantentzen da partzialki murgilduta.

2. Baldin r >1 edota r_s> r_f, orduan gorputz solidoaren pisua bultzada baino handiagoa da, eta blokeak jasaten duen indar netoa hau da:

F_y=−r_sShg+r_fShg<0.

Ez dago oreka-posiziorik, eta blokea jaitsi egiten da, harik eta ontziaren hondoa ukitzen duen arte.

3. Baldin r =1 edota r_s= r_f, blokea partzialki murgilduta dagoenean (x<h) pisua bultzada baino handiagoa da.

F_y=−r Shg+r Sxg<0.

aldiz, blokea osorik murgilduta dagoenean (x³ h), jasaten duen indar netoa nulua da, blokearen edozein posiziotan. Beraz, osorik murgilduta badago, edozein posizio da oreka-posizio.

Energia potentzialaren kurbak

1. Pisuari dagokion energia potentziala hau da:

E_g= r_sShgy

2. Bultzadari dagokion energia potentzialak, berriz, bi atal ditu:

• Gorputza partzialki murgilduta dagoen bitartean (x<h)

Izan ere, ezkerreko grafikoaren hirukiaren azalera.

• Gorputza osorik murgilduta badago (x³ h)

Izan ere, eskumako irudiaren hirukiaren azalera (h oinarria eta r_fSgh altuera), gehi laukizuzenarena (altuera bera eta x-h zabalera).

3. Energia potentzial osoa bi terminoen batura da:

E_p=E_g+E_f

Solidoaren dentsitatea eta fluidoarena berdinak direnean (r_s= r_f) orduan E_p energia potentzial totala konstantea da eta beraz, x-rekiko (edo y-rekiko) independentea, erraz egiazta daitekeenez.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Solidoaren Dentsitate erlatiboa, r , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Blokearen altuera h=1 da, eta sekzioa S. Blokea justu likidoaren gainazalean kokatzen da. Bere masa-zentroaren altuera y₀=1.5 unitate.

Blokea askatu egiten da eta oreka-posizioraino iristen da: y_e= r h, baldin solidoaren dentsitatea r <1 bada, edota ontziaren hondoraino iristen da dentsitate erlatiboa r >1 bada.

Programa interaktiboak ez du bitarteko kalkulurik egiten, alegia ez du kalkulatzen hasierako posiziotik amaierako posiziora nola eta noiz iristen den. Programa honen helburua soilik da energia potentzialaren bi atalak erakustea eta energia potentzial totalak zein baldintzatan daukan minimo bat.

Leihatilaren eskumako aldean, grafikoki erakusten dira honako aldagaiak, blokearen m.z.-ren y altueraren menpe:

• Grabitateari dagokion energia potentziala, E_g (marra beltzez).
• Fluidoaren bultzadari dagokion energia potentziala, E_f (marra urdinez)
• Bi terminoen batura E_p (marra gorriz).

Energia potentzial grabitatorioa, E_g, lerro zuzena da, maximoa hasierako posizioan, y=1.5, eta nulua ontziaren hondoan, y=0.

Bultzadari dagokion kurba, berriz, E_f , pixka bat konplikatuagoa da, bi atal baititu: gorputza partzialki murgilduta dagoen bitartean parabola da (x<h edo y>0.5) , eta lerro zuzena da gorputza guztiz murgilduta dagoenean (x³ h edo y£ 0.5). Hasieran energia potentziala nulua da eta handituz doa gorputza fluidoan murgiltzen den heinean.

Energia potentzial totalaren kurba, E_p, aurreko bi energia potentzialen batura da: E_p=E_g+E_f

Kurba hauek marrazteko, erreferentzia gisa hartu da blokearen hasierako energia potentziala: r_sShg·y₀ baina honako datuak ordezkatuta:  y₀=1.5, h=1 eta r_s=r , alegia solidoaren dentsitate erlatiboa r_s=1. Horrela, blokearen hasierako energia potentzialak bat balio du.

Hala ere, hiru kasu ezberdin sortzen dira:

1. Baldin r <1, energia potentzial totalak minimo bat dauka, x= r h posizioan; Kasu honetan x=y₀−y, h=1 eta y₀=1.5, beraz, oreka posizioan, blokearen masa-zentroa y_e=1.5−r .
    
2. Baldin r >1, energia potentzialaren kurbak ez dauka minimorik, hortaz, ez dago oreka egonkorreko posiziorik, eta blokea hondoratzen da.
    
3. Mugako kasuan, r =1 , energia potentziala lerro zuzen eta horizontala da y£ 0.5 posizioetarako, beraz, posizio horietatik edozein da orekaduna.