Fluidoak

Fluidoen estatika

Arkimedesen printzipioa

Solidoen eta likidoen 
dentsitateak nola neurtu

Flotazioa bi likido
nahastezinetan

Hagatxo bat orekan
partzialki murgilduta

Gorputz bat fluido ideal
batean zehar mugitzen

Burbuila bat fluido
likatsu batean mugitzen

Hondoratutako barku
bat azalera ekartzea

Buia baten oszilazioak

Esfera baten oszilazioak

Descartesen deabrutxoa

Deabrutxoaren dinamika

Saiakuntza

Erreferentzia

Ludiona, edo Descartes-en deabrutxoa, jostailu bat da, ur botila baten barruan egiten dena, ondoren ikusiko dugun bezala, eta hiru lege fisikotan oinarritzen da:

• Fluidoetakoak, Arkimedes-en eta Pascal-en printzipioak.
• Gas idealetakoak, Boyle-ren legea.

Izan ere, ludionaren azalpen fisikoa aurreko kapitulu batzuetan ere erabili dugu: Hondoratutako barku bat azalera ekartzea, barkuaren barruan airea dagoelako, efektu hori aztertzen da, eta bestetik, Buia  baten oszilazioak, uretan flotatzen ari denean, pisu bat ipintzen diogu eta HHS deskribatzen hasten da.

Jostailu horren hainbat bertsio daude, baina kapitulu honetakoa irudiak erakusten du: deabrutxoa beirazko saio-hodi bat da, zilindrikoa, txikia, L luzera, d₁ barne-diametroa eta d₂ kanpo-diametroa. Barruan ur apur bat ipintzen zaio, L-l₀ altueraraino. Ondoren buruz-behera jartzen da eta ontzi handi batean sartzen da. Ontzi handiak ere ura dauka, gainetik airea du eta itxita dago; bi tresna erantsi dizkiogu ontziari: batetik, ezkerrean, xiringa bat, ontziaren gaineko airearen P presioa handitu eta gutxitzeko, eta bestetik, eskuman, manometro bat, aire horren presioa neurtzeko.

Deabrutxoaren estatika

Hasteko, azter dezagun deabrutxoaren oreka-posizioa, kontutan izanda, barruan aire-burbuila daukala.

Presio-kontrola

Ontziaren gaineko airearen presioa aldatzeko, xiringa bat erabiliko dugu. Ontziak eta xiringak, bion artean, V₀ bolumena dute, eta xiringaren bolumena gutxitzen badugu (x bolumena) airearen presioa handituko da, P₀-tik P-ra. Prozesua isotermikoa bada:

P(V₀−x)=P₀·V₀

Bolumen-aldakuntza txikia bada, (x<<V₀) honela berridatz daiteke:

Beraz, presio-aldakuntza, ΔP=P−P₀, xiringaren x bolumen-aldakuntzaren proportzionala da edo, bestela esanda, enboloaren desplazamenduaren proportzionala.

Deabrutxoaren pisua

Ondoko irudian airea horiz margotu da eta ura urdinez. Hodia irauli ondoren, eta ontziaren uretan sartu ondoren, bere barruan harrapatuta geratu den aire-burbuilaren luzerari dei diezaiogun: l=x+z. x: hodiaren ipurditik ontziko uraren gainazalera dagoen distantzia. z: hodiko uraren gainazaletik ontziko uraren gainazalera dagoen distantzia.

Hodiak bi indar jasaten ditu: pisua eta bultzada.

• Pisua

Deabrutxoa beirazko hodi zilindriko huts bat da: d₁ barne-diametroa, d₂ kanpo-diametroa eta L luzera. Beraz bolumena:

Hodiaren oinarriaren bolumena arbuiatuko dugu. Oinarriaren azalera hau da:

Hodiaren pisua ρ_vVg da, alegia, beiraren dentsitatea bider bolumena bider grabitatearen azelerazioa.

Bultzadak berriz, bi adierazpen ezberdin dauzka:

• Bata, partzialki murgilduta dagoenean, x>0

• Bestea, osorik murgildura dagoenean, x≤0

Azter ditzagun bi kasuak bakoitza bere aldetik:

Hodia partzialki murgilduta, x>0

• Bultzada

Lehen kasu honetan, bultzadak bi parte ditu:

• Beirazko hodiari dagokion bultzada; murgilduta dagoen zatia: L−x.

ρ·g·V(1−x/L)

• Aire-burbuilari dagokion bultzada; A azalera eta z altuera.

ρ·g·A·z

Bi zatietan, bultzada kalkulatzeko, uraren dentsitatea erabiltzen da, deslekuratuta dagoen likidoa. Pisua eta bultzada gehituz:

      (1)

Hemen, ρ=1000 kg/m³ , uraren dentsitatea, g=9.8 m/s² , grabitatearen azelerazioa, eta ρ_v beiraren dentsitatea, 2300 kg/m³.

• Prozesu isotermikoa

Fluidoen estatikaren oinarrizko ekuazioaz aire-burbuilaren presioa kalkula dezakegu, alegia, uraren gainazaletik behera z sakoneran dagoen presioa:

P+ρgz

P da ontzi nagusiko goiko aldean aireak daukan presioa. Uneoro tenperatura konstante mantentzen dela suposatzen badugu, aire-burbuilari gas idealen ekuazioa aplika diezaiokegu:

• Hasieran, hodia zutik dagoenean, ur pixka bat dauka. Airearen bolumena A·l₀  da eta presio atmosferikoa, P₀.
• Amaieran, hodia buruz behera eta ontziaren barruan, airearen bolumena, A·(x+z) da eta presioa P+ρgz.

Airearen presioa bider bolumena konstantea da:

P₀·l₀=(P+ρgz)·(x+z)    (2)

Oreka egoera.

Hodia orekan egongo da pisua eta bultzada berdinak direnean, edota F=0.

P presioa ezaguna bada (ontziaren gainekoa) x eta z ezezagunak ebatz ditzakegu bi ekuazioen bitartez: (1) eta (2).

Bigarrenetik x bakanduz:

    (3)

Eta lehen ekuazioan ordezkatuz, bigarren graduko ekuazio bat ematen du: az²+bz+c=0, non

Bigarren graduko ekuazio horren erro positiboa hau da:

Eta behin z kalkulatuta, berriz ere (3) ekuazioaz x atera daiteke, alegia, hodiaren ipurditik ontziko uraren gainazalera dagoen distantzia.

Presio kritikoa

Ontziaren gaineko P presioa handituz, hodia gero eta gehiago murgiltzen da. Badago balio limite bat hodiaren ipurdia justu uraren gainazaleraino bertaraino sartzen dena, xe=0. Hortik aurrera, presioa pixka bat areagotuz hodia osorik murgilduko da.

Presio kritikoa kalkulatzeko (1) ekuazioan x=0 ordezkatu behar da eta F=0 (oreka posizioan). Hortik z atera daiteke eta ondoren (2) ekuazioarekin:

Ikusten denez, aire-burbuilaren z tamainak ez du menpekotasunik bere hasierako tamainarekin (l₀), baizik zilindroaren geometriarekin eta beiraren dentsitate erlatiboarekin (ρ_v/ρ).

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Deabrutxotzat erabiliko den Hodia, zerrenda tolesgarriko lauetatik bat aukeratuz. Geometria ezberdinekoak dira soilik.

Berria botoia sakatu. Leihatilaren ezkerraldean hodia handituta erakusten da, zutik, eskala bertikal bat ondoan duela, uraren hasierako altuera aukeratzeko.

• Hasieran, urak hodian daukan altuera ezarri, l₀, saguarekin gezi gorria gora eta behera desplazatuz.
• Ondoren, ontziaren gaineko Presio-gehikuntza alda daiteke: ΔP=P−P₀ (merkurio milimetrotan) desplazamendu-barrari saguaz eragiten, edota laukitxoan idatziz.

Oreka posiziorik ez badago, mezu batek eskatuko digu, presioa gutxitzeko edo burbuilaren tamaina handitzeko. Bestela, hodia ikusten da ontziaren barruan oreka posizioan, F=0. Presioa handituz, hodia gero eta barrurago sartzen da uretan, eta alderantziz.

Hodiaren ondoan bi bektorek adierazten dituzte pisua eta bultzada. Ontziaren goiko aldean programak idatziz ematen du F indar erresultantearen zenbakizko balioa (estatika soilik aztertzeko, ez iezaiozu eman Hasi botoiari).

Aukeran dauden lau hodien geometriak honakoak dira, erreferentzian erabili direnak.

Presio atmosferikoa finkotzat hartzen da, P₀=101300 Pa. eta merkurioaren dentsitatea, (Hg) 13.55 g/cm³

Adibidea: presio kritikoa

Esaterako 2 hodia aukeratzen badugu

Aurreko taulako datuekin kalkulatzen dira hodiaren azalera eta beiraren bolumena: A=1.61 cm² eta V=8.10 cm³.

Hasierako baldintzak aukeratuz, kalkula dezagun presio kritikoa:

"Esperimentu" berri bat abiatzen den bakoitzean Berria botoiari sakatu behar zaio.

Hodia erabat murgilduta x≤0

• Bultzada

Bultzadak bi atal ditu:

• Batetik, beirazko hodiaren bolumenari dagokiona:

ρ·g·V

• Eta bestetik, aire-burbuilaren bolumenari dagokiona, (A azalera eta z altuera):

ρ·g·A·z

Hodiak jasaten duen indar erresultantea, pisua ken bultzada:

F=ρgAz+ρgV− ρ_vgV

• Prozesu isotermoa

Burbuilaren barruko aireak daukan presioa (x<0):

P+ρg(z+|x|)=P+ρg(z−x)

Eta aireak prozesu isotermikoa jasaten duela suposatuz, hasierako eta amaierako egoeren artean hauxe betetzen da:

P₀·l₀= (P+ρg(z−x))z

Deabrutxoaren dinamika

Berriz ere, idatz ditzagun hodiak jasaten duen indar erresultantea:

Bestetik, z eta x erlazionatuta daude, Boyle-ren legeaz:

Bigarren graduko ekuazioetatik z bakandu behar da:

ρgz²+(P+ρgx)z+Px-P₀l₀=0         x>0
ρgz²+(P-ρgx)z-P₀l₀=0                  x≤0

Aurrerantzean, F indarra x posizioaren menpeko indarra da (hodiaren ipurditik ontziko uraren gainazalerainoko distantzia):

• Baldin x>0

Posizioaren menpeko indarretan, F(x), indar kontserbakorrek energia potentziala daukate, eta honela kalkulatzen da:

Energia potentzialaren jatorria (zero-maila) aukeran geratzen da beti; har dezagun justu oreka posizioan (x_e), alegia, ezar dezagun E_p(x_e)=0.

Orduan, x>0 bada, honako integrala egin behar da:

Eta izan ere, C₁ integrazio-konstantea zero-mailaren baldintzatik erabakitzen da: E₁(x_e)=0,  eta  f(x) beherago definituko dugun funtzio bat.

• Baldin  x≤0

Indarra honela adierazten da:

Energia potentziala kalkulatzeko honako integrala egin behar da:

F indarra ez da jarraitua x=0 posizioan, baina E_p(x) energia potentziala, ordea, jarraitua da, eta honako baldintza bete behar da, justu mugan:  E₁(0)=E₂(0). Jarraitutasun-baldintza horrek C₂ integrazio-konstantea erabakitzen du.

Lehen aipatutako f(x) funtzioa integral baten emaitza da, baina ez da berehalakoa:

Integral hori bestela berridatz daiteke:

Eta bi integralen batura gisa deskonposa daiteke:

Lehen terminoa zatika integratzen da, eta bigarrena berriz berehalakoa da.

Azken emaitza hau da:

Hona hemen E_p(x) funtzioaren adierazpen grafiko posible bat (hasierako baldintzen arabera):

• Ontziaren gaineko presioa baxua bada, Ep(x) funtzioak minimo bat dauka x_e>0 posizioan. Beraz, oreka egonkorreko posizioa. Bestalde, maximo bat ere badauka x_m<0 posizioan (oreka ezegonkorra).

• Presioak balio kritikoa baldin badauka, orduan maximoa eta minimoa puntu berean gertatzen dira, x=0. Presio horrekin, edo altuagoarekin, hodia hondoratu egiten da ontzi nagusian.

Oreka posizioan bertan, x_e , hodiari abiadura ematen badiogu (hasierako abiadura, v₀) energia zinetiko hori eta energia totala berdinak izango dira, zeren energia potentziala nulua baita.

Energia totala, E, konstantea da ibilbidearen puntu guztietan, eta E-ren balio hori Ep-ren maximo lokala baino txikiagoa bada (grafikoan azpitik geratzen bada), orduan hodiak, x_e oreka-posiziotik abiatuta, bi posizioen artean oszilatuko du, x₁ eta x₂, izan ere, energiaren ekuazioaren soluzio biak: E_p(x)=E, (ekuazio transzendentea), grafikoan ikusten den bezala.

Bestetik, E_p(x) funtzioak ez badauka minimorik (oreka egonkorreko posiziorik), orduan hodia x=0 posiziotik eta v₀ abiaduraz abiatuta, ontziaren hondoraino iristen da, egiazta dezakegunez.

Descartesen deabrutxoaren dinamika simulatzeko, numerikoki integratzen da higiduraren ekuazio diferentziala, dagozkion hasierako baldintzekin eta Runge-Kutta prozeduraz.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Deabrutxotzat erabiliko den Hodia, zerrenda tolesgarriko lauetatik bat aukeratuz. Geometria ezberdinekoak dira soilik.

Berria botoia sakatu. Leihatilaren ezkerraldean hodia handituta erakusten da, zutik, eskala bertikal bat ondoan duela, uraren hasierako altuera aukeratzeko.

• Hasieran, urak hodian daukan altuera ezarri, l₀, saguarekin gezi gorria gora eta behera desplazatuz.
• Ondoren, ontziaren gaineko Presio-gehikuntza alda daiteke: ΔP=P−P₀ (merkurio milimetrotan) desplazamendu-barrari saguaz eragiten, edota laukitxoan idatziz.
• Hodiaren hasierako Abiadura (m/s), v₀, abiatzean izango duena, x_e oreka posizioan, oreka-posiziorik baldin badago, bestela, x=0 posizioan.

Hasi botoia sakatu.

Hodia oszilatzen ikusten da, gora eta behera, bere energia totala, E, energia potentzialaren maximoa baino txikiagoa baldin bada. Leihatilaren ezkerraldean grafikoki erakusten dira: E_p(x) kurba, energia totalaren zuzena, E, eta itzultze posizioak: x₁ eta x₂.

Hodiaren energia totala, E, energia potentzialaren maximoa baino handiagoa bada, hodia hondoratu egiten da. Gauza bera gertatzen da E_p(x) kurbak ez badauka minimorik ezta maximorik, alegia ontziaren gaineko presioa kritikoa baino handiagoa baldin bada.

Oreka-posiziorik ez badago, mezu batek eskatuko digu, presioa gutxitzeko edo burbuilaren tamaina handitzeko: hori egiteko, presio-gehikuntzaren desplazamendu barrari saguaz eragin edota, Berria botoiari sakatuz, hodiaren hasierako l₀ altuera gutxitu.

Esperimentu berri bat abiatzeko Berria botoiari sakatu.