Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Energia zinetikoaren kontzeptua

Indar kontserbakorra. Energia potentziala

Energiaren kontserbazioaren printzipioa

Indar ez kontserbakorrak

Energiaren balantzea

Lanaren kontzeptua

Lana, definizioz, indarraren eta desplazamenduaren arteko biderkadura da, biak bektorialak dira eta biderkadura eskalarraz definitzen da: W=F·r. Indarra konstantea bada definizio hori nahikoa da, baina indarra aldakorra bada desplazamenduan zehar, desplazamendu infinitesimalak hartu behar dira eta lan infinitesimala definitu. Hona hemen lan infinitesimalaren definizioa:

Hemen, F_t indar osoaren osagai bat baino ez da, desplazamenduaren norabidekoa hain zuzen. Desplazamendu-bektorea dr da eta bere modulua ds. Azkenik, q  angelua, indarrak eta desplazamenduak osatzen dutena.

A eta B puntuen arteko ibilbide osoan zeharreko lan totala, lan infinitesimalen batura da:

Lanaren esangura fisikoa grafikoki adierazteko, ardatz bertikalean Ft, indarraren osagai tangentziala eta ardatz horizontalean s desplazamendua; kurba horren azpian mugatutako azalera lana da.

Adibidea: Kalkula bedi malguki bat luzarazteko egin behar den lana. Malgukiaren konstantea 1000 N/m eta luzatutako distantzia 5 cm.

Malgukiak egiten duen indarra hau da: F=1000·x (N), hemen x aldiuneko luzapena da. Indar horrek egindako lana, honako integralaren bitartez kalkulatzen da:

Irudiko hirukiaren azalera hain zuzen: (0.05·50)/2=1.25 J

Indarra konstantea bada, lana kalkulatzeko, soilik desplazamendu osoa eta indarraren osagai paraleloa bidertu behar dira (laukizuzen baten azalera):

Adibidea:

Kalkula bedi 12 N-eko indar konstante batek egindako lana, bere aplikazio-objektua 7 metro desplazatzen bada. Indarraren eta desplazamenduaren arteko angelua hau da: 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

• Indarra eta desplazamendua noranzko berean badaude, lana positiboa da.
• Indarra eta desplazamendua aurkako noranzkoetan badaude, lana negatiboa da.
• Indarra eta desplazamendua elkarren perpendikularrak badira, lana nulua da.

Energia zinetikoaren kontzeptua

Demagun, m masadun partikulak jasaten dituen indar guztietatik, F dela erresultantea. Frogatuko dugunez, indar erresultante horrek egindako lan osoa partikularen energia zinetikoaren aldaketa da, alegia, amaierakoa ken hasierakoa.

Lehen lerroan Newton-en bigarren legea aplikatu da: indarraren osagai tangentziala da, masa bider azelerazio tangentziala. Bigarrenean a_t azelerazio tangentziala v abiaduraren moduluaren deribatua da eta, azkenik, ds desplazamenduaren eta dt denbora-tartearen arteko zatidura, izan ere, v abiadura da.

Energia zinetikoa honela definitzen da:

Lana eta energiaren teoremaren arabera, partikula batek jasaten duen indar erresultantearen lanak partikularen energia zinetikoa aldatzen du.

Adibidea: Kalkula bedi zein abiaduraz irtengo den bala bat ohol bat zeharkatu ondoren. Oholak 7cm-ko lodiera du eta F=1800 N-eko erresistentzia konstantea egiten dio balari, balak 15 g.-ko masa du eta hasieran 450 m/s-ko abiadura.

Hona hemen, erresistentzia- indarrak egindako lana: -1800·0.07= -126 J

Beraz amaierako v abiadura hau da:

Indar kontserbakorra. Energia potentziala

Aurreko atalean ikusi denez, indar batek egindako lana kalkulatzea oso baliagarria izan daiteke. Indar batek egindako lana posizioaren menpeko funtzio bat denean, alegia amaierako posizioa eta hasierako posizioarena soilik, orduan indarrari kontserbakor deritzo, eta funtzio horri energia potentziala.

Indar kontserbakor batek egindako lana, partikula A puntutik B puntura desplazatzean, ez da ibilbidearen arabera aldatzen, alegia, berdin dio zein bidetik joan den partikula A-tik B-ra, indarrak lan berdina egiten du.

Indar kontserbakor batek egindako lana, ibilbide itxi batean zehar, nulua da.

Adibidea

Demagun partikula batek honako indarra jasaten duela: F=2xyi+x2j N  Eta partikula ABCA ibilbide itxian zehar mugitzen dela. AB zati kurboa, parabolaren arkua da:  y=x2/3. BC  zuzenkia, (0,1) eta (3,3) puntuak lotzen ditu. CA, Y ardatzaren zatia jatorritik (0,1) punturaino. Kalkula bedi indar horrek egindako lana, partikulak ibilbide itxi hori osatzen duenean.

Ibilbide infinitesimal batean egindako lana infinitesimala da, dW, indar-bektorea bider desplazamendu-bektorea:

dW=F·dr=(F_xi+F_yj)·(dxi+dyj)=F_xdx+F_ydy

x eta y aldagaiak posizioaren arabera aldatzen doaz, baina erlazionatuta daude, izan ere, ibilbidearen ekuazioaren bitartez: y=f(x). Bestalde, dx eta dy desplazamenduak ere ibilbidearen ekuazioaren bitartez erlazionatuta daude, edo hobeto esanda, ibilbidearen deribatuaren bitartez: dy=f’(x)·dx. Hemen, f’(x), noski, f(x) funtzioaren deribatua da x-rekiko.

Ibilbide itxia osatuz hiru zati ezberdin daude (bakoitza bere ekuazioaz), beraz, zati bakoitzeko lana kalkulatuko dugu eta gero baturarekin bide itxiko lan totala lortu.

• AB bidea

Ekuazioa: y=x²/3, eta  dy=(2/3)x·dx.

• BC bidea

(0,1) eta (3,3) puntuak lotzen dituen zuzena: zuzenaren malda: 2/3 eta ordenatua jatorrian: 1.

y=(2/3)x+1, eta  dy=(2/3)·dx

• CA bidea

Zuzena hau da: x=0, eta dx=0, Hortaz indarrean ordezkatuz F=0, beraz lana W_CA=0

• Lan totala ibilbide itxian:

W_ABCA=W_AB+W_BC+W_CA=27+(-27)+0=0

Pisua indar kontserbakorra da

Kalkula dezagun pisuak egindako lana (F= - mg j)  gorputz bat desplazatzen denean irudiko A posiziotik B posiziora.

Ikusten denez, lana ez da ibilbidearen arabera aldatzen, bakarrik aldatzen da amaierako eta hasierako posizioekin: beraz indar kontserbakorra da eta dagokion energia potentzialak, E_p , honelako adierazpena du:

Hemen c konstante aske bat da, eta energia potentzialaren jatorria, alegia zero balioa, aske aukeratzea onartzen du.

Malguki batek egindako indarra kontserbakorra da

Malguki batek, x distantzia deformatzen denean, deformazioaren proportzionala den indarra egiten du baina deformazioaren aurkako noranzkoan, irudiak erakusten duen bezala:

Baldin  x<0, F= kx Baldin  x>0, F= -kx

Eta gorputz bat x_A posiziotik x_B posiziora desplazatzen denean, malgukiaren indarrak egindako lana hau da:

Ikusten denez, lana ez da ibilbidearen arabera aldatzen, bakarrik aldatzen da amaierako eta hasierako posizioekin: beraz indar kontserbakorra da eta dagokion energia potentzialak, E_p , honelako adierazpena du:

Energia potentzialaren jatorria aske har daiteke: esaterako malgukiaren deformazioa nulua denean, x=0, energia potentzialaren balioa zerotzat ezar daiteke, E_p=0, eta kasu horretan c konstante askeak zero balio du: c=0.

Energiaren kontserbazioaren printzipioa

Partikula batek jasaten duen F indar bakarra kontserbakorra bada, indar horrek egindako lana energia potentzialaren kenketa da, definizioz, hasierakoa ken amaierakoa:

Eta aurreko atalean ikusi denez, partikulak jasaten dituen indarren erresultantearen lana energia zinetikoaren kenketa da, izan ere, amaierakoa ken hasierakoa:

Lan biak berdinduz, Energiaren kontserbazioaren printzipioa lortzen da:

Partikularen energia Mekanikoa (energia zinetikoa gehi potentziala) berdina da, alegia konstantea, bere ibilbidearen puntu guztietan.

Energiaren kontserbazioaren printzipioa egiaztatzea

Demagun 2 kg-ko gorputz bat 3 metroko altueratik erortzen uzten dela. Kalkula bitez: Gorputz horren abiadura, bere altuera 1 metro denean, eta lurreraino iristean. Horretarako aplika bitez  higidura zuzen eta uniformeki azeleratuaren ekuazioak. Energia zinetikoa eta potentziala posizio guzti horietan. Har bedi g=10 m/s2

• Hasierako posizioa: x=3 m, v=0.

E_p=2·10·3=60 J,      E_k=0,       E_A=E_k+E_p=60 J

• Bitarteko posizioa: x=1 m

E_p=2·10·1=20 J,      E_k=40,        E_B=E_k+E_p=60 J

• Amaieran: x=0 m

E_p=2·10·0=0 J,      E_k=60,      E_C=E_k+E_p=60 J

Hemen egiaztatzen da gorputzaren energia potentziala gutxituz doala, energia zinetikoa ordea handituz, baina energia totala konstante mantentzen dela.

Indar ez kontserbakorrak

Indar ez kontserbakorraren esangura ulertzeko, indar kontserbakor batekin konparatuko dugu, pisuarekin alegia.

Pisua indar kontserbakorra da.

Kalkula dezagun pisuak egiten duen lana, partikula A-tik B-ra desplazatzen denean eta ondoren B-tik A-ra desplazatzen denean.

WAB= mg x WBA= -mg x Lan totala, A-B-A bide itxian zehar, WABA, nulua da.

Marruskadura indarra ez-kontserbakorra da

Partikula A-tik B-ra desplazatzen denean, marruskadura-indarra mugimenduaren aurkakoa da, beraz lana negatiboa da, indarrak desplazamenduaren aurkako zeinua duelako. Eta partikula B-tik A-ra mugitzean ere berdin, beraz lana berriz ere negatiboa.

WAB= -Fr x WBA= -Fr x Lan totala, A-B-A bide itxian zehar, WABA , ez da nulua. WABA= -2Fr x

Energiaren balantzea

Orokorrean, partikula batek jasaten dituen indar guztietatik, batzuk kontserbakorrak dira (F_c) eta gainontzekoak ez (F_nc). Partikulak jasaten dituen indar guztien erresultantearen lana, energia zinetikoaren aldaketa da, amaierakoa ken hasierakoa.

Baina indar kontserbakorren lana, energia potentzialaren aldaketa da, hasierakoa ken amaierakoa.

Eta biderketa eskalarra banakorra denez baturarekiko:

Indar ez-kontserbakor batek partikularen energia mekanikoa aldatu egiten du (zinetikoa gehi potentziala).

1 adibidea:

Bloke bat aldapa batean gora jaurti da eta irristatzen doa. Blokearen hasierako abiadura 12 m/s, masa 0.2 kg, aldaparen angelua 30º eta marruskadura-koefizientea 0.16. Kalkula bitez:

• Blokeak planoaren gainean ibiltzen duen x distantzia, gelditzen den arte.

• Berriz ere beheraino iristean izango duen v abiadura.

Blokea gorantz ari denean:

• Bere energia A posizioan: E_A=½0.2·12²=14.4 J

• Eta B posizioan: E_B=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J

• Marruskadura indarrak egindako lana blokea A-tik B-raino joatean:

W= -F_r·x= -μ·mg·cosθ·x= -0.16·0.2·9.8·cos30·x= -0.272·x J

Energiaren balantzearen ekuaziotik: W=E_B -E_A,  Eta hortik aska daiteke: x=11.5 m, h=x·sin30º=5.75 m

Gorputza beherantz ari denean:

• Bere energia B posizioan: E_B=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x=0.98·11.5=11.28 J

• Beheraino iristean duen energia: E_A=½0.2·v²

• Marruskadura indarrak egindako lana blokea B-tik A-raino joatean:

W= -F_r·x= -μ·mg·cosθ·x= -0.16·0.2·9.8·cos30·11.5= -3.12 J

Energiaren balantzaren ekuaziotik: W=E_A-E_B,  ateratzen da:  v=9.03 m/s.

2 adibidea:

Partikula bat irristatzen ari da bide zirkular baten gainetik, irudiak erakusten duen bezala. Zirkuluaren erradioa R da eta partikularen masa m.

Partikulak hiru indar jasaten ditu:

• Pisua: mg

• Gainazalaren erreakzioa, N, norabide erradialean.

• Marruskadura-indarra, F_r, norabide tangentean eta partikularen abiaduraren aurkakoa.

Har ditzagun ardatz gisa norabide tangentziala eta norabide erradiala. Pisua, mg, ardatz horietan deskonposa daiteke eta partikularen higiduraren ekuazioak norabide bi horietan idatz daitezke. Lehenik tangentziala:

ma_t=mg·cosθ -F_r

Hemen, a_t=dv/dt, azelerazioaren osagai tangentziala da. Ekuazio hori forma diferentzialean idatz daiteke:

Kalkula dezagun marruskadura-indarrak egindako lana: W_r. Kontutan izan desplazamenduaren aurkakoa dela, beraz negatiboa.

Desplazamendua angeluaren menpe adieraz daiteke, ibilbidea zirkulua delako: dl=R·dθ . Eta bestalde:

Beraz, marruskadura-indarrak egindako lana hau da:

Partikula abiatzen bada θ=0 posiziotik eta pausagunetik v=0, orduan θ posiziora iristean:

• Bere energia zinetikoa handitu egin da honenbeste: mv²/2.

• Eta bere energia potentziala gutxitu egin da honenbeste: mgRsinθ.

Marruskadura-indarrak egindako lana energia totalaren aldaketa da, hain zuzen amaierakoa ken hasierakoa, edo bestela esanda, energia zinetikoaren aldaketa gehi energia potentzialaren aldaketa.

Partikulak zirkuluaren gainetik irristatuz, zirkuluaren laurdena burutzen duenean, marruskadura indarrak egindako lana hauxe da:

Marruskadura-indarrak egindako lana orokorrean kalkulatzeko ibilbide zirkular batean, ikus bedi honako atal hau: "Esferaerdi baten gainetik irristatzen".