Fluidoak

Fluidoen estatika

Arkimedesen printzipioa

Solidoen eta likidoen 
dentsitateak nola neurtu

Flotazioa bi likido
nahastezinetan

Hagatxo bat orekan
partzialki murgilduta

Gorputz bat fluido ideal
batean zehar mugitzen

Burbuila bat fluido
likatsu batean mugitzen

Hondoratutako barku
bat azalera ekartzea

Buia baten oszilazioak

Esfera baten oszilazioak

Descartesen deabrutxoa

Saiakuntza

Erreferentzia

Demagun esfera bat, R erradioduna eta r dentsitateduna (ρ<1). Esfera uretan murgiltzen dugu eta bat batean askatu: esferak gora eta behera oszilatuko du, baina oszilazioak ez dira Higidura Harmoniko Sinplea (H.H.S.).

Higiduraren ekuazioa

Bai ura eta bai airea fluido idealtzat hartuko ditugu, alegia, ez diotela inolako marruskadura-indarrik eragiten esferari, mugitzen ari denean.

Esfera gora eta behera mugituko da, X ardatzean zehar, eta koordenatuen jatorria uraren gainazalean kokatuko dugu. Dei diezaiogun x esferaren masa-zentroaren posizioari (uraren gainetik x>0).

• Limite batean, x=−R denean, esfera erabat murgilduta dago uretan.

• Beste limitean, x=+R denean, esfera erabat irtenda dago uretatik.

Esfera partzialki murgilduta dagoenean, jasaten dituen indarrak bi dira: pisua, mg Likidoak egiten duen bultzada, E

Uraren dentsitatea unitatetzat hartzen badugu, esferaren dentsitate erlatiboa ρ da, eta bere masa:

Bultzada kalkulatzen da, murgildutako zatiaren V bolumena kalkulatuz, eta ura dela suposatuz. Bolumena kalkulatzeko, esferaren sekzioa aldakorra denez, bolumen-elementu infinitesimalak hartu behar dira. Irudiak erakusten duen bezala, esferaren xerra zirkular horizontalak hartzen ditugu, x posizioan zentroarekiko, eta dx lodieradunak (xerra zirkularraren erradioa y da). Elementu horren bolumena py²·dx da, eta murgildutako zatiaren bolumen osoa, elementuen bolumenen integrala x-tik R-raino.

Adibidez, x=−R ordezkatzen badugu, esfera osoaren bolumena ateratzen da: 4πR³/3

Beraz, esferaren higidura-ekuazioa honela idazten da:

Esferaren zentroaren x posizioa t denboraren menpe kalkulatzeko, ekuazio diferentzial hori integratu behar da, baina numerikoki egin behar da eta, horretarako, aldez aurretik hasierako baldintzak ezarri behar zaizkio. Adibidez, demagun t=0 aldiunean, esfera osorik murgildu eta pausagunetik askatzen dugula:  t=0, x=−R, dx/dt=0.

Bigarren ordenako ekuazio diferentzial hori lehen ordenako bilaka daiteke denbora eliminatuz eta, bere ordez, abiaduraren menpe berridatziz.

Ekuazio hori integra daiteke analitikoki. x-ren aldean integrala egiten da x=−R-tik  x-raino (x≤R) eta abiaduraren aldean, v=0-tik v-raino. Hona hemen emaitza:

Izan ere x=R  limitean esfera osorik irtenda dago uretatik eta honako abiadura du:

Une horretatik aurrera, airean gora salto egiten du, altuera maximo bateraino iritsi arte, eta berriz ere uretara erortzen da, uretan sartu eta hasieran zeukan sakonera bereraino. Oszilazioa behin eta berriz errepikatuko du, marruskadura-indarrik ez dugulako kontutan hartu.

Adierazpen horretan ikusten da v₁ positiboa dela, soilik esferaren ρ dentsitatea ρ<0.5 baldin bada. Horrek esan nahi du, esferaren dentsitatea 0.5 baino txikiagoa bada, uretatik kanpo osorik irtetera iristen dela, eta salto egiten duela. Aldiz v₁ nulua da (edo negatiboa) esferaren dentsitatea 0.5 baino handiagoa bada. Orduan esfera ez da iristen uretatik kanpo osorik irtetera, zati bat soilik, eta oszilazioak uraren barruan gertatzen dira oso-osorik.

• Esferaren dentsitate erlatiboa, ρ<0.5.

x=R posiziotik aurrera, esfera osorik irteten da uretatik eta jasaten duen indar bakarra grabitatea da. Higidura zuzen eta uniformeki azeleratua izango du: Hemen t1 deitu diogu, esferaren zentroa x=R posiziotik pasatzen den aldiuneari.

Bestela, energiaren kontserbazioa aplikatzen badugu:

Esferak altuera maximoa atzematen duenean, v=0.

Adibidez:

• Dentsitatea, ρ=0.4

• Esferaren erradioa, R=1

Esfera abiatzen da, x=−1 posiziotik, eta pausagunetik, v=0. Uretatik osorik irtetera iristen da (x=+1) honako abiaduraz (v₁):

Hortik aurrera, airean gora salto egiten du harik eta bere zentroak altuera maximoa atzematen duen arte:

• Esferaren dentsitate erlatiboa, ρ>0.5.

Esferaren abiadura nulu bilakatzen denean:

Ekuazio hori bi terminotan berridatz daiteke:

Lehen terminoa behatuz, ikusten da soluzioetako bat, x/R=−1 dela, alegia, hasierako posizioa, x=−R, pausagunekoa. Baina beste soluzioa bilatzeko, bigarren terminoa ebatzi behar da, ekuazio kubikoa:

x³+ax²+bx+c=0

a=−R, b=−5R², c=(13−16ρ)R³

Kalkula ditzagun parametroak:

Baldin S²<Q³ orduan ekuazioak hiru erro erreal ditu. Desberdintza hori honela idatz daiteke:

729ρ²-1026ρ+297<0        eta betetzen da ρ<1 baldin bada

Hona hemen hiru erro errealak:

Esate baterako, ρ=0.7 bada, hiru erro errealak honakoak dira: x₁=−1.98·R, x₂=2.64·R, x₃=0.34·R.  Hiruetatik azkena da v=0 soluzioari dagokiona.

Adibidez, ρ=13/16=0.8125 denean, esferaren abiadura nulu bilakatzen da, v=0, justu x=0 denean.

• Esferaren dentsitate erlatiboa, ρ=0.5.

Kasu honetan esferaren abiadura honela idatz daiteke:

Abiadura hori nulu bilakatzen da x=R denean.

Oszilazio oso bat burutzeko behar duen denbora hau da:

Aldagai-aldaketa eginez, u=sinφ, oszilazioen periodoa, P, adierazten da lehen espezieko integral eliptiko oso gisa:

Horrelako integrala kalkulatzeko badago programa bat honako kapituluan: Esferaerdi baten barrutik irristatzen. Kasu honetan laukitxoan idatzi behar den parametroa θ₀ angelua da gradutan:

  

Adibidea

• Dentsitatea, ρ=0.5

• Esferaren erradioa, R=1

Oszilazio osoa burutzeko behar duen denbora (periodoa):

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Esferaren Dentsitate erlatiboa, ρ, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Esferaren erradioa finkotzat hartu da, R=1

Hasi botoian klikatu.

Leihatilaren ezkerraldean, esfera nola mugitzen den ikusten da.

Leihatilaren eskumako aldean, esferaren higidura adierazten da grafikoki faseen espazioan, alegia:

• Ardatz bertikalean, esferaren abiadura adierazten da, honako unitateetan:   

• Ardatz horizontalean, esferaren posizioa adierazten da bere erradioa unitatetzat hartuta: u=x/R.