Oszilazioak

Osziladore akoplatuak

Bi akoplatuta

Hiru akoplatuta

Katea monoatomikoa

Bibrazioen
modu normalak

Katea diatomikoa

Bi malgukitan
eskegitako hagatxoa

Wilberforce-pendulua

Pendulu bikoitza

Malguki-Pendulua

Oszilazioetatik
uhinetara

Luzera ezberdineko
pendulu ez akoplatuak

Bibrazio-modu normalak

Pendulu biak berdinak direnean

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan osziladore akoplatu bi aztertzen dira, pendulu bikoitza izenekoak. Aurretik ikusitako bi orritan bezalaxe, “bi osziladore akoplatuta” eta “Wilberforce-pendulua”, higiduraren ekuazioak ebatziko ditugu, oszilazioen bi modu normalen maiztasunak lortuko ditugu, eta kalkulatuko dugu, zeintzuk izan behar diren hasierako baldintza konkretuak sistemak oszilazio-modu normal garbi bat deskriba dezan.

Ezkerreko irudiak pendulu bikoitza erakusten du. Berez, bi pendulu sinple dira, l1 eta l2  luzeradunak eta  m1 eta m2 masadunak. Aldiune konkretu batean, bi hariek θ1 eta θ2 angeluak osatzen dituzte norabide bertikalarekiko.

Higiduraren ekuazioak

Sistemaren energia bi partikulen energia zinetikoa eta energia potentzialen batura da

Har dezagun energia potentzialaren jatorria lehen penduluaren artikulazio-puntuan (O). Hona hemen energia potentzialaren adierazpena:

E_p= -m₁·gl₁cos θ₁ -m₂g(l₁cos θ₁+l₂cos θ₂)

Lehen partikularen abiadura hau da: v₁=l₁·dθ₁/dt (abiadura angeluarra bider zirkunferentziaren erradioa), eta hona hemen bere osagai cartesiarrak:

Bigarren partikularen abiadura, lehen partikularekiko, hau da: v₂=l₂·dθ₂/dt. (lehen bezala, abiadura angeluarra bider zirkunferentziaren erradioa), eta hona hemen bere osagai cartesiarrak:

Baina bigarren partikularen abiadura, O puntuan finkatutako erreferentzia sistema inertzialarekiko, bi abiaduren batura da:

Bi partikulen abiaduren moduluak kalkula ditzakegu, eta energia zinetiko totala honela adieraz daiteke:

θ₁ eta θ₂ angelu txikietarako murrizten badugu ebazpena, ekuazioak sinplifikatu egiten dira. cosθ funtzioaren Taylor-en seriezko garapena burutzen badugu eta lehen bi terminoak soilik hautatu:

Hurbilketa horrekin, energia potentziala honela adieraz daiteke:

Eta hurbilketa horrekin, energia zinetikoa honela adieraz daiteke:

Lagrange-ren ekuazioek bigarren ordenako bi ekuazio diferentzialeko sistema ematen dute. Sistemaren lagrangearra honela definitzen da: L=E_k-E_p (eta denborarekiko deribatuaren ikurra laburtzen badugu: ):

Hona hemen higiduraren ekuazioak:

Ekuazio diferentzial horiek deribatzen baditugu bi aldiz denborarekiko, honela bihurtzen dira:

Lau ekuazioen artean θ₂ elimina daiteke, eta laugarren ordenako ekuazio bat lortzen da θ₁-en menpe:

Froga ditzagun honelako itxurako soluzioa:

θ₁=Asin(ωt)+Bcos(ωt) o bien, θ₁=Asin(ωt+φ)

Soluzio horren (θ₁-en) bigarren eta laugarren deribatua kalkulatuz, eta laugarren ordenako ekuazio diferentzialean berriro ordezkatuz, ekuazio birkoadratu bat geratzen da ω-ren menpe:

Ekuazio horren bi soluzio errealak (ω₁ eta ω₂) bibrazio-modu normalen maiztasunak dira:

Orokorrean, θ₁(t) angeluaren soluzio orokorra ez da froga-soluzio horietako bat izaten, bibrazio-modu normal bien konbinazioa baizik.

θ₁(t)=A₁sin(ω₁t)+ B₁cos(ω₁t)+ C₁sin(ω₂t)+ D₁cos(ω₂t)

Eta berdin θ₂-rentzat:

θ₂(t)=A₂sin(ω₁t)+ B₂cos(ω₁t)+ C₂sin(ω₂t)+ D₂cos(ω₂t)

Abiadura angeluarrak honela idatz daitezke:

Agertzen diren zortzi koefizienteak A₁ , A₂, B₁ , B₂, C₁ , C₂, D₁ eta D₂, erlazionatuta daude. Kalkula dezagun θ₂-ren bigarren deribatua denborarekiko eta θ₁-en bigarren deribatua denborarekiko eta ordezka ditzagun higidura-ekuazioetako batean.

Hortik lau erlazio ateratzen dira:

Has-baldintzek lau koefizienteen balioak determinatzen dituzte: A₁, B₁, C₁ eta D₁ . Hortaz, gainontzeko koefizienteak, A₂, B₂, C₂ eta D₂ , aurreko erlazio horietatik kalkulatzen dira.

Esaterako, desplaza dezagun lehen pendulua norabide bertikalarekiko θ₁₀  angelua, eta bigarren pendulua θ₂₀. Ondoren, t=0 aldiunean, aska ditzagun, pausagunetik abiatuta: dθ₁/dt=0, dθ₂/dt=0.

Honako lau ekuazioko sistema ebatzi behar da eta, gainera, lehen lortutako lau erlazioak.

θ₁₀ =B₁+D₁
0=ω₁·A₁+ ω₂·C₁
θ₂₀ =B₂+D₂
0=ω₁·A₂+ ω₂·C₂

Sistema horren soluzioa hau da:

A₁=C₁=A₂=C₂=0

eta

Beraz, bi penduluen posizioa denboraren menpe idatz daiteke:

Bibrazio-modu normalak

• Lehen modu normala lortzeko, ω₁ maiztasun angeluarrekoa, D₂=0 izan behar da, eta horretarako, penduluen hasierako angeluek honako erlazioa izan behar dute:

B₁=θ₁₀, B₂=θ₂₀

Kasu horretan, bi penduluen posizioa denborarekiko honela idatz daiteke:

• Bigaren modu normala lortzeko, ω₂ maiztasun angeluarrekoa, B₂=0 izan behar da, eta horretarako, penduluen hasierako angeluek honako erlazioa izan behar dute:

D₂=θ₂₀, eta D₁=θ₁₀

Kasu horretan, bi penduluen posizioa denborarekiko honela idatz daiteke:

Pendulu biak berdinak direnean

Pendulu biak berdinak direnean, m₁=m₂ eta l₁=l₂ . Orduan, bibrazio-modu normalen maiztasunek, ω₁ eta ω₂ , oso adierazpen laburra dute:

Eta B₂, B₁, D₂ eta D₁ koefizienteek:

Oso interesgarria da, esaterako, θ₂₀=0 kasua. Lehen pendulua desplazatzen da norabide bertikalarekiko θ₁₀ angelua eta askatu egiten da, bigarren pendulua bertikal utzita:

Bi penduluen higidura ekuazioak honakoak ateratzen dira:

Ondorengo irudiak erakusten du lehen penduluaren posizioa denboraren menpe: θ₁(t) gorriz eta, urdinez, bere anplitude modulatua:

Ondorengo irudiak erakusten du bigarren penduluaren posizioa denboraren menpe: θ₂(t) gorriz eta, urdinez, bere anplitude modulatua:

• Lehen modu normala lortzeko, ω₁ maiztasun angeluarrekoa, D₂=0 izan behar da eta, horretarako, hasierako angeluen erlazioa honakoa izan behar da:

B₂=θ₂₀, eta B₁=θ₁₀

Hona hemen bi penduluen posizioak denboraren menpe:

 

• Bigarren modu normala lortzeko, ω₂ maiztasun angeluarrekoa, B₂=0 izan behar da eta, horretarako, hasierako angeluen erlazioa honakoa izan behar da:

D₂=θ₂₀, eta D₁=θ₁₀

Hona hemen bi penduluen posizioak denboraren menpe:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Azpiko partikularen masa, m₂ kilogramotan, Masa 2 kontrolean idatziz.

• Gaineko partikularen masa finkotzat hartzen da: m₁=1 kg.

• Azpiko penduluaren luzera, l₂ , metrotan, Luzera 2 kontrolean idatziz.

• Gaineko penduluaren luzera finkotzat hartzen da: l₁=1 m.

Berria botoia sakatu datuak onartzeko. Ondoren aukeran idatz daitezke:

• Gaineko penduluaren hasierako posizioa, θ₁₀, gradutan, Angelua 1 desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Azpiko penduluaren hasierako posizioa, θ₂₀, gradutan, Angelua 2 desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Hasi botoia sakatu.

Leihatilaren ezkerraldean, pendulu biak oszilatzen ikusten dira eta, justu azpian, idatziz ikusten dira t denbora, eta bi penduluek uneoro norabide bertikalarekiko osatzen dituzten angeluak, fi1 eta fi2 izenekin.

Eskumako aldean, grafikoki adierazten dira bi penduluen angeluak, θ₁ eta θ₂, denboraren menpe.

Leihatilaren goiko eta eskumako erpinean, idatziz erakusten da penduluaren energia totala. Ikus daitekeenez, konstante mantentzen da higidura osoan zehar.