Oszilazioak

Osziladore akoplatuak

Bi akoplatuta

Hiru akoplatuta

Katea monoatomikoa

Bibrazioen
modu normalak

Katea diatomikoa

Bi malgukitan
eskegitako hagatxoa

Wilberforce pendulua

Pendulu bikoitza

Malguki-Pendulua

Oszilazioetatik
uhinetara

Luzera ezberdineko
pendulu ez akoplatuak

Higiduraren ekuazioak

Bibrazioen modu normalak

Energiaren ikuspegia

Saiakuntza

Ikasgelako erakustaldia

Ikasgelan, bi osziladore akoplatuen erakustaldiak asko harritu ohi ditu ikasleak. Soka bat da, bi muturretatik lotuta eta biak altuera berean. Soka horretatik eskegita, eta bi  puntu simetrikotan, bi pendulu sinple eskegitzen dira, ondoko irudiak erakusten duen bezalaxe. Bi penduluetako bat desplazatzen dugu, esaterako gorria, eta askatu egiten dugu. Pendulua oszilatzen hasten da, baina bere anplitudea gutxituz doa denboran zehar. Beste pendulua, urdina, hasieran geldi zegoen, baina oszilatzen hasten da eta bere anplitudea handiagotuz doa.

Handik gutxira, pendulu gorria erabat geldizen da, eta pendulu urdinak anplitude maximoa dauka. Ondoren, jokabideak berriz ere trukatzen hasten dira: pendulu urdinaren anplitudea gutxituz eta gorriarena handituz.

Jokabideok energiaren ikuspegitik aztertzen badira, ikusten da, energia pendulu batetik bestera aldatuz doala. Akoplamendua ahula bada, kasu honetan bezala, bi penduluen energien batura konstantea izan behar da.

Higiduraren ekuazioak

Bi osziladore akoplatu aztertzeko, har dezagun eregu gisa, bi partikulaz osaturiko sistema, biak m masadunak, eta biak malguki banatan lotuta. Bi malgukien konstante elastikoak berdinak dira eta ezagunak: k. Akoplamendua adierazteko, elkar ditzagun bi partikulak beste hirugarren malguki batez: k_c konstanteduna, irudiak erakusten duen bezala:

• Ezkerreko partikulak bi indar jasaten ditu: ezkerreko malgukiak ezkerrerantz –kx₁, eta erdiko malgukiak eskumarantz k_c(x₂-x₁),

• Eskumako partikulak ere bi indar jasaten ditu: eskumako malgukiak ezkerrerantz –kx₂ eta erdiko malgukiak ere ezkerrerantz –k_c(x₂-x₁).

Erdiko malgukiak egiten dituen bi indarrak berdinak eta aurkakoak dira, eta bakoitza partikula batean aplikatzen da.

Partikula bakoitzari Newton-en bigarren legea aplikatzen badiogu eta higidura-ekuazioak bigarren ordenako ekuazio diferentzial gisa idazten baditugu:

Egiten bada, ekuazio diferentzial bien batura edo kenketa Higidura Harmoniko Sinplearen ekuazioa ateratzen da, kasu batean zein bestean.

Beraz bi higidura harmoniko sinple ateratzen dira; hona hemen euren maiztasun angeluarrak:

Bi ekuazio horien soluzioak honela idatz daitezke:

y_a=x₁+x₂=y_0a sin(w_at+j_a)
y_b=x₁-x₂=y_0b sin(w_bt+j_b)

Hemen y_0a eta y_0b anplitudeak dira, eta j_a eta j_b hasierako faseak. Lauak hasierako baldintzetatik determinatzen dira, alegia, partikula bakoitzaren posizioetatik eta abiaduretatik.

Aurreko bi ekuazioetatik x₁ eta x₂ bakan daitezke:

Hasierako baldintzak

Dei diezaiegun partikulen posizioei t=0 aldiunean, x₀₁ eta x₀₂. Eta demagun hasieran biak pausagunean daudela.

Zenbait buruketa egin ondoren bi ekuazioak honela berridazten dira:

Bibrazioaren modu normalak

w_a maiztasun angeluarrari modu normal bat dagokio. Hori gertatzen da bi osziladoreak fasean mugitzen direnean edo x₀₁ eta x₀₂ berdinak direnean. Orduan, erdiko malgukia ez da inoiz deformatzen eta beraz, ez die indarrik egiten bi partikulei. Partikulok akoplatuta egongo ez balira bezala mugitzen dira:

Bigarren modu normalak w_b maiztasun angeluarra dauka. Hori gertatzen da bi osziladoreak "aurkako fasetan" mugitzen direnean, edota  x₀₁ = - x₀₂ denean. Osziladore bakoitzaren higidura ekuazioak, kasu horretan, honela idatz daitezke:

Orokorrean, edozein baldintzatan, osziladoreak bi modu horien nahasketaz mugituko dira.

Ikasgelako erakustaldiaren simulazioa

Ikasgelako erakustaldian x₀₂ nulua da. Partikulen higidura-ekuazioak modu sinpleagoan idatz daitezke, honako erlazio trigonometrikoak aplikatzen badira: cosA+cosB eta cosA-cosB.

Osziladore baten anplitudea aldakorra bada, anplitude modulatu deritzo. Bi osziladoreek anplitude modulatuak dituzte. Lehen osziladorearen anplitudea hau da: x₀₁·cos(w_a-w _b)·t /2 , eta bigarren osziladorearen anplitudea: x₀₁·sin(w_a-w _b)·t /2.

Lehen osziladorearen anplitudea (kosinu funtzioa) aurreratuta dago (p/2) bigarren osziladorearen anplitudearekiko, eta horregatik ematen dio energia osziladore batek besteari eta gero alderantziz. Periodo-laurden batean, lehenak bigarrenari energia ematen dio, bere anplitudea gutxituz eta bestearena handituz. Bigarren laurdenean, ordea, alderantziz gertatzen da. Prozesua behin eta berriz errepikatzen da etengabe.

Energiaren ikuspegia

Kalkula dezagun sistemaren energia totala: bi partikulen energia zinetikoen batura eta hiru malgukien energia potentzialen batura. Ezkerreko malgukiaren deformazioa x₁ da, eskumakoarena x₂ eta erdikoarena x₂-x₁.

Terminoak bildu ondoren, lehen parentesian  x₁ aldagaia soilik agertzen da, eta horregatik dei diezaiokegu, lehen osziladorearen energia. Bigarren terminoak soilik du x₂-ren menpekotasuna eta, horregatik, bigarren osziladorearen energia deituko diogu. Hirugarren eta azken terminoak, berriz, x₁ eta x₂-ren menpekotasuna dauka eta akoplamenduaren energia deituko diogu. Termino honek deskribatzen du bi osziladoreen arteko energia-trukea.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Alboetako bi malgukien k konstante elastikoa, dagokion kontrolean idatziz.
• Erdiko malgukiaren edo akoplamenduaren k konstante elastikoa, dagokion kontrolean idatziz.
• Ezkerreko partikularen edo 1-en hasierako posizioa dagokion kontrolean idatziz.
• Eskumako partikularen edo 2-ren hasierako posizioa, dagokion kontrolean idatziz.
• Bi partikulen masak finkotzat hartu dira: m=1.
• Eta hasierako bi abiadurak nulutzat hartzen dira.

Hasi botoia sakatu.

Bibrazioaren modu normalak

• Oszilazioaren lehen modu normala: idatz bedi datu berdina, 1-en hasierako posizioan eta 2-ren hasierako posizioan, esaterako 1.0, biak berdinak.

• Oszilazioaren bigarren modu normala: idatz bedi datu berdina bi kontrol horietan, baina aurkako zeinuekin, esaterako 1.0, 1-en hasierako posizioan eta –1.0, 2-ren hasierako posizioan, biak aurkakoak.

Ikasgelako erakustaldia simulatzea

• Idatz bedi 1-en hasierako posizioan 1.0 eta 2-ren hasierako posizioan, 0.0

• Beha bedi nola oszilatzen duten bi partikulek eta neur bedi zenbat denbora pasatzen den osziladore baten anplitudea nulua den unetik, berriz ere nulu izatera iristen den arte. Leihatilaren goiko eta ezkerreko erpinean denbora idatziz erakusten da eta, ondoan, osziladore bakoitzaren desplazamendua. Leihatilaren azpiko aldean, grafiko batek partikulen posizioak adierazten ditu denboraren menpe. Gelditu eta pausoka botoiekin zehatzago neur daiteke zein aldiunetan dagoen geldi osziladore bakoitza.

• Kalkula itzazu teorikoki oszilazioaren bi modu normalen w_b eta w_a maiztasun angeluarrak eta anplitude modulatuaren (w_a-w_b )/2 maiztasun angeluarra, periodoa eta periodo erdia. Konpara itzazu teorikoak eta esperimentuan lortutakoak. Berdinak al dira?