Oszilazioak

Osziladore akoplatuak

Bi akoplatuta

Hiru akoplatuta

Katea monoatomikoa

Bibrazioen
modu normalak

Katea diatomikoa

Bi malgukitan
eskegitako hagatxoa

Wilberforce pendulua

Pendulu bikoitza

Malguki-Pendulua

Oszilazioetatik
uhinetara

Luzera ezberdineko
pendulu ez akoplatuak

Bibrazioaren modu normalak

Kasu bereziak

Saiakuntza

Dispertsio erlazioa

Programazio-kodea

Hiru osziladore akoplatuta aztertu ondoren, azter ditzagun orokortze gisa, malgukiez eta partikulez osatutako katea luze baten oszilazio-modu normalak. Adibide honek argi erakusten ditu muturretatik lotuta dagoen soka baten bibrazio-modu normalak, uhin geldikorrak deiturikoak.

Demagun N partikuladun partikula-multzo bat: m₁, m₂, m3…m_N-1, m_N  masadunak, N+1 malgukiez lotuta: k₀, k₁, k₂, k₃, … k_N-1, k_N, irudiak erakusten duen bezala.

Higiduraren ekuazioak

Partikula bakoitzak bi indar jasaten ditu: ezkerreko malgukiak eragiten diona eta eskumakoak eragiten diona. Irudiak erakusten ditu lehenak (m₁), i-garrenak (m_i) eta N-garrenak (m_N) jasaten dituzten indarrak:

Laburtuz, partikulen higidura-ekuazioak honela idatz daitezke:

Bila ditzagun honelako soluzioak:

x_i=A_icos(ωt)

Partikulak hasieran, t=0 aldiunean pausagunean baldin badaude eta x_0i posizioan, orduan hasierako faseak π/2 dira guztiak.

Eta x_i posizioaren bigarren deribatua kalkulatzen badugu t denborarekiko:

Honako ekuazio-sistema homogeneoa lortzen da:

Eta matrize gisa adieraz daiteke:

Modu sinbolikoan matrizeak honela adieraz daitezke: M·X= ω²X,  eta hemen X zutabe-bektorea da,  A₁, A₂... A_N koefiziente ezezagunek osatzen dutena.

Bibrazioen modu normalak kalkulatzen dira ondoko matrizearen determinantea zerora berdinduz: |M- ω²I|=0, eta hemen I  matrize unitatea da.

ω²-ren menpekoa den N-garren graduko polinomioaren soluzioak M matrizearen balio propioak dira. Bektore propioak berriz, maiztasun horietako bakoitzarentzat, A_i koefizienteen balioak dira.

Bestela, ω_j maiztasun normal bakoitzarentzat, modu normalen A_i anplitudeak  honako errepikapen-erlazioa erabilita ere kalkula daitezke:

• Lehen modu normalarentzat (ω₁ maiztasuna), kalkulatzen dira A₂, A₃…. A_N anplitudeak, denak A₁ anplitudearen menpe, eta honela izendatuko ditugu: A₁₁, A₂₁, A₃₁… A_N1. Izan ere, balio horiek guztiak ω²₁ balio propioari dagokion bektore propioaren balioak dira.

• j-garren modu normalarentzat (ω_j maiztasuna) kalkulatzen dira A₂, A₃…. A_N anplitudeak, denak A₁ anplitudearen menpe, eta honela izendatuko ditugu: A_1j, A_2j, A_3j… A_Nj. Izan ere, balio horiek guztiak ω²_j balio propioari dagokion bektore propioaren balioak dira.

• Azken modu normalarentzat (ω_N maiztasuna) kalkulatzen dira A₂, A₃…. A_N anplitudeak, denak A₁ anplitudearen menpe, eta honela izendatuko ditugu: A_1N, A_2N, A_3N… A_NN. Izan ere, balio horiek guztiak ω²_N balio propioari dagokion bektore propioaren balioak dira.

Partikula soilen higidurak

Partikula soil bakoitzaren higidura izango da, bibrazio-modu guztien gainezarmena:

x₁=A₁₁cos(ω₁·t)+A₁₂cos(ω₂·t)+...A_1N·cos(ω_N·t)
x₂=A₂₁cos(ω₁·t)+A₂₂cos(ω₂·t)+....A_2N·cos(ω_N·t)
...........
x_N=A_N1cos(ω₁·t)+A_N2cos(ω₂·t)+....A_NN·cos(ω_N·t)

Hasierako baldintzetatik (t=0 aldiuneko N posizioak eta N abiadurak) koefiziente guztiak determinatzen dira: A₁₁,A₁₂.... A_1N  Demagun partikulen posizioak honakoak direla x₁₀, x₂₀, x₃₀,...x_N0  eta abiadura guztiak nuluak, v_i0 =0.

Bibrazio-modu normalak

• Bibrazioaren lehen modu normala (ω₁) lortzen da honako baldintzetan: A₁₂=A₁₃=…A_1N=0 eta A₁₁≠0

Orduan partikulen posizioak:

x₁=A₁₁cos(ω₁·t)
x₂=A₂₁cos(ω₁·t)
...........
x_N=A_N1cos(ω₁·t)

Hemen A₁₁, A₂₁, ...A_N1 dira ω²₁ balio propioari dagokion bektore propioaren osagaiak.

• Bibrazioaren j-garren modu normala (ω_j) lortzen da honako baldintzetan: A₁₁=A₁₃=…A_1N=0 eta A_1j≠0

Orduan partikulen posizioak:

x₁=A_1jcos(ω_j·t)
x₂=A_2jcos(ω_j·t)
...........
x_N=A_Njcos(ω_j·t)

Hemen A_1j, A_2j, ...A_Nj dira ω²_j balio propioari dagokion bektore propioaren osagaiak.

Orain arte planteamendu orokorra formulatu dugu, baina badaude zenbait kasu berezi eta interesgarri.

Kasu bereziak

Kasu interesgarrienetako bat da, masa guztiak berdinak direnean, m₀=m₁=m₂=m₃, …=m_N-1=m_N=m,

eta malguki guztiak berdinak direnean, k₀=k₁=k₂=k₃, …=k_N-1=k_N=k,

M matrizea simetrikoa da eta kalkulatu behar dira balio propioak (ω²) eta bektore propioak, esaterako Jacobi-ren metodoaz (ikus ezazu programazio kodea)

Adibideak:

• Bi partikulez osatutako sistema, N=2

Higiduraren ekuazioak:

Bila ditzagun itxura honetako soluzioak:

x₁=A₁cos(ωt), x₂=A₂cos(ωt)

Matrize gisa, ekuazio-sistema hori honela idazten da:

Bibrazio-modu normalen maiztasunak (ω²) matrize karratu horren balio propioak dira eta bektore propioak bibrazio-modu normalen anplitudeak:

Balio propioak, ω2	Bektore propioak
k/m	(A11, A11)
3k/m	(A12, -A12)

Azkenik, A₁₁ eta A₁₂ koefizienteak hasierako baldintzetatik determinatzen dira.

• Hiru partikulaz osatutako sistema, N=3

Hona hemen higiduraren ekuazioak:

Bila ditzagun itxura honetako soluzioak:

x₁=A₁cos(ωt), x₂=A₂cos(ωt), x₃=A₃cos(ωt)

Matrize gisa, ekuazio-sistema hori honela idazten da:

Bibrazio-modu normalen maiztasunak (ω²) matrize karratu horren balio propioak dira eta bektore propioak bibrazio-modu normalen anplitudeak:

Balio propioak, ω2	Bektore propioak
	(A12 , 0, -A12)

Azkenik, A₁₁, A₁₂ eta A₁₃ koefizienteak hasierako baldintzetatik determinatzen dira.

• Lau partikulaz osatutako sistema, N=4

Hona hemen higiduraren ekuazioak:

Bila ditzagun itxura honetako soluzioak:

x₁=A₁cos(ωt), x₂=A₂cos(ωt), x₃=A₃cos(ωt), x₄=A₄cos(ωt)

Matrize gisa, ekuazio-sistema hori honela idazten da:

Bibrazio-modu normalen maiztasunak (ω²) matrize karratu horren balio propioak dira eta bektore propioak bibrazio-modu normalen anplitudeak:

Balio propioak, ω2	Bektore propioak

Azkenik, A₁₁, A₁₂, A₁₃ eta A₁₄ koefizienteak hasierako baldintzetatik determinatzen dira.

Saiakuntza

Finkotzat hartzen dira:

• Partikulen masak, m=1 kg

• Malgukien konstante elastikoak, k=1 N/m

Aukeran idatz daiteke:

• Partikula kopurua, N , dagokion kontrolean idatziz.

Berria botoia sakatu.

Lehenik, partikula-multzoa bibratzen ikusten da, lehen bibrazio-modu normalean. Goiko eta ezkerreko erpinean maiztasun angeluarra idatziz erakusten da: ω₁.

Hurrengoa>> izeneko botoia sakatuz hurrengo bibrazio-modu normala ikusten da,  ω₂, eta behin eta berriz sakatuz, ω₃ ,ω₄ , … etab.

Aurrekoa<< izeneko botoia sakatuz aurreko bibrazio-modu normala ikusten da.

Modu normalen kopurua eta partikula-kopurua beti dira berdinak.

Dispertsio-erlazioa

Ondorengo irudiak erakusten ditu N partikula, m masadunak, N+1 malgukiekin lotuta, denak k konstantedunak k, eta bi muturrak finko. Demagun oreka-posizioan partikulen arteko separazioa a dela.

Demagun t aldiune jakin batean 1. partikula x₁ distantzia desplazatzen dela, 2. partikula x₂ distantzia desplazatzen dela eta i-garren partikula x_i distantzia desplazatzen dela, eta abar.

i-garren partikularen higidura-ekuazioa honela idazten da:

Demagun sistema oszilatzen ari dela w maiztasuneko bibrazio-modu batean. Partikula guztiek H.H.S deskribatzen dute, w maiztasun berarekin, baina A_i anplitudeak kalkulatzea falta zaigu:

x_i=A_i·cos(w t)

Adierazpen hori ordezkatzen badugu partikula horren higidura-ekuazio diferentzialean, erlazio bat lortzen da i+1, i, eta i-1 partikulen anplitudeen artean.

Bila dezagun itxura honetako soluzio bat:

A_i=A·sin(K·ia)

hemengo K uhin zenbakia da, K=2p/l, eta orduan:

A·sin(Kia+Ka)+ A·sin(Kia-Ka)= A·sin(Kia)(2-mω²/k)

Ekuazio horrek erlazionatzen ditu bibrazio-moduaren w maiztasuna eta K uhin zenbakia, eta dispertsio-erlazio deritzo.

Ondoko irudiak erakusten du nola aldatzen den ω  maiztasun angeluarra, K uhin zenbakiaren menpe eta (-π/a, +π/a) tartean.

public class Jacobi {
//el vector d son los valores propios
//Las columnas de la matriz v son los vectores propios
//devuelve el número de iteraciones
static int calcula(double[][] a, int n, double[] d, double[][] v) {
//Computes all eigenvalues and eigenvectors of a real symmetric matrix a[1..n][1..n]. On
//output, elements of a above the diagonal are destroyed. d[1..n] returns the eigenvalues of a.
//v[1..n][1..n] is a matrix whose columns contain, on output, the normalized eigenvectors of
//a. nrot returns the number of Jacobi rotations that were required.

	int j,iq,ip,i;
	double tresh,theta,tau,t,sm,s,h,g,c;
	double[] b=new double[n]; //b=vector(1,n);
	double[] z=new double[n]; //z=vector(1,n);
	for (ip=0;ip<n;ip++) { //Initialize to the identity matrix.
		for (iq=0;iq<n;iq++) v[ip][iq]=0.0;
		v[ip][ip]=1.0;
	}
	for (ip=0;ip<n;ip++) { //Initialize b and d to the diagonal of a.
		b[ip]=d[ip]=a[ip][ip];
		z[ip]=0.0; //This vector will accumulate terms of the form tapq as in equation (11.1.14).
	}
	int nrot=0;
	for (i=1;i<=50;i++) {
		sm=0.0;
		for (ip=0;ip<=n-2;ip++) { //Sum o -diagonal elements.
			for (iq=ip+1;iq<n;iq++)
				sm += Math.abs(a[ip][iq]);
		}
		if (sm == 0.0) { 
//The normal return, which relies on quadratic convergence to machine underflow.
			return nrot;
		}
		if (i < 4)
			tresh=0.2*sm/(n*n);// ...on the rst three sweeps.
		else
			tresh=0.0; //...thereafter.
		for (ip=0;ip<n-1;ip++) {
			for (iq=ip+1;iq<n;iq++) {
				g=100.0*Math.abs(a[ip][iq]);
//After four sweeps, skip the rotation if the o -diagonal element is small.
				if (i > 4 && (float)(Math.abs(d[ip])+g) == (float)Math.abs(d[ip]) 
					&& (float)(Math.abs(d[iq])+g) == (float)Math.abs(d[iq]))
					a[ip][iq]=0.0;
				else if (Math.abs(a[ip][iq]) > tresh) {
					h=d[iq]-d[ip];
					if ((float)(Math.abs(h)+g) == (float)Math.abs(h))
						t=(a[ip][iq])/h; // t = 1=(2 )
					else {
						theta=0.5*h/(a[ip][iq]); //Equation (11.1.10).
						t=1.0/(Math.abs(theta)+Math.sqrt(1.0+theta*theta));
						if (theta < 0.0) t = -t;
					}
					c=1.0/Math.sqrt(1+t*t);
					s=t*c;
					tau=s/(1.0+c);
					h=t*a[ip][iq];
					z[ip] -= h;
					z[iq] += h;
					d[ip] -= h;
					d[iq] += h;
					a[ip][iq]=0.0;
					for (j=0;j<=ip-1;j++) { //Case of rotations 1 j < p.
						g=a[j][ip];
						h=a[j][iq];
						a[j][ip]=g-s*(h+g*tau);
						a[j][iq]=h+s*(g-h*tau);
					}
					for (j=ip+1;j<=iq-1;j++) { //Case of rotations p < j < q.
						g=a[ip][j];
						h=a[j][iq];
						a[ip][j]=g-s*(h+g*tau);
						a[j][iq]=h+s*(g-h*tau);
					}
					for (j=iq+1;j<n;j++) { //Case of rotations q < j n.
						g=a[ip][j];
						h=a[iq][j];
						a[ip][j]=g-s*(h+g*tau);
						a[iq][j]=h+s*(g-h*tau);
					}
					for (j=0;j<n;j++) {
						g=v[j][ip];
						h=v[j][iq];
						v[j][ip]=g-s*(h+g*tau);
						v[j][iq]=h+s*(g-h*tau);
					}
					++nrot;
				}
			}
		}
		for (ip=0;ip<n;ip++) {
			b[ip] += z[ip];
			d[ip]=b[ip]; //Update d with the sum of tapq,
			z[ip]=0.0; //and reinitialize z.
		}
	}
	return nrot;
}

}

//Valores y vectores propios de la matriz  M

	double N=3;	
	double[] k=new double[N+1];
	double[] m=new double [N+1];
	for(int i=0; i<k.length; i++){
		k[i]=1.0;
		m[i]=1.0;
	}
	double[][] matrix=new double[N][N];
	for(int i=0; i<N; i++)
		for(int j=0; j<N; j++)
			matrix[i][j]=0.0;

	matrix[0][0]=(k[0]+k[1])/m[1];
	matrix[0][1]=-k[1]/m[1];
	for(int i=1; i<N-1; i++){
		matrix[i][i-1]=-k[i]/m[i+1];
		matrix[i][i]=(k[i]+k[i+1])/m[i+1];
		matrix[i][i+1]=-k[i+1]/m[i+1];
	}
	matrix[N-1][N-1]=(k[N-1]+k[N])/m[N];
	matrix[N-1][N-2]=-k[N-1]/m[N];

	double[] valores=new double[N];
	double[] vectores=new double[N][N];
	Jacobi.calcula(matrix, N, valores, vectores);
	ordenar(valores, vectores); 

	System.out.println("valores y vectores propios");
	for(int i=0; i<N; i++){
		System.out.print(valores[i]+"\t");
	}
	System.out.println();
	for(int i=0; i<N; i++){
		System.out.println();
		for(int j=0; j<N; j++)
		System.out.print(vectores[i][j]+"\t");
	} 

private void ordenar(double[] x, double[][] mat){
	double aux;
	double[] vAux=new double[x.length];
	for(int i=0; i<x.length-1; i++){
		for(int j=i+1; j<x.length; j++){
			if(x[i]>x[j]){
				aux=x[j];
				for(int k=0; k<x.length; k++)
					vAux[k]=mat[k][j];
				x[j]=x[i];
				for(int k=0; k<x.length; k++)
					mat[k][j]=mat[k][i];
				x[i]=aux;
				for(int k=0; k<x.length; k++)
					mat[k][i]=vAux[k];
			}
		}
	}
}