Oszilazioak

Osziladore akoplatuak

Bi akoplatuta

Hiru akoplatuta

Katea monoatomikoa

Bibrazioen
modu normalak

Katea diatomikoa

Bi malgukitan
eskegitako hagatxoa

Wilberforce-pendulua

Pendulu bikoitza

Malguki-pendulua

Oszilazioetatik
uhinetara

Luzera ezberdineko
pendulu ez akoplatuak

Hurbilketak

Sistemaren energia

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan, sistema oszilatzaile sinplea aztertzen da, alegia partikula bat malguki elastiko baten muturrean eskegita, baina malgukia norabide bertikalean egon beharrean, desplazatu egiten da albo batera eta askatu. Dei diezaiegun partikularen masari m,  malgukiaren konstante elastikoari k eta partikularen hasierako posizioari (x₀ , y₀).

Oszilazio bi behatzen dira: batetik, malguki elastikoaren luzapen eta laburtzeak eta, bestetik, pendulu sinplearen oszilazioak alde batera eta bestera. Oszilazio bakoitzak dauka bere maiztasun propioa baina biak daude akoplatuta, lineala ez den erlazioaz.

Ondorioz, zaila da malguki elastikoaren oszilazio bertikal soilak mantentzea, gora eta  behera, zeren akoplamenduak partikula alde batera eta bestera desbideratzen du pendulu gisa. Partikularen masa eta malgukiaren konstantea modu egokian aukeratuz gero, oszilazioak oso handiak izatera irits daitezke.

Sistema ez lineal honek askatasun-gradu bi ditu, eta oso garbi erakusten du, askatasun-gradu batetik bestera energia transferitzeko, zeinen garrantzitsuak diren ezegonkortasunak.

Higiduraren ekuazioak

Demagun malguki elastikoak k konstantea duela eta, deformaziorik gabe, L₀ luzera. Goiko muturra finkoa da eta, beheko muturrean, m masadun partikula eskegitzen da.

Masa eskegitzean, malgukia luzatu egiten da. Hona luzapena: y_e=mg/k, eta beraz, malgukiaren luzera berria hau da: L_e=L₀+y_e.

Har dezagun koordenatu-sistemaren jatorria (O) justu partikularen oreka-posizioan bertan. Desplaza dezagun partikula oreka-posiziotik kanpo, (x₀, y₀) posiziora eta aska dezagun. Higitzen ari denean, partikula (x, y) posizioan dagoenean, malgukiaren luzera L izango da eta partikulak jasaten dituen indarrak bi dira:

• Malguki deformatuak egiten dion indarra: T .

• Partikularen pisua: mg.

Aplika dezagun Newton-en bigarren legea:

Ordezka daitezke: T=k(L-L₀) eta mg=k(L_e-L₀). Ondoren, sinθ=x/L, eta cosθ=(L_e-y)/L, bi ekuazio diferentzialeko sistema berridatz daiteke partikularen (x, y)  posizioaren menpe:

Orokorrean, malguki deformatuaren luzera hau da:

Azpimarratzekoa da, ekuazio diferentzial horien linealtasun ezaren jatorria ez dela malgukia bera, linealtzat hartzen baita, higiduraren geometria baizik.

Hurbilketak

Oreka-posizioaren inguruko desplazamenduak (x eta y) txikiak badira malgukiaren L₀ luzeraren aldean, orduan, bi ekuazio diferentzialak sinplifikatu egiten dira:

Lehen ekuazio diferentzialean, hona hurbilketa:

Eta beraz, lehen ekuazio diferentziala honela berridatz daiteke:

Bigarren ekuazio diferentzialean, hona hurbilketa:

Bigarren ekuazio diferentziala honela berridatz daiteke:

Defini dezagun ω_x , X ardatzaren norabideko maiztasun angeluarra eta ω_y , Y ardatzaren norabideko maiztasun angeluarra. Dei diezaiogun λ akoplamenduaren proportzionaltasunaren konstanteari:

• ω_x maiztasuna L_e luzeradun pendulu baten oszilazioei dagokie.

• ω_y maiztasuna, berriz, k konstantedun eta m masadun malguki baten oszilazioei dagokie.

Orduan, bigarren ordenako bi ekuazio diferentzialeko sistema akoplatua honela geratzen da:

Erresonantzia autoparametrikoa

Demagun partikula oszilatzen hasten dela Y ardatzaren norabidean, alegia, x<<y. Orduan, bigarren ekuazio diferentzialean, λx² terminoa arbuia daiteke eta HHS-ren ekuazioa geratzen da. Hona hemen soluzioa:

y=A·cos(ω_y·t)

Orduan, lehen ekuazio diferentziala honela idatz daiteke:

Ekuazio diferentzial mota horri Mathieu motakoa deritzo, eta baldintza hauetan:

Bere soluzioa ezegonkorra da, baita A parametroaren balioak txikiak badira ere (Y ardatzaren norabideko anplitudea). Zenbat eta txikiagoa izan n, orduan eta ezegonkorragoa da soluzioa. Esaterako, n=1 bada, hau da maiztasun angeluarren arteko erlazioa:

ω_y=2ω_x.

Baina konstante elastikoak, k, malgukiaren deformaziorik gabeko luzerak, L₀ , eta partikularen masak, m, erlazio horixe bete dezakete. Honela:

Sistemaren energia

Hasierako posizioan (x0 , y0) , partikula pausagunetik abiatzen da (v=0) eta energia potentzialaren jatorria, Ep=0, oreka-posizioan bertan hartu dugu, ezkerreko irudiak erakusten duen bezala. Energiaren balioa hau da:

Ondoren, t aldiunean, partikularen posizioa (x, y) denean honela adieraziko dugu bere abiadura: v=v_xi+v_yj

Eta sistemaren energia hau da:

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Malgukiaren Konstante elastikoa (N/m), k desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Partikularen Masa (g), m , gramotan, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Malgukiaren deformaziorik gabeko luzera finkotzat hartzen da: L₀=1 m

Berria botoia sakatu.

Partikula oreka-posizioan kokatuta dago, masaren arabera, alegia, malgukia luzatuta dago norabide bertikalean: y_e=mg/k.

• Saguarekin, eraman bedi partikula hasierako posiziora (x₀, y₀) eta askatu egiten da pausagunetik abiatuta. Hasierako posizioak honako tartean egon beharra dauka: -0.5≤x₀<0.5, -0.5≤y₀<0.5.

Hasi botoia sakatu.

Partikula mugitzen hasten da, XY planoan oszilatzen, gora-behera eta ezker-eskuin. Ibilbidea irudikatuta geratzen da.

Programa interaktiboak bigarren ordenako bi ekuazio diferentzialeko sistema akoplatua ebazten du, Runge-Kutta metodo numerikoaren bitartez. Normalean, metodo horrek emaitza zuzenak ematen ditu, baina egiazta daiteke, partikularen energia totala konstante mantentzen dela ikusita.

Oharra: Programa interaktiboak energia potentzial grabitatorioaren jatorria malgukiaren deformaziorik gabeko posizioan hartu du, eta ez hemengo kalkuluetan hartu den posizio berean. Alegia, L₀=1 m posizioan hartu du, malgukia eskegitzen den puntutik behera, eta ez partikularen oreka posiziotik behera y_e=mg/k distantzia edo, bestela esanda, malgukia eskegitzen den puntutik behera L_e=L₀+mg/k distantzia.

Adibidea:

• Partikularen masa, m=300g=0.3 kg.

• Malgukiaren luzera, L₀=1.0 m.

Malgukiaren elastikotasun-konstantea har dezagun baldintza hau betetzen duena: ω_y=2ω_x , alegia, k=8.82 N/m.

Oreka posizioan, malgukia honenbeste luzatzen da: y_e=mg/k=1/3 m. Beraz, malgukiaren luzera oreka-posizioan, hau da: L_e=1+1/3=4/3 m

Has gaitezen norabide bertikaletik oso gertu dagoen posizio batean. Esaterako: x₀=0.01 m eta y₀=0.0, (norabide bertikalean bertan). Oszilatzen hasten da, hasieran gora eta behera, baina une batetik aurrera malgukiaren oszilazio bertikalak gutxitzen doaz, pendulu motako oszilazioak handituz doazelako, alegia, oszilazio horizontalak. Ondoren, alderantziz ere gertatzen da.

Leihatilaren goiko eta ezkerreko erpinean partikularen energia totala idatziz erakusten da, uneoro eta partikularen edozein (x, y) posiziorako. Kalkuluek zuzen jarduten badute, energia totala konstantea izan behar da.

Leihatilaren eskumako aldean, barra-diagrama batek hiru energia motak adierazten ditu:

• Partikularen energia zinetikoa (gorriz)

• energia potentzial grabitatorioa (urdinez)

• energía potentzial elastikoa (berdez)

Hiru energia motak aldakorrak diren arren, hiruren batura konstantea da.