Oszilazioak

Osziladore akoplatuak

Bi akoplatuta

Hiru akoplatuta

Katea monoatomikoa

Bibrazioen
modu normalak

Katea diatomikoa

Bi malgukitan
eskegitako hagatxoa

Wilberforce-pendulua

Pendulu bikoitza

Malguki-Pendulua

Oszilazioetatik
uhinetara

Luzera ezberdineko
pendulu ez akoplatuak

Bibrazio-modu normalak

Bi maiztasunak berdinak direnean

Energiaren ikuspegia

Saiakuntza

Erreferentzia

Wilberforce-pendulua oso tresna ezaguna da, energiaren kontserbazioa egiaztatzeko. Zilindro bat da, helize itxurako malguki batean eskegita. Gainera, oszilazio akoplatuak ondo erakusten ditu translaziozko oszilazioen eta tortsiozko oszilazioen artean. Zilindroak bi esferatxo ditu (irudian gorriak) bere inertzia-momentua aldatu ahal izateko, bi esferatxoak zilindrora hurbilduz eta urrunduz. Orri honetan higiduraren ekuazioak ebatziko ditugu, bai translaziozkoak zein errotaziozkoak (ardatz bertikalaren inguruan). Oszilazioen modu normalen maiztasunak kalkulatuko ditugu eta determinatuko ditugu zeintzuk diren hasierako baldintza beharrezkoak, sistemaren oszilazioek modu normal garbiak deskribatzeko.

Higiduraren ekuazioak

Demagun malgukiaren konstante elastikoak k_x balio duela translaziozko oszilazioetarako eta k_q tortsiozko oszilazioetarako. Dei diezaiogun x malgukiaren desplazamendu bertikalari oreka posiziotik neurtuta, eta dei diezaiogun q  posizio angeluarrari.

Bi oszilazio-moduen arteko akoplamenduak honelako funtzio lineala betetzen du: εxq /2,  eta ε-ri akoplamendu-konstante deritzo.

Sistemaren energiak bost atal ditu: zilindroaren translaziozko energia zinetikoa, errotaziozko energia zinetikoa, malgukiaren x deformazio linealari dagokion energia potentziala, θ  tortsioari dagokion energia potentziala eta, azkenik, akoplamendu energia:

Lagrange-ren higidura-ekuazioek bigarren ordenako ekuazio diferentzial bi ematen dituzte. Definizioz sistemaren Legrangearra hau da: L=E_k-E_p, eta deribatuen adierazpena egokituz:

Honela idatz daiteke Lagrangearra:

Hortik abiatuz:

Higiduraren ekuazioak hauek dira:

Akoplamendu-terminorik ezean, ε=0 , ekuazioek bi Higidura Harmoniko Sinple deskribatzen dituzte eta maiztasun angeluarrak:

Elimina dezagun x bi ekuazio diferentzialeko sisteman:

Froga ditzagun honelako itxurako soluzioak:

θ=A·sin(ωt)+ B·cos(ωt)

Horretarako, ordezka dezagun soluzio hori θ-ren menpeko eta  laugarren ordenako ekuazio diferentzialean. Ekuazio birkoadratu bat lortzen da:

Ekuazio horren soluzio erreal biak (ω₁ eta ω₂ ) bibrazio-modu normal bien maiztasun angeluarrak dira:

Posizio angeluarraren soluzio orokorra denboraren menpe, θ(t), ez da bi soluzio horietako bat, bibrazio-modu normal bien konbinazio lineala baizik.

θ(t)=Asin(ω₁t)+ Bcos(ω₁t)+ Csin(ω₂t)+ Dcos(ω₂t)

Abiadura angeluarra honela adieraz daiteke:

Bestalde, x(t) posizioa kalkulatzeko, translazioa, ordezkatu behar dira θ(t) eta bere bigarren deribatua denborarekiko bigarren ordenako ekuazio diferentzialean, alegia, zilindroaren errotazioa deskribatzen duen ekuazio diferentzialean:

Hona emaitza:

Eta zilindroaren m.z-ren abiadura:

Hasierako baldintzek A, B, C, D koefizienteak determinatzen dituzte. Esaterako, t=0 aldiunean, desplaza dezagun zilindroa x₀ distantzia behera eta eta bira dezagun θ₀  angelua. Ondoren, eta pausagunetik abiatuta (dx/dt=0, dθ/dt=0), zilindroa askatu egiten da:

Hasierako baldintzetatik A, B, C, D koefizienteak determinatzeko, lau ekuazioko sistema ebatzi behar da:

Eta hortik ateratzen dira:

A=C=0

Beraz, hona hemen Wilberforce-penduluaren x posizioa, θ angelua eta bi abiadurak (translaziozkoa dx/dt eta errotaziozkoa dθ/dt) denboraren menpe adierazita:

Bibrazio-modu normalak

• Lehen bibrazio-modu normala lortzeko, ω₁ maiztasun angeluarrekoa, D=0, izan behar da.

Horretarako, zilindroaren hasierako x₀ posizioak eta θ₀ angeluak honako erlazioa bete behar dute:

Eta hona hemen, x posizioa eta θ angelua, t denboraren menpe adierazita:

θ(t)= θ₀cos(ω₁t)

• Bigarren bibrazio-modu normala lortzeko, ω₂ maiztasun angeluarrekoa, E=0, izan behar da. Hori lortzen da hasierako x₀ posizioak eta θ₀ angeluak honako erlazioa betetzen badute:

Kasu horretan, x posizioa eta θ angelua, t denboraren menpe adierazita:

θ(t)= θ₀cos(ω₂t)

Bi maiztasunak berdinak direnean

Zilindroaren inertzia-momentua, I, alda daiteke, bi esferatxoak zilindrora hurbilduz eta urrunduz. Dei diezaiogun d esferatxoetatik zilindroaren ardatzeraino dagoen distantziari. Horrela lor daiteke, esaterako, penduluak translazioz burutzen dituen oszilazioek eta tortsioek maiztasun berdinak izatea w =w_x=w_q

Kasu horretan, bibrazio-modu normalen maiztasunek (ω₁ eta ω₂) oso adierazpen sinpleak dituzte:

Oso interesgarria da x₀=0 kasua, alegia zilindroa pixka bat biratu, θ₀ angeluraino, eta askatu.

Koefizienteek balio dute: B=D=θ₀/2. Eta higiduraren ekuazioak hauek dira:

• Lehen bibrazio-modu normala lortzeko, ω₁ maiztasun angeluarrekoa, zilindroaren hasierako x₀ posizioak eta θ₀ angeluak honako erlazioa bete behar dute:

• Bigarren  bibrazio-modu normala lortzeko, ω₂ maiztasun angeluarrekoa, zilindroaren hasierako x₀ posizioak eta θ₀ angeluak honako erlazioa bete behar dute:

Adibidea:

• Akoplamendu konstantea, ε=0.03 kg·m/s²
• Zilindroaren eta esferen masak: m=0.43 kg.

• Luzapenari dagokion konstante elastikoa k_x =16.98 N/m.

Translaziozko oszilazioen maiztasun angeluarra:

• Tortsioari dagokion konstante elastikoa k_q=5.74·10^-3 N·m

• Inertzia-momentua, I, aldakorra da.

Tortsiozko oszilazioen maiztasun angeluarra hau da: w_q² = k_q /I, baina aldakorra denez, horrela kalkulatu behar da:

Multzoaren inertzia-momentua bi terminoren batura da (ikusi irudia): batetik, zilindroaren inertzia-momentua (grisa) eta, bestetik, bi esferen inertzia momentua (gorriak); zilindroaren inertzia-momentua finkoa da: IZ=(1/2)MzR2=1.28·10-4kg·m2, eta bi esferen inertzia momentua 2·md2= 3.4·10-3·d2 kg·m2 (esferak partikulatzat hartu ditugu) biek dute masa bera, m=3.4·10-3 kg, eta d distantzia bera. Hortaz:

I = 1.28·10^-4 + 2·3.4·10^-3· d² kg·m²

I  alda dezakegu, esferatxoak ardatzerantz hurbilduz eta urrunduz.

Beraz, tortsiozko oszilazioen maiztasuna hau da:

Esate baterako, d=3.5 cm = 0.035 m. bada, orduan inertzia-momentua I=1.3633·10^-4 kg·m² eta tortsiozko oszilazioen maiztasuna: w_q = 6.489 rad/s

Eta bi oszilazio-modu normalen maiztasunak:

ω₁=6.569 rad/s
ω₂=6.200 rad/s

Esaterako, zilindroaren hasierako posizioa x₀= -0.04 bada, orduan, lehen oszilazio-modu garbia ikusteko, honako angelua eman behar diogu hasieran:

θ₀= -4.20 rad= -240.7º

Eta bigarren oszilazio-modu garbia ikusteko, honako angelua eman behar diogu hasieran:

θ₀= 1.20 rad= 68.8º

           Ondorengo applet-ean, saguarekin, esferen d distantzia alda daiteke, beraz, zilindroaren I  inertzia-momentua. Horrela, oszilazioen bi maiztasunak (desplazamenduarena eta tortsioarena) berdinak izatea lor daiteke. Leihatilan idatzita agertzen dira bi maiztasunak, w_x azpian eta w_q gainean.

Eta bi maiztasunak berdinak izatea lortzen duen d distantziaren balioa hau da:

Kasu horretan inertzia-momentua: I=1.45·10^-4 kg m²

Eta maiztasun angeluarrak: w_x= w_q = 6.284 rad/s.

Oszilazio-modu normal bien maiztasunak, hauek dira:

ω₁=6.433 rad/s
ω₂=6.131 rad/s

Zilindroaren hasierako posizioa x₀= -0.04 bada, orduan, lehen oszilazio-modu garbia ikusteko, honako angelua eman behar diogu hasieran:

θ₀= -2.18 rad= -124.6º

Bigarren oszilazio-modu garbia ikusteko, honako angelua eman behar diogu hasieran:

θ₀= 2.18 rad= 124.6º

Honako kasu hau ere interesgarria da: x₀=0 eta θ₀≠0, esate baterako, θ₀=0.70 rad=40º

θ(t)=20(cos(ω₁t)+ cos(ω₂t))   gradutan
x(t)=0.64(cos(ω₁t)-cos(ω₂t))  cm

Energiaren ikuspegia

Ondorengo applet-ean, eskumako aldean, tarta-itxurako diagrama batek energiaren atal guztiak erakusten ditu: bi oszilazio-moduei (errotazioari eta translazioari) dagozkien energia zinetikoak eta energia potentzial elastikoak.

Translaziozko oszilazioei dagozkien energiak:

• Energia potentziala:
• Energia zinetikoa:

Tortsiozko oszilazioei dagozkien energiak:

• Energia potentziala:
• Energia zinetikoa:

Akoplamendu energia:

Leihatilaren goiko eta eskumako erpinean, programak energia totalaren balioa ematen du uneoro, zenbakiz. Pendulua higitzen ari den bitartean, energia totala konstante mantendu behar da.

Saiakuntza

Berria botoia sakatu.

Saguarekin, zilindroaren ondoko zirkulu gorria mugi daiteke: ardatzerantz hurbilduz, inertzia-momentua gutxitzeko eta urrunduz, inertzia-momentua handitzeko. Berarekin batera, posizio simetrikoan, beste esferatxoa ere mugitzen da (urdina).

Aukeran idatz daitezke:

• Zilindroaren hasierako altuera (cm), x₀ , dagokion kontrolean idatziz.
• Hasierako angelua, θ₀ , gradutan, dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Wilberforce-pendulua mugitzen ikusten da: batetik, gora eta behera oszilatzen du eta, bestetik, tortsioz ere oszilatzen du. Bestela, adierazpen grafikoa ikus daiteke:

• Translazioa laukia aktibatuz eta grafikoa botoia sakatuz, penduluaren x desplazamendu bertikala adierazten da denboraren menpe.
• Errotazioa laukia aktibatuz eta grafikoa botoia sakatuz, penduluaren q  posizio angeluarra adierazten da denboraren menpe.

Esperimentu berri bat abiatzeko, eta parametro berriak onartzeko, Berria botoia sakatu beharra dago.