Oszilazioak

Osziladore akoplatuak

Bi akoplatuta

Hiru akoplatuta

Katea monoatomikoa

Bibrazioen
modu normalak

Katea diatomikoa

Bi malgukitan
eskegitako hagatxoa

Wilberforce pendulua

Pendulu bikoitza

Malguki-Pendulua

Oszilazioetatik
uhinetara

Luzera ezberdineko
pendulu ez akoplatuak

Bibrazioaren modu normalak

Saiakuntza

Erreferentzia

Aurreko orrian ikusi da, “Bi osziladore akoplatuta”, alegia, bi partikula k konstantedun malguki banatan lotuta eta bien artean k_c konstantedun eta akoplamenduzko beste hirugarren malguki bat.

Honako orri honetan, hiru partikulaz osatutako multzoa aztertuko dugu, denak m masa berekoak eta denak k konstantedun malguki berdinez lotuta, irudiak erakusten duen bezala.

Partikulen higidura ekuazioak

Demagun lehen partikula oreka posiziotik desplazatzen dela x₁ distantzia, bigarrena x₂ eta hirugarrena x_3.

Partikula guztiek bi indar jasaten dituzte, ezkerreko malgukiak eragiten diona eta eskumakoak eragiten diona. Ondoko irudiak erakusten ditu indarrok:

	Lehen partikularen higidura-ekuazioa:
	Bigarren partikularen higidura-ekuazioa:
	Hirugarren partikularen higidura-ekuazioa:

Bila ditzagun honelako soluzioak:

x_i=A_icos(ωt), i=1, 2, 3

Soluzio horrek HHS adierazten du, A_i anplitudekoa eta ω  maiztasun angeluarrekoa. Hasieran, t=0 aldiunean, partikulak x_0i  posiziotik abiatzen badira eta pausagunetik, orduan hasierako faseak π/2 dira guztiak.

Eta x_i posizioaren bigarren deribatua kalkulatzen badugu t denborarekiko:

Honako ekuazio-sistema homogeneoa lortzen da:

Hona hemen sistemaren determinantea:

ω²-ren menpeko ekuazio kubikoaren hiru soluzioak hauek dira:

Hiru maiztasun horiek adieraziko dituzte oszilazioaren modu normalak.

Maiztasun bakoitzerako, hiru anplitudeen balioak kalkulatu behar dira: A₁, A₂ eta A₃, eta horiexek dira hiru modu normalen anplitudeak.

• Lehen maiztasunerako, ω₁.

Eta hirugarren ekuazioak:

egiaztatzen du, aurkitutako A₂ eta A₃ balioak zuzenak direla.

Lehen modu normalaren A_i anplitudeak kalkulatu ondoren, kalkula ditzagun baita ere, bigarren (ω₂-ren) eta hirugarren (ω₃-ren) modu normalen anplitudeak. Dei diezaiegun bigarren modu normalaren anplitudeei B_i, eta hirugarrenaren anplitudeei C_i.

Hona hemen emaitzak:

• Bigarren bibrazio-modu normala: ω₂

B₂=0, B₃= -B₁

• Hirugarren bibrazio-modu normala: ω₃

Partikula bakoitzaren higidura hiru bibrazio-modu normalen gainezartzea da:

x₁=A₁cos(ω₁·t)+B₁cos(ω₂·t)+C₁·cos(ω₃·t)
x₂=A₂cos(ω₁·t)+B₂cos(ω₂·t)+C₂·cos(ω₃·t)
x₃=A₃cos(ω₁·t)+B₃cos(ω₂·t)+C₃·cos(ω₃·t)

edo bestela idatzita,

A₁, B₁ eta C₁ konstanteen balioak hasierako baldintzetatik determinatzen dira. t=0, aldiunean partikulak pausagunean daude eta honako posizioetan: x₀₁, x₀₂, eta x₀₃ hurrenez hurren.

Ekuazio-sistema hori ebatziz:

Erabat determinatuta geratzen dira hiru partikulen higidurak.

Bibrazioaren modu normalak

• Bibrazioaren lehen modu normala (ω₁) lortzen da honako baldintzetan: A₁≠0, B₁=0 eta C₁=0. Orduan, hasierako posizioak:

Hiru partikulen higidura-ekuazioak honela geratzen dira, lehen bibrazio-modu honetan:

Hiru partikulek fasean oszilatzen dute ω₁ maiztasunarekin; alboetako bi partikulen anplitudeak berdinak dira eta erdikoarena proportzionala.

• Bibrazioaren bigarren modu normala (ω₂) honako baldintzetan lortzen da: A₁=0, B₁≠0 eta C₁=0. Orduan, hasierako posizioak:

Hiru partikulen higidura-ekuazioak honela geratzen dira, bigarren bibrazio-modu honetan:

Erdiko partikula geldi, eta alboetako biak justu aurkako fasetan ω₂ maiztasunarekin oszilatzen.

• Bibrazioaren hirugarren modu normala (ω₃) honako baldintzetan lortzen da: A₁=0, B₁=0 eta C₁≠0. Orduan, hasierako posizioak:

Hiru partikulen higidura-ekuazioak honela geratzen dira, hirugarren bibrazio-modu honetan:

Alboetako bi partikulek fasean oszilatzen dute ω₃ maiztasunarekin eta anplitude berdinekin, baina erdiko partikulak justu aurkako fasean eta anplitude proportzionalarekin.

Saiakuntza

• Hiru partikulen masak finkotzat hartu dira: m=1 kg

• Malgukien konstanteak ere finkotzat hartzen dira: k=1 N/m

Eta aukeran idatz daitezke:

• Ezkerreko partikularen hasierako x₀₁ posizioa, desplazamendu-barrari saguaz eragiten edo kontrolean idatziz.

• Erdiko partikularen hasierako x₀₂ posizioa, desplazamendu-barrari saguaz eragiten edo kontrolean idatziz.

• Eskumako partikularen hasierako x₀₃ posizioa, desplazamendu-barrari saguaz eragiten edo kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Hiru partikulek nola oszilatzen duten ikusten da, lau malgukien eraginez.

Grafikoa laukia aktibatzen bada, Hasi botoia sakatzerakoan grafikoki erakusten dira hiru partikulen x₁, x₂ eta x₃ posizioak denboraren menpe.