Oszilazioak

Osziladore akoplatuak

Bi akoplatuta

Hiru akoplatuta

Katea monoatomikoa

Bibrazioen
modu normalak

Katea diatomikoa

Bi malgukitan
eskegitako hagatxoa

Wilberforce pendulua

Pendulu bikoitza

Malguki-Pendulua

Oszilazioetatik
uhinetara

Luzera ezberdineko
pendulu ez akoplatuak

Higiduraren ekuazioak

Bibrazio-modu normalak

Oszilazio ez akoplatuak

Maiztasun berdinak

Energiaren ikuspegia

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan oszilazio akoplatuen beste adibide bat aztertuko dugu. Har dezagun hagatxo bat eta eskegi dezagun bi malguki elastikotan, irudiak erakusten duen bezala. Masa-zentroa gora eta behera mugitzen da norabide bertikalean, eta ez dauka desplazamendu horizontalik, eta hagatxoak gainera masa zentroaren inguruan errotatu egiten du.

Adibide hau eta Wilberforce-ren pendulua antzekoak dira, baina baditu zenbait ezberdintasun:

• Bi malgukitan eskegitako hagatxoaren higidura-ekuazioak, Newton-en ekuazioetatik abiatuz lortzen dira.

• Wilberforce-ren penduluaren higidura-ekuazioak, berriz, Lagrange-ren ekuazioetatik abiatuz lortzen dira.

• Bi malgukitan eskegitako hagatxoa oszilazio txikietarako soilik aztertuko dugu, alegia, oreka-posiziotik gertu dagoenean, higidura-ekuazioak linealak direlako.

Oreka-posizioa

Hagatxoak m masa eta L luzera ditu, eta bi malguki bertikaletik eskegitzen da. Malgukien konstante elastikoak k₁ eta k₂ dira, haien luzera naturalak l₀₁ eta l₀₂ (deformaziorik gabe), eta hagatxoaren masa-zentrotik d₁ eta d₂  distantzietara lotuta daude, hurrenez hurren.

• Ezkerreko malgukiak hagatxoari egiten dion indarra hau da: F₁=k₁x₁, eta hemen, x₁, malgukiaren deformazioa da.

• Eskumako malgukiak hagatxoari egiten dion indarra hau da: F₂=k₂x₂, eta hemen, x₂, malgukiaren deformazioa da.

Hagatxoa orekan dagoenean posizio horizontalean dago. Indar erresultantea nulua izan behar da eta momentu erresultantea m.z.-arekiko ere nulua izan behar da.

k₁x₁+ k₂x₂=mg
-k₁x₁·d₁+ k₂x₂·d₂=0

Hortik ateratzen dira: x₁ eta x₂

• Ezkerreko malgukia eskegi behar da, hagatxo horizontalaren gainetik honako altueran: l₁=l₀₁+x₁.

• Eta eskumako malgukia eskegi behar da, hagatxo horizontalaren gainetik honako altueran: l₂=l₀₂+x₂.

Higiduraren ekuazioak

Penduluaren kasuan bezalaxe, suposatuko dugu hagatxoaren desplazamendua txikia dela eta oreka-posizioaren inguruan, horrela, higiduraren ekuazioak linealak dira.

Demagun t aldiune jakin batean, hagatxoaren masa-zentroa igo egin dela, y altuera oreka-posizioarekiko, eta θ angelua biratu duela posizio horizontalarekiko.

• Posizio horretan, ezkerreko malgukiaren deformazioa hau da: l₁-l₀₁-y₁= x₁-y₁, eta ezkerreko malgukiak hagatxoari eragiten dion indarra: F₁=k₁(x₁-y₁)

• Eskumako malgukiaren deformazioa: l₂-l₀₂-y₂= x₂-y₂, eta eskumako malgukiak hagatxoari egiten dion indarra: F₂=k₂(x₂-y₂)

Hagatxoaren masa-zentroaren translazio-ekuazioa hau da:

Hagatxoaren errotazio-ekuazioa hau da, masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

I_c da L luzeradun hagatxoaren inertzia momentua, bere masa-zentrotik pasatzen den eta perpendikularra den ardatzarekiko (mL²/12).

Erlazio bat aurkitu behar da zenbait aldagairen artean:  y₁, y₂ , y, eta θ : Batetik, y₁, y₂ malgukien bi lotura-puntuen posizioak dira, y, hagatxoaren masa-zentroaren posizioa, eta θ hagatxoaren posizio angeluarra:

y₁=y -d₁·θ
y₂=y+d₂·θ

Ekuazio diferentzial biak, translazioarena eta errotazioarena, berriz ere idatz daitezke  y eta θ-ren menpe.

Ekuazioak laburtzeko, bil ditzagun konstanteak. Horretarako, defini ditzagun parametro berri batzuk:

Orain, ekuazioak honela berridatz daitezke:

Bi ekuazioen artean θ angelua elimina dezakegu: horretarako lehenengo ekuazioa deriba dezagun denborarekiko bi aldiz:

Eta bigarrenean ordezkatuz, honako ekuazioa geratzen da: (laugarren ordenakoa):

Froga dezagun itxura honetako soluzioa:

y=Asin(ωt)+Bcos(ωt)  edota  y=Csin(ωt+φ)

Soluzio horren bigarren deribatua eta laugarrena kalkulatu eta ekuazio diferentzialean ordezkatu. ω-ren menpeko ekuazio birkoadratua ateratzen da:

Eta bere soluzio errealak:

y desplazamenduaren soluzio orokorra t denborarekiko, bibrazio-modu normal bi horien konbinazio lineala da:

y (t)=Asin(ω₁t)+Bcos(ω₁t)+Csin(ω₂t)+Dcos(ω₂t)

Eta masa-zentroaren abiadura:

Hagatxoaren posizio angeluarra denboraren menpe kalkulatzeko, θ(t) , hagatxoaren translazioa deskribatzen duen ekuazio diferentzialean, y(t) eta bere bigarren deribatua ordezka daitezke:

Eta hona hemen emaitza:

Hagatxoaren errotazioaren abiadura angeluarra:

Hasierako baldintzek A, B, C, D koefizienteak determinatzen dituzte. Esaterako, t=0 aldiunean, hagatxoaren masa-zentroaren hasierako posizioa y₀ eta angelua θ₀ . Pausagunean dagoelarik askatu egiten da: dy/dt=0, dθ/dt=0.

Lau ekuazioko sistema ebatzi behar da:

Eta hortik bakantzen dira A, B, C eta D

A=C=0

Hona hemen hagatxoaren posizioa (y eta θ) eta abiadura (dy/dt eta dθ/dt) denboraren menpe adierazita (translazioa eta errotazioa):

Bibrazio-modu normalak

• Maiztasun angeluarraren lehen modua (ω₁) lortzeko: D=0,

Horretarako, hagatxoaren m.z-ren hasierako y₀ posizioa eta θ₀ angeluak honako erlazioa behar dute:

B=y₀

Orduan, hagatxoaren m.z-ren posizioa, y, eta angelua, θ, honela adierazten dira denboraren menpe:

y(t)= y₀cos(ω₁t)

• Maiztasun angeluarraren bigarren modua (ω₂) lortzeko: B=0,

Horretarako, hagatxoaren m.z-ren hasierako y₀ posizioa eta θ₀ angeluak honako erlazioa behar dute:

D=y₀

Orduan, hagatxoaren m.z-ren posizioa, y, eta angelua, θ, honela adierazten dira denboraren menpe:

y(t)= y₀cos(ω₂t)

Oszilazio ez akoplatuak

β parametroa nulua bada, oszilazioak ez daude akoplatuta, baina horretarako honako erlazioa bete behar da:

k₁·d₁=k₂·d₂

Orduan hagatxoaren m-z-ren translazioa eta hagatxoaren errotazioa deskribatzen dituzten higidura-ekuazioak honela adierazten dira:

y=A₁sin(ω_yt)+B₁cos(ω_yt)
θ=A₂sin(ω_θt)+B₂cos(ω_θt)

A₁, B₁, A₂, B₂ konstanteak hasierako baldintzetatik determinatzen dira: t=0 aldiunean, y=y₀, dy/dt=0, θ=θ₀, dθ/dt=0

y=y₀cos(ω_yt)
θ=θ₀cos(ω_θt)

Emaitza hori bera lortzen da “Higidura-ekuazioak” atalaren amaieran emandako laukiko emaitza-bildumatik abiatuta eta aipatutako has-baldintzekin.

Baldin  β→0, ω₁→ω_y, eta ω₂→ω_θ, eta orduan koefizienteak D→0, B→y₀

Hagatxoaren m.z-ren higidura HHS da, eta ω_y maiztasun angeluarra dauka.

y=y₀cos(ω_yt)

Errotazioaren ekuazioa lortzea, θ(t), pixka bat konplikatuagoa da. cos(ω₁t) eta cos(ω₂t)-ren koefizienteak honakoak ateratzen dira:

Beraz, hagatxoaren errotazio-higidura ere H.H.S. da bere zentroaren inguruan, eta ω_θ maiztasunarekin:

θ=θ₀cos(ω_θt)

Maiztasun berdinak

Maiztasun angeluarrak (translazioarena eta errotazioarena) berdinak izateko ω_y=ω_θ= ω honako baldintza bete behar da:

Eta inertzia-momentua hau da: I_c=mL²/12. Beraz, baldintza hori betetzeko:

eta hemen L hagatxoaren luzera da.

Kasu horretan, hagatxoaren bibrazio-modu normalen maiztasunek, ω₁ eta ω₂, oso adierazpen sinplea dute:

Azter dezagun bereziki θ₀=0 kasua. Hagatxoaren hasierako posizioa y₀ beherantz, eta ondoren askatu egiten da.

Kalkulatzen dira koefizienteak: B=D=y₀/2. Beraz, hagatxoaren m-z-ren translazioa eta errotazioa:

• Lehen bibrazio-modu garbia lortzeko (ω₁), hagatxoaren m.z-ren hasierako y₀ posizioa eta θ₀ angeluak honako erlazioa behar dute:

• Bigarren bibrazio-modu garbia lortzeko (ω₂), hagatxoaren m.z-ren hasierako y₀ posizioa eta θ₀ angeluak honako erlazioa behar dute:

Energiaren ikuspegia

Multzoaren energiak honako bost osagaiak ditu (ikus bedi orri honetako lehen irudia):

• Hagatxoaren translazioari dagokion energia zinetikoa:

• Hagatxoaren errotazioari dagokion energia zinetikoa, zentroaren inguruan:

• Ezkerreko malgukiaren deformazioa: (x₁-y₁)=(x₁-y+d₁·θ). Eta berari dagokion energia potentziala:

• Eskumako malgukiaren deformazioa: (x₂-y₂)=(x₂-y-d₂·θ). Eta berari dagokion energia potentziala: .
  x₁ eta x₂ dira malgukiek dituzten deformazioak hagatxoa horizontal eta pausagunean dagoenean.

• Hagatxoaren masa-zentroaren y altuera. Grabitateari dagokion energia potentziala:  mgy.

Multzo osoa kontserbakorra denez, energia-osagai guzti horien batura konstantea izan behar da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Ezkerreko malgukiaren konstante elastikoa k₁ , N/m-tan, dagokion kontrolean idatziz.

• Eskumako malgukiaren konstante elastikoa k₂ , N/m-tan, dagokion kontrolean idatziz.

• Hagatxoaren masa finkotzat hartzen da, m=1 kg.

• Hagatxoaren luzera ere finkotzat hartzen da: L=2 m

Berria botoia sakatu.

• Saguarekin, malgukien lotura-puntuak koka daitezke, zirkulu gorri biak mugituz hagatxoan zehar. Horrekin finkatzen dira d₁ eta d₂ distantziak, malgukietatik hagatxoaren m.z-ra.

• Hagatxoaren m.z-ren hasierako posizioa (cm) aukeratzen da, y₀ , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Hagatxoaren hasierako angelua (º) aukeratzen da, θ₀ , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Hasi botoia sakatu.

Sistemak nola oszilatzen duen ikusten da, edota adierazpen grafiko bat:

• Translazioa laukia aktibatuz, eta Grafikoa botoia sakatuz, hagatxoaren m-z-ren x desplazamendua denboraren menpe.
• Errotazioa laukia aktibatuz, eta Grafikoa botoia sakatuz, hagatxoaren q  posizio angeluarra denboraren menpe.

Esperimentuaren parametroak aldatzeko Berria botoia sakatu behar da.

Leihatilaren goiko eta eskumako erpinean, sistemaren E energia totalaren balioa idatziz erakusten da. Kalkuluek ondo jarduten badute, energia hori konstante mantendu behar da.