Movimiento de la cinta de una casete

El radio inicial de las ruedas sin cinta es r₀=1.11 cm, y la velocidad de la cinta cuando pasa por el cabezal es constante e igual a v=4.76 cm/s. La cinta tarda un tiempo T en reproducirse completamente. Este tiempo depende de la longitud total de la cinta l=v·T. El espesor de la cinta h es muy pequeño y su valor lo determinaremos más adelante.

En el instante inicial t=0.

El radio de la rueda izquierda es r₀=1.11 cm
El radio de la rueda derecha es R₀=2.46 cm, para una cinta de duración T=46.4 minutos

La cinta se desenrolla de la rueda derecha y se enrolla en la izquierda. En un instante determinado t, la relación entre la velocidad lineal constante v de la cinta y las velocidades angulares de rotación de las ruedas serán

El radio de la rueda izquierda será r₁ y su velocidad angular ω₁=v/r₁
El radio de la rueda derecha será r₂ y su velocidad angular ω₂=v/r₂

Aunque la velocidad v de la cinta es constante, las velocidades angulares ω₁ y ω₂ de las ruedas no lo son ya que sus radios r₁ y r₂ cambian con el tiempo

En cada vuelta 2π, la rueda izquierda incrementa su radio en h, el espesor de la cinta. Cuando la rueda izquierda gira un ángulo dθ₁, su radio se habrá incrementado en dr₁.

$d r_{1} = \frac{h}{2 π} d θ_{1} = \frac{h}{2 π} ω_{1} d t = \frac{h}{2 π} \frac{v}{r_{1}} d t$

La rueda derecha habrá girado un ángulo dθ₂, su radio habrá disminuido en dr₂

$d r_{2} = - \frac{h}{2 π} d θ_{2} = - \frac{h}{2 π} ω_{2} d t = - \frac{h}{2 π} \frac{v}{r_{2}} d t$

Integramos estas dos ecuaciones entre el instante t=0, y en el instante t, teniendo en cuenta que en el instante t=0,

el radio de la rueda izquierda es r₁=r₀
el radio de la rueda derecha es r₂=R₀

$r_{1}^{2} = r_{0}^{2} + \frac{h v}{π} t r_{2}^{2} = R_{0}^{2} - \frac{h v}{π} t$

En el instante t=T la cinta se ha reproducido completamente.

el radio de la rueda izquierda es r₁=R₀
el radio de la rueda derecha es r₂=r₀

$R_{0}^{2} = r_{0}^{2} + \frac{h v}{π} T r_{0}^{2} = R_{0}^{2} - \frac{h v}{π} T$

Si medimos los radios r₀ y R₀, el tiempo T y la velocidad v despejamos el espesor h de la cinta de la primera o de la segunda ecuación. Si la duración de la cinta es de T=46.4 minutos.

$h = \frac{π (R_{0}^{2} - r_{0}^{2})}{v T} = \frac{π ({2.46}^{2} - {1.11}^{2})}{4.76 \cdot 46.4 \cdot 60} = 1.14 \cdot 10^{- 3} cm$

Los ángulos girados por las dos ruedas se calculan integrando ω₁, y ω₂, respecto del tiempo t.

$\begin{array}{l} \int_{0}^{t} ω_{1} d t = \int_{0}^{t} \frac{v}{r_{1}} d t = \frac{2 π}{h} (\sqrt{r_{0}^{2} + \frac{h v}{π}} t - r_{0}) = \frac{2 π}{h} (r_{1} - r_{0}) \\ θ_{2} = \int_{0}^{t} ω_{2} d t = \int_{0}^{t} \frac{v}{r_{2}} d t = \frac{2 π}{h} (R_{0} - \sqrt{R_{0}^{2} - \frac{h v}{π}} t) = \frac{2 π}{h} (R_{0} - r_{2}) \end{array}$

En el instante t=T, r₁=R₀ y r₂=r₀, el ángulo total girado por ambas ruedas es el mismo,

$θ = \frac{2 π}{h} (R_{0} - r_{0})$

Actividades

Introducimos

La duración T de la cinta en minutos, en el control titulado Duración cinta.

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

El programa interactivo utiliza el dato del espesor de la cinta h=1.14·10^-3 cm, la velocidad lineal constante v=4.76 cm/s de la cinta y el radio r₀=1.11 cm inicial de la rueda para calcular el radio R₀ la rueda derecha con la cinta completamente enrollada. Estos datos se han tomado del artículo citado en las referencias

Observaremos el movimiento de las ruedas, la relación entre la velocidad angular de rotación y su radio, a medida que transcurre el tiempo. En la parte superior, se muestran en cada instante, los valores de r₁, ω₁, r₂ y ω₂. Comprobar que

r₁·ω₁=r₂·ω₂=v=4.76 m/s

Duración cinta (min):

El contador del reproductor de la casete

Una experiencia que se puede llevar a cabo con la ayuda de un cronómetro es la de establecer una relación entre la lectura n del contador del reproductor de la casete y el tiempo t transcurrido. Vamos a comprobar que esta relación no es lineal

Supongamos que en el instante t=0, el radio de la rueda izquierda es r₀, el contador se pone a cero. En el instante final T, el radio de la rueda izquierda es R₀, y la lectura del contador es N.

La lectura n del contador en el instante t es directamente proporcional al ángulo girado por la rueda izquierda θ₁ hasta dicho instante.

$\begin{array}{l} n = k \cdot θ_{1} = k \frac{2 π}{h} (r_{1} - r_{0}) \\ N = k \frac{2 π}{h} (R_{0} - r_{0}) \end{array}$

Eliminando la constante de proporcionalidad k entre las dos ecuaciones

$\frac{n}{N} = \frac{r_{1} - r_{0}}{R_{0} - r_{0}} = \frac{\sqrt{r_{0}^{2} + \frac{h v}{π} t} - r_{0}}{R_{0} - r_{0}}$

Despejando el tiempo t

$t = \frac{π}{h v} (R_{0} - r_{0}) ((R_{0} - r_{0}) \frac{n^{2}}{N^{2}} + 2 r_{0} \frac{n}{N}) = T (\frac{R_{0} - r_{0}}{R_{0} + r_{0}} \frac{n^{2}}{N^{2}} + \frac{2 r_{0}}{R_{0} + r_{0}} \frac{n}{N})$

Supongamos que en el instante inicial t=0, el radio de la rueda izquierda es r₀=1.11 cm, el radio de la rueda derecha es R₀=2.46 cm y la lectura del contador es n=0. Cuando la cinta está completamente enrollada en la rueda izquierda ha trascurrido un tiempo de T=46.4 minutos, la lectura del contador es N=744.

$t = 46.4 \cdot 60 (\frac{2.46 - 1.11}{2.46 + 1.11} \frac{n^{2}}{744^{2}} + \frac{2 \cdot 1.11}{2.46 + 1.11} \frac{n}{744})$

t=0.0019·n²+2.33·n

En la figura, se representa t en función de n. Se sugiere al lector que analice el comportamiento de su reproductor de casete y complete una tabla como la siguiente, y represente los datos en una gráfica semejante a la figura anterior.

n	t(min)
0	0
100	4.03
200	8.12
300	14.23
400	20.33
500	27.1
600	34.53
700	42.63
744	46.43

Utilizamos MATLAB para ajustar un conjunto de pares de datos al polinomio de segundo grado y=a₀+a₁x+a₂x²

>> n=[0:7,7.44];
>> t=[0,4.03,8.12,14.23,20.33,27.1,34.53,42.63,46.43];
>> plot(n,t, 'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
>> grid on
>> xlabel('n/100')
>> ylabel('t (min)')
>> title('Cinta de casete')

En el menú de la ventana gráfica, seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla quadratic en Plot fits.

Referencias

McKelvey J.P. Kinematics of tape recording. Am. J. Phys. 49 (1) January 1981.