Movimiento de la cinta de una casete

El radio inicial de las ruedas sin cinta es r0=1.11 cm, y la velocidad de la cinta cuando pasa por el cabezal es constante e igual a v=4.76 cm/s. La cinta tarda un tiempo T en reproducirse completamente. Este tiempo depende de la longitud total de la cinta l=v·T. El espesor de la cinta h es muy pequeño y su valor lo determinaremos más adelante.

En el instante inicial t=0.

La cinta se desenrolla de la rueda derecha y se enrolla en la izquierda. En un instante determinado t, la relación entre la velocidad lineal constante v de la cinta y las velocidades angulares de rotación de las ruedas serán

Aunque la velocidad v de la cinta es constante, las velocidades angulares ω1 y ω2 de las ruedas no lo son ya que sus radios r1 y r2 cambian con el tiempo

En cada vuelta 2π, la rueda izquierda incrementa su radio en h, el espesor de la cinta. Cuando la rueda izquierda gira un ángulo 1, su radio se habrá incrementado en dr1.

d r 1 = h 2π d θ 1 = h 2π ω 1 dt= h 2π v r 1 dt

La rueda derecha habrá girado un ángulo 2, su radio habrá disminuido en dr2

d r 2 = h 2π d θ 2 = h 2π ω 2 dt= h 2π v r 2 dt

Integramos estas dos ecuaciones entre el instante t=0, y en el instante t, teniendo en cuenta que en el instante t=0,

r 1 2 = r 0 2 + hv π t r 2 2 = R 0 2 hv π t

En el instante t=T la cinta se ha reproducido completamente.

R 0 2 = r 0 2 + hv π T r 0 2 = R 0 2 hv π T

Si medimos los radios r0 y R0, el tiempo T y la velocidad v despejamos el espesor h de la cinta de la primera o de la segunda ecuación. Si la duración de la cinta es de T=46.4 minutos.

h= π( R 0 2 r 0 2 ) vT = π( 2.46 2 1.11 2 ) 4.76·46.4·60 =1.14· 10 3 cm

Los ángulos girados por las dos ruedas se calculan integrando ω1, y ω2, respecto del tiempo t.

0 t ω 1 dt= 0 t v r 1 dt= 2π h ( r 0 2 + hv π t r 0 ) = 2π h ( r 1 r 0 ) θ 2 = 0 t ω 2 dt= 0 t v r 2 dt= 2π h ( R 0 R 0 2 hv π t )= 2π h ( R 0 r 2 )

En el instante t=T, r1=R0 y r2=r0, el ángulo total girado por ambas ruedas es el mismo,

θ= 2π h ( R 0 r 0 )

Actividades

Introducimos

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

El programa interactivo utiliza el dato del espesor de la cinta h=1.14·10-3 cm, la velocidad lineal constante v=4.76 cm/s de la cinta y el radio r0=1.11 cm inicial de la rueda para calcular el radio R0 la rueda derecha con la cinta completamente enrollada. Estos datos se han tomado del artículo citado en las referencias

Observaremos el movimiento de las ruedas, la relación entre la velocidad angular de rotación y su radio, a medida que transcurre el tiempo. En la parte superior, se muestran en cada instante, los valores de r1, ω1, r2 y ω2. Comprobar que

r1·ω1=r2·ω2=v=4.76 m/s

El contador del reproductor de la casete

Una experiencia que se puede llevar a cabo con la ayuda de un cronómetro es la de establecer una relación entre la lectura n del contador del reproductor de la casete y el tiempo t transcurrido. Vamos a comprobar que esta relación no es lineal

Supongamos que en el instante t=0, el radio de la rueda izquierda es r0, el contador se pone a cero. En el instante final T, el radio de la rueda izquierda es R0, y la lectura del contador es N.

La lectura n del contador en el instante t es directamente proporcional al ángulo girado por la rueda izquierda θ1 hasta dicho instante.

n=k· θ 1 =k 2π h ( r 1 r 0 ) N=k 2π h ( R 0 r 0 )

Eliminando la constante de proporcionalidad k entre las dos ecuaciones

n N = r 1 r 0 R 0 r 0 = r 0 2 + hv π t r 0 R 0 r 0

Despejando el tiempo t

t= π hv ( R 0 r 0 )( ( R 0 r 0 ) n 2 N 2 +2 r 0 n N )=T( R 0 r 0 R 0 + r 0 n 2 N 2 + 2 r 0 R 0 + r 0 n N )

Supongamos que en el instante inicial t=0, el radio de la rueda izquierda es r0=1.11 cm, el radio de la rueda derecha es R0=2.46 cm y la lectura del contador es n=0. Cuando la cinta está completamente enrollada en la rueda izquierda ha trascurrido un tiempo de T=46.4 minutos, la lectura del contador es N=744.

t=46.4·60( 2.461.11 2.46+1.11 n 2 744 2 + 2·1.11 2.46+1.11 n 744 )

t=0.0019·n2+2.33·n

En la figura, se representa t en función de n. Se sugiere al lector que analice el comportamiento de su reproductor de casete y complete una tabla como la siguiente, y represente los datos en una gráfica semejante a la figura anterior.

n t(min)
0 0
100 4.03
200 8.12
300 14.23
400 20.33
500 27.1
600 34.53
700 42.63
744 46.43

Utilizamos MATLAB para ajustar un conjunto de pares de datos al polinomio de segundo grado y=a0+a1x+a2x2

>> n=[0:7,7.44];
>> t=[0,4.03,8.12,14.23,20.33,27.1,34.53,42.63,46.43];
>> plot(n,t, 'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
>> grid on
>> xlabel('n/100')
>> ylabel('t (min)')
>> title('Cinta de casete')

En el menú de la ventana gráfica, seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla quadratic en Plot fits.