El disco compacto CD

Un disco compacto CD tiene 6 cm de radio, 1.2 mm de espesor con un agujero central de 7.5 mm de radio. La información digital se graba en una espiral de Arquímedes de paso h constante

R= R 0 + h 2π θ

La pista más cercna al eje tiene un radio R0=23 mm y la más alejada Rf=58 mm, h=1.6μm es la separación entre pistas. El número de pistas (vueltas) es, por tanto.

N= R f R 0 h = 5823 0.0016 =21875

El tiempo total que se emplea en leer a velocidad (lineal) constante la totalidad de las pistas del disco es T=72 min.

En la figura, por razón de claridad se representa un CD de N=10 pistas, separadas h=3.5 mm.

r0=7.5; 
h=3.5; 
ang=0:pi/18:10*2*pi;
r=r0+h*ang/(2*pi);
polar(ang,r,'r')
title('Espiral de Arquímedes')

Longitud de una espiral de Arquímedes

Vamos a obtener la longitud s de una espiral de Arquímedes por tres métodos distintos, uno exacto y dos aproximados. El primer método nos permite practicar el cálculo integral en particular, las funciones sinh, seno hiperbólico y cosh, coseno hiperbólico.

s= A B d x 2 +d y 2

En coordenadas polares

x=r·cosθ
y=r
·sinθ

dx=cosθ·dr-rsinθ·
dy
=sinθ·dr-rcosθ·dθ

s= A B d r 2 + r 2 d θ 2

En el caso de la espiral de Arquímedes

r= R 0 + h 2π θdr= h 2π dθ

Para calcular la longitud de la espiral se integra entre θ=0, y θ=2πN, donde N es el número de pistas.

s= 0 2πN h 2 4 π 2 + ( R 0 + h 2π θ ) 2 dθ= 2π h 0 2πN h 2 4 π 2 + ( R 0 + h 2π θ ) 2 ( h 2π dθ )

Para resolver la integral del tipo

a 2 + u 2 du u= R 0 + h 2π θa= h 2π

se hace el cambio de variable

u=a·sinht, du=acosht

a 2 + u 2 du = a·cosht·a·cosht·dt= a 2 cosh 2 t·dt= a 2 cosh(2t)+1 2 dt= a 2 2 ( 1 2 sinh(2t)+t )= a 2 2 ( sinht·cosht+t )

Deshaciendo el cambio de variable

sinht= u a cosht= a 2 + u 2 a e t =cosht+sinht= u+ a 2 + u 2 a

La función integrando es

a 2 + u 2 du = u 2 a 2 + u 2 + a 2 2 ln( u+ a 2 + u 2 ) a 2 2 lna

El resultado final de la longitud de la espiral de Arquímedes es

s= 0 2πN h 2 4 π 2 + ( R 0 + h 2π θ ) 2 dθ= 2π h ( 1 2 ( R 0 + h 2π θ ) h 2 4 π 2 + ( R 0 + h 2π θ ) 2 + h 2 8 π 2 ln( ( R 0 + h 2π θ )+ h 2 4 π 2 + ( R 0 + h 2π θ ) 2 ) h 2 8 π 2 ln( h 2π ) | 0 2πN ) | = 2π h { 1 2 R f h 2 4 π 2 + R f 2 + h 2 8 π 2 ln( R f + h 2 4 π 2 + R f 2 ) 1 2 R 0 h 2 4 π 2 + R 0 2 h 2 8 π 2 ln( R 0 + h 2 4 π 2 + R 0 2 )

Introduciendo los datos en el resultado final

s= 2π 0.0016 { 1 2 58 0.0016 2 4 π 2 + 58 2 + 0.0016 2 8 π 2 ln( 58+ 0.0016 2 4 π 2 + 58 2 ) 1 2 23 0.0016 2 4 π 2 + 23 2 0.0016 2 8 π 2 ln( 23+ 0.0016 2 4 π 2 + 23 2 ) =5566509mm=5566.5m

>> syms h r0 N u a;
>> y=int('sqrt(a^2+u^2)',u)
y =(u*(a^2 + u^2)^(1/2))/2 + (a^2*log(u + (a^2 + u^2)^(1/2)))/2
>> yy=subs(y,a,h/(2*pi));
>> s=(subs(yy,u,r0+h*N)-subs(yy,u,r0))*2*pi/h;
>> longitud=subs(s,{r0,h,N},{23,0.0016,21875});
>> double(longitud)/1000
ans =   5.5665e+03

Obtenemos una solución aproximada de la integral, si nos damos cuenta que el primer término debajo de la raíz cuadrada h2/(4π2) es muy pequeño en comparación con el segundo.

s= 0 2πN h 2 4 π 2 + ( R 0 + h 2π θ ) 2 dθ 0 2πN ( R 0 + h 2π θ ) dθ= R 0 θ+ h 4π θ 2 | 0 2πN = R 0 2πN+ h 4π ( 2πN ) 2 =23·2π·21875+ 0.0016 4π ( 2π·21875 ) 2 =5566509mm=5566.5m

La longitud de la espiral de Arquímedes se puede obtener aún más rápidamente, calculando el radio medio Rm=(R0+Rf)/2=40.5 mm de las pistas y multiplicando la longitud de la pista media por el número N de pistas considerando que tienen el mismo radio Rm

s=N·2πRm=5566.5 m

Velocidad angular de rotación

La velocidad de lectura es constante, v=s/T

v= 5566 72·60 =1.29m/s

Sin embargo, la velocidad angular de rotación cambia, la velocidad angular inicial es

ω0=v/R0=56.0 rad/s y la velocidad angular final es ωf=v/Rf=22.2 rad/s

La velocidad angular de rotación en función del ángulo θ es

ω= v r dθ dt = v R 0 + h 2π θ

Integrando

0 θ ( R 0 + h 2π θ ) dθ= 0 t v·dt h 4π θ 2 + R 0 θvt=0 θ= 2π R 0 h ( 1+ hvt π R 0 2 1 )

En el instante t=72·60=4320 s que se completa la lectura del CD

θ= 2π·23 0.0016 ( 1+ 0.0016·1290·4320 π· 23 2 1 )=137444.7rad=21875vueltas

Derivando con respecto del tiempo obtenemos la expresión de la velocidad angular ω en función del tiempo t.

ω= dθ dt = v R 0 1 1+ hvt π R 0 2 = ω 0 1+ ω 0 ht π R 0

Donde ω0=v/R0 es la velocidad angular inicial, para t=0

En la figura, se muestra la variación de la velocidad angular ω con el tiempo t.

h=1.6e-6;
R0=23e-3;
w0=56;
w= @(t) w0/sqrt(1+w0*h*t/(pi*R0));
fplot(w,[0,72]*60)
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('\omega')
title('CD')

Referencias

McKelvey J.P. Kinematics of tape recording. Am. J. Phys. 49 (1) January 1981.

Sawicki M. Angular speed of a compact disc. The Physics Teacher Vol 44, September 2006, pp. 378-38