Componentes tangencial y normal de la aceleración, en un movimiento circular
En la figura, la partícula se encuentra en el instante t en el punto P, formando un ángulo θ con el eje X.
El vector posición de la partícula es
El vector velocidad se obtiene derivando el vector posición respecto del tiempo
El vector aceleración se obtiene derivando el vector velocidad
El vector aceleración tiene dos componentes, que expresamos en virtud de las relaciones entre magnitudes angulares y lineales de dos formas.
La componente radial está dirigida hacia le centro de la circunferencia, su módulo es
La componente tangencial tiene la dirección de la velocidad, tangente a la trayectoria, su módulo es
Movimiento circular uniforme. Aceleración normal
Consideremos que una partícula describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.
La partícula se encuentra en la posición A en el instante t-Δt/2, y su velocidad (tangente a la trayectoria) es . La partícula se encuentra en la posición simétrica B en el instante t+Δt/2 y su velocidad es .
Coloquemos los dos vectores velocidad y que tienen la misma longitud v con vértice en el punto P y calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia .
Componente normal
Componente tangencial
Por tanto el vector es paralelo a la dirección radial PO y está dirigido hacia el centro O.
Como la partícula recorre el arco AB de ángulo 2φ con velocidad v constante.
El valor medio de la componente normal de la aceleración es por tanto,
La componente normal de la aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo Δt→0, o bien, cuando φ→0. En este límite,
por tanto, la componente normal de la aceleración en el instante t o en el punto P es
Naturalmente, la componente tangencial de la aceleración es cero en dicho instante, at=0.
Movimiento circular no uniforme. Aceleración tangencial y normal
Supongamos que la partícula pasa por el punto A en el instante t-Δt1 y lleva una velocidad (tangente a la trayectoria), y pasa por el punto simétrico B en el instante t-Δt2 llevando una velocidad . Como el movimiento no es uniforme los módulos de las velocidades serán diferentes.
Calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia .
Componente normal
Componente tangencial
Al no ser los vectores velocidad de igual módulo, el vector diferencia y por tanto, la aceleración no tienen en general, dirección radial.
La partícula recorre el arco AB de ángulo 2φ empleando un tiempo Δt=Δt1+Δt2. La velocidad media <v> de la partícula en este intervalo de tiempo es
La componente normal y tangencial de la aceleración serán por tanto,
En el límite cuando el intervalo de tiempo Δt→0, o bien cuando φ→0, se cumple que,
La velocidad media <v>→ v es la velocidad en el instante t cuando el móvil pasa por P, y también la velocidad promedio
De este modo, obtenemos la misma fórmula de la componente normal de la aceleración que en el apartado anterior.
En cuanto a la componente tangencial, el numerador es un cambio infinitesimal en el módulo de la velocidad dv y el denominador es el tiempo dt que tarda la partícula en efectuar dicho cambio.
Las componentes de la aceleración serán, por tanto,
Referencias
Newton I., Conn R. Circular motion. Am. J. Phys. 68 (7) July 2000, pp. 637-639
Leff H. Acceleration for circular motion. Am. J. Phys. 70 (5) May 2002. pp. 490-492
Ninio F. Acceleration in uniform circular motion. Am. J. Phys. 61 (11) November 1993, pp. 1052
Brownstein K. R. A simple derivation of centripetal acceleration. Am. J. Phys. 62 (10) October 1994, pp. 946