En la figura, la partícula se encuentra en el instante t en el punto P, formando un ángulo θ con el eje X.

El vector posición $\overrightarrow{r}$ de la partícula es

${\displaystyle \overrightarrow{r}=x\widehat{i}+y\widehat{j}=r\cos \theta \widehat{i}+r\sin \theta \widehat{j}}$

El vector velocidad $\overrightarrow{v}$ se obtiene derivando el vector posición respecto del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{r}=x\widehat{i}+y\widehat{j}=r\cos \theta \widehat{i}+r\sin \theta \widehat{j}\\ \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=r\omega (-\sin \theta \widehat{i}+\cos \theta \widehat{j} )=r\omega \widehat{v}\omega =\frac{d\theta }{dt}\end{array}}$

El vector aceleración $\overrightarrow{a}$ se obtiene derivando el vector velocidad

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}={\omega }^{2}r\left(-\cos \theta \widehat{i}-\sin \theta \widehat{j}\right)+r\alpha \left(-\sin \theta \widehat{i}+\cos \theta \widehat{j}\right)\alpha =\frac{d\omega }{dt}\hfill \\ \overrightarrow{a}=(-{\omega }^{2}r)\widehat{r}+(\alpha r)\widehat{v}\hfill \end{array}}$

El vector aceleración tiene dos componentes, que expresamos en virtud de las relaciones entre magnitudes angulares y lineales de dos formas.

La componente radial está dirigida hacia le centro de la circunferencia, su módulo es

${\displaystyle a_n={\omega }^{2}r=\frac{v^2}{r}}$

La componente tangencial tiene la dirección de la velocidad, tangente a la trayectoria, su módulo es

${\displaystyle a_t=\alpha r=\frac{dv}{dt}}$

Movimiento circular uniforme. Aceleración normal

Consideremos que una partícula describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.

La partícula se encuentra en la posición A en el instante t-Δt/2, y su velocidad (tangente a la trayectoria) es $\overrightarrow{v_1}$ . La partícula se encuentra en la posición simétrica B en el instante t+Δt/2 y su velocidad es $\overrightarrow{v_2}$.

Coloquemos los dos vectores velocidad $\overrightarrow{v_1}$ y $\overrightarrow{v_2}$ que tienen la misma longitud v con vértice en el punto P y calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia $\overrightarrow{\Delta v}=\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}$ .

• Componente normal

${\displaystyle {\left(\Delta v\right)}_n=v_2\sin \phi -v_1\sin (-\phi )=2v\sin \phi }$

• Componente tangencial

${\displaystyle {\left(\Delta v\right)}_t=v_2\cos \phi -v_1\cos (-\phi )=0}$

Por tanto el vector $\overrightarrow{\Delta v}$ es paralelo a la dirección radial PO y está dirigido hacia el centro O.

Como la partícula recorre el arco AB de ángulo 2φ con velocidad v constante.

${\displaystyle v=\frac{2r\phi }{\Delta t}}$

El valor medio de la componente normal de la aceleración es por tanto,

${\displaystyle \begin{array}{l}<a_{\text{n}}>=\frac{{\left(\Delta v\right)}_{\text{n}}}{\Delta \text{t}}=\frac{2v\sin \phi }{\left(2r\phi /v\right)}=\left(\frac{\sin \phi }{\phi }\right)\frac{v^2}{r}\\ <a_t>=\frac{{\left(\Delta v\right)}_{\text{t}}}{\Delta \text{t}}=0\end{array}}$

La componente normal de la aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo Δt→0, o bien, cuando φ→0. En este límite,

${\displaystyle \underset{\phi \to 0}{\lim }\frac{\sin \phi }{\phi }=1}$

por tanto, la componente normal de la aceleración en el instante t o en el punto P es

${\displaystyle a_{\text{n}}=\frac{v^2}{r}}$

Naturalmente, la componente tangencial de la aceleración es cero en dicho instante, a_t=0.

Movimiento circular no uniforme. Aceleración tangencial y normal

Supongamos que la partícula pasa por el punto A en el instante t-Δt₁ y lleva una velocidad $\overrightarrow{v_1}$ (tangente a la trayectoria), y pasa por el punto simétrico B en el instante t-Δt₂ llevando una velocidad $\overrightarrow{v_2}$ . Como el movimiento no es uniforme los módulos de las velocidades serán diferentes.

Calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia $\overrightarrow{\Delta v}=\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}$ .

• Componente normal

${\displaystyle {\left(\Delta v\right)}_n=v_2\sin \phi -v_1\sin (-\phi )=(v_2+v_1)\sin \phi }$

• Componente tangencial

${\displaystyle {\left(\Delta v\right)}_t=v_2\cos \phi -v_1\cos (-\phi )=(v_2-v_1)\cos \phi }$

Al no ser los vectores velocidad de igual módulo, el vector diferencia $\overrightarrow{\Delta v}$ y por tanto, la aceleración no tienen en general, dirección radial.

La partícula recorre el arco AB de ángulo 2φ empleando un tiempo Δt=Δt₁+Δt₂. La velocidad media <v> de la partícula en este intervalo de tiempo es

${\displaystyle <v>=\frac{2r\phi }{\Delta t}}$

La componente normal y tangencial de la aceleración serán por tanto,

${\displaystyle \begin{array}{l}<a_n>=\frac{{\left(\Delta v\right)}_n}{\Delta t}=\left(\frac{\sin \phi }{\phi }\right)\frac{<v>\left(v_1+v_2\right)}{2r}\\ <a_t>=\frac{{\left(\Delta v\right)}_t}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}\text{cos}\phi \end{array}}$

En el límite cuando el intervalo de tiempo Δt→0, o bien cuando φ→0, se cumple que,

${\displaystyle \underset{\phi \to 0}{\lim }\frac{\sin \phi }{\phi }=1\underset{\phi \to 0}{\lim }\cos \phi =1}$

La velocidad media <v>→ v es la velocidad en el instante t cuando el móvil pasa por P, y también la velocidad promedio

${\displaystyle \underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{v_1+v_2}{2}=v}$

De este modo, obtenemos la misma fórmula de la componente normal de la aceleración que en el apartado anterior.

En cuanto a la componente tangencial, el numerador es un cambio infinitesimal en el módulo de la velocidad dv y el denominador es el tiempo dt que tarda la partícula en efectuar dicho cambio.

Las componentes de la aceleración serán, por tanto,

${\displaystyle a_n=\frac{v^2}{r}{a}_t=\frac{dv}{dt}}$

Referencias

Newton I., Conn R. Circular motion. Am. J. Phys. 68 (7) July 2000, pp. 637-639

Leff H. Acceleration for circular motion. Am. J. Phys. 70 (5) May 2002. pp. 490-492

Ninio F. Acceleration in uniform circular motion. Am. J. Phys. 61 (11) November 1993, pp. 1052

Brownstein K. R. A simple derivation of centripetal acceleration. Am. J. Phys. 62 (10) October 1994, pp. 946