Componentes tangencial y normal de la aceleración, en un movimiento circular

En la figura, la partícula se encuentra en el instante t en el punto P, formando un ángulo θ con el eje X.

El vector posición r de la partícula es

r =x i ^ +y j ^ =rcosθ i ^ +rsinθ j ^

El vector velocidad v se obtiene derivando el vector posición respecto del tiempo

r =x i ^ +y j ^ =rcosθ i ^ +rsinθ j ^ v = d r dt =rω(sinθ i ^ +cosθ j ^  )=rω v ^ ω= dθ dt

El vector aceleración a se obtiene derivando el vector velocidad

a = d v dt = ω 2 r( cosθ i ^ sinθ j ^ )+rα( sinθ i ^ +cosθ j ^ )α= dω dt a =( ω 2 r) r ^ +(αr) v ^

El vector aceleración tiene dos componentes, que expresamos en virtud de las relaciones entre magnitudes angulares y lineales de dos formas.

La componente radial está dirigida hacia le centro de la circunferencia, su módulo es

a n = ω 2 r= v 2 r

La componente tangencial tiene la dirección de la velocidad, tangente a la trayectoria, su módulo es

a t =αr= dv dt

Movimiento circular uniforme. Aceleración normal

Consideremos que una partícula describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.

La partícula se encuentra en la posición A en el instante tt/2, y su velocidad (tangente a la trayectoria) es v 1 . La partícula se encuentra en la posición simétrica B en el instante t+Δt/2 y su velocidad es v 2 .

Coloquemos los dos vectores velocidad v 1 y v 2 que tienen la misma longitud v con vértice en el punto P y calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Δv = v 2 v 1 .

Por tanto el vector Δv es paralelo a la dirección radial PO y está dirigido hacia el centro O.

Como la partícula recorre el arco AB de ángulo 2φ con velocidad v constante.

v= 2rφ Δt

El valor medio de la componente normal de la aceleración es por tanto,

< a n >= ( Δv ) n Δt = 2vsinφ ( 2rφ/v ) =( sinφ φ ) v 2 r < a t >= ( Δv ) t Δt =0

La componente normal de la aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo Δt→0, o bien, cuando φ→0. En este límite,

lim φ0 sinφ φ =1

por tanto, la componente normal de la aceleración en el instante t o en el punto P es

a n = v 2 r

Naturalmente, la componente tangencial de la aceleración es cero en dicho instante, at=0.

Movimiento circular no uniforme. Aceleración tangencial y normal

Supongamos que la partícula pasa por el punto A en el instante tt1 y lleva una velocidad v 1 (tangente a la trayectoria), y pasa por el punto simétrico B en el instante tt2 llevando una velocidad v 2 . Como el movimiento no es uniforme los módulos de las velocidades serán diferentes.

Calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Δv = v 2 v 1 .

Al no ser los vectores velocidad de igual módulo, el vector diferencia Δv y por tanto, la aceleración no tienen en general, dirección radial.

La partícula recorre el arco AB de ángulo 2φ empleando un tiempo Δtt1t2. La velocidad media <v> de la partícula en este intervalo de tiempo es

<v>= 2rφ Δt

La componente normal y tangencial de la aceleración serán por tanto,

< a n >= ( Δv ) n Δt =( sinφ φ ) <v>( v 1 + v 2 ) 2r < a t >= ( Δv ) t Δt = v 2 v 1 Δt cosφ

En el límite cuando el intervalo de tiempo Δt→0, o bien cuando φ→0, se cumple que,

lim φ0 sinφ φ =1 lim φ0 cosφ=1

La velocidad media <v> v es la velocidad en el instante t cuando el móvil pasa por P, y también la velocidad promedio

lim Δt0 v 1 + v 2 2 =v

De este modo, obtenemos la misma fórmula de la componente normal de la aceleración que en el apartado anterior.

En cuanto a la componente tangencial, el numerador es un cambio infinitesimal en el módulo de la velocidad dv y el denominador es el tiempo dt que tarda la partícula en efectuar dicho cambio.

Las componentes de la aceleración serán, por tanto,

a n = v 2 r a t = dv dt

Referencias

Newton I., Conn R. Circular motion. Am. J. Phys. 68 (7) July 2000, pp. 637-639

Leff H. Acceleration for circular motion. Am. J. Phys. 70 (5) May 2002. pp. 490-492

Ninio F. Acceleration in uniform circular motion. Am. J. Phys. 61 (11) November 1993, pp. 1052

Brownstein K. R. A simple derivation of centripetal acceleration. Am. J. Phys. 62 (10) October 1994, pp. 946